Bank Math Master

Question: A right circular cylinder has a curved surface area of 660 sq. cm and a height of 15 cm. Find the radius of the cylinder.

Solution:
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 660 বর্গ সেমি
এবং সিলিন্ডারের উচ্চতা (h) = 15 সেমি।

ধরা যাক, সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ হল r সেমি।

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2πrh
⇒ 660 = 2 × (22/7) × r × 15
⇒ 660 = (44/7) × 15 × r
⇒ 660 = (660/7) × r
⇒ r = (660 × 7)/660
⇒ r = 7 সেমি

সুতরাং, প্রদত্ত সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ হল 7 সেমি।

Question: Karim can complete 2/5th of a certain work in 4 hours. Rahim works three times as fast as Karim and finishes the remaining work. How many hours did Rahim work?

Solution:
ধরি, সম্পূর্ণ কাজ = 1 অংশ

করিমের কাজের পরিমাণ = 2/5 অংশ
সময় = 4 ঘণ্টা

∴ পুরো কাজ (1 অংশ) করতে করিমের সময় লাগবে = 4 ÷ (2/5)
= 4 × 5/2
= 10 ঘণ্টা।

এখন, রহিম যেহেতু করিমের চেয়ে তিনগুণ দ্রুত কাজ করেন, তাই পুরো কাজটি সম্পন্ন করতে তার এক-তৃতীয়াংশ সময় লাগবে।

∴ পুরো কাজ করতে রহিমের সময় = 10 ÷ 3 = 10/3 ঘণ্টা।

বাকি কাজের পরিমাণ = 1 - (2/5) = 3/5 অংশ।

সুতরাং, রহিমের 3/5 অংশ কাজ করতে সময় লাগবে = (10/3) × (3/5) ঘণ্টা
= (10 × 3)/(3 × 5)
= 30/15
= 2 ঘণ্টা।

Question: A cuboid has dimensions in the ratio 1 : 2 : 4 and a total surface area of 112 cm². What is its volume?

Solution:
দেয়া আছে,
 আয়তাকার ঘনবস্তুর মাত্রাগুলির অনুপাত = 1 : 2 : 4
এবং সমগ্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = 112 cm²

ধরি , আয়তাকার ঘনবস্তুর মাত্রাগুলির অনুপাত যথাক্রমে x, 2x এবং 4x

আমরা জানি,
আয়তাকার ঘনবস্তুর সমগ্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = 2(lb + bh + lh)
⇒ সমগ্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = 2(x)(2x) + (2x)(4x) + (4x)(x)
⇒ 112 = 2(2x² + 8x² + 4x²)
⇒ 112 = 2(14x²)
⇒ 112 = 28x²
⇒ x² = 112/28
⇒ x² = 4
⇒ x = 2

সুতরাং, ঘনবস্তুটির মাত্রাগুলি হল,
দৈর্ঘ্য (l) = x = 2 cm
প্রস্থ (b) = 2x = 2 × 2 = 4 cm
উচ্চতা (h) = 4x = 4 × 2 = 8 cm

এখন, আয়তাকার ঘনবস্তুর আয়তন, V = l × b × h
⇒ V = 2 × 4 × 8
⇒ V = 64 ঘন সেমি।

সুতরাং, নির্ণেয় আয়তন হল 64 cm³।

Question: If 3 jackets and 5 sweaters cost Tk. 12,000, and 5 jackets and 3 sweaters cost Tk. 13,600, what is the cost of one jacket?

Solution:
ধরি, একটি জ্যাকেটের মূল্য x টাকা এবং একটি সোয়েটারের মূল্য y টাকা।

প্রশ্নমতে,
3x + 5y = 12000 ............... (i) 
5x + 3y = 13600 .............. (ii)

(ii) × 5 - (i) × 3 ⇒
(25x + 15y) - (9x + 15y) = 68000 - 36000
⇒ 25x - 9x = 32000
⇒ 16x = 32000
⇒ x = 32000/16
⇒ x = 2000

সুতরাং, একটি জ্যাকেটের মূল্য 2000 টাকা।

প্রশ্ন: Find the ratio of total surface area to lateral surface area of a cylinder whose radius is 20 cm and height 80 cm.

সমাধান:

দেয়া আছে,
সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ (r) = 20 সেমি এবং উচ্চতা (h) = 80 সেমি।

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের সমগ্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)
সিলিন্ডারের পার্শ্ব পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh

সুতরাং, সমগ্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল : পার্শ্ব পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল
= 2πr(r + h) : 2πrh
= (r + h) : h
= (20 + 80) : 80
= 100 : 80
= 5 : 4

সুতরাং, নির্ণেয় অনুপাত হল 5 : 4

Question: A barrack has enough food for 200 soldiers or 400 sailors. If 120 sailors have taken the food, how many soldiers will be able to eat with the remaining food?

Solution:
এখানে,
400 জন নাবিকের খাবার = 200 জন সৈন্যের খাবার।

মোট নাবিক যাদের জন্য খাবার ছিল = 400 জন।
খাবার গ্রহণ করেছে = 120 জন।
অবশিষ্ট খাবার = (400 - 120) জন নাবিকের খাবার
= 280 জন নাবিকের খাবার।

এখন,
400 জন নাবিকের খাবার = 200 জন সৈন্যের খাবার।
∴ 1 জন নাবিকের খাবার = (200/400) জন সৈন্যের খাবার।
∴ 280 জন নাবিকের খাবার = (200 × 280)/400
= (1/2) × 280
= 140 জন সৈন্যের খাবার।

সুতরাং, অবশিষ্ট খাবার দিয়ে 140 জন সৈন্যকে দেওয়া যাবে।

Question: A cube has a base with a perimeter of 24 cm. What is its volume?

Solution:
দেওয়া আছে,
ঘনকের ভূমির পরিসীমা = 24 cm
আমরা জানি,
ঘনকের ভূমি একটি বর্গক্ষেত্র।

বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4 × বাহুর দৈর্ঘ্য

ধরি, ঘনকের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = a

প্রশ্নমতে,
4a = 24
⇒ a = 24/4
⇒ a = 6 cm

এখন,
ঘনকের আয়তন, V = a³ ঘন একক
= (6)³
= 216 cm³

সুতরাং, ঘনকটির আয়তন হল 216 cm³।

Question: A contractor employs 45 persons to do a job in 40 days. After 10 days, it was found that only one-sixth of the work was finished. How many more persons are to be employed to finish the job as per schedule?

Solution:
দেওয়া আছে:
মোট লোক = 45 জন
নির্ধারিত সময় = 40 দিন
10 দিনে সম্পন্ন কাজ = 1/6 অংশ

ধরি, সম্পূর্ণ কাজ = 1 একক

45 জন লোক 10 দিনে করে = 1/6 অংশ কাজ
∴ 45 জন লোক 1 দিনে করে = (1/6) ÷ 10 = 1/60 অংশ
∴ 1 জন লোক 1 দিনে করে = (1/60) ÷ 45 = 1/2700 অংশ

অবশিষ্ট কাজ = 1 - 1/6 = 5/6 অংশ
অবশিষ্ট সময় = 40 - 10 = 30 দিন

∴ অবশিষ্ট 5/6 অংশ কাজ 30 দিনে করতে হবে

∴ প্রতিদিনের প্রয়োজনীয় কাজের হার = (5/6) ÷ 30 অংশ
= 5/180 = 1/36 অংশ

এখন,
প্রতিদিন 1/2700 অংশ কাজ করে 1 জন
∴ 1 অংশ কাজ করে = 1 ÷ (1/2700) জন
∴ 1/36 অংশ কাজ করে = (2700/36) জন
= 75 জন

∴ অতিরিক্ত লোকের প্রয়োজন = 75 - 45 = 30 জন

Question: Find the volume of a cylindrical-shaped water container that has a height of 15 cm and a diameter of 14 cm.

Solution:
দেওয়া আছে,
 উচ্চতা (h) = 15 cm এবং ব্যাস (d) = 14 cm

আমরা জানি, ব্যাস = 2 × ব্যাসার্ধ
⇒ 2 × ব্যাসার্ধ = 14 cm
⇒ ব্যাসার্ধ (r) = 14/2 = 7 cm

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের আয়তন, V = πr²h ঘন একক
= 22/7 × (7)² × 15
= 22/7 × 49 × 15
= 22 × 7 × 15
= 2310 ঘন সেমি।

সুতরাং, সিলিন্ডার আকৃতির পানির পাত্রটির আয়তন হল 2310 cm³।

Question: Eight printers working together can print 960 documents in 6 days. If 3 printers stop working, how many documents can the remaining printers print in 9 days?

Solution:
8টি প্রিন্টার 6 দিনে প্রিন্ট করে = 960টি ডকুমেন্ট
∴ 1টি প্রিন্টার 6 দিনে প্রিন্ট করে = 960/8 = 120টি ডকুমেন্ট
∴ 1টি প্রিন্টার 1 দিনে প্রিন্ট করে = 120/6 = 20টি ডকুমেন্ট

অবশিষ্ট প্রিন্টার = 8 - 3 = 5টি

∴ 5টি প্রিন্টার 9 দিনে প্রিন্ট করবে = 20 × 5 × 9 = 900টি ডকুমেন্ট

প্রশ্ন: A rectangular tank with a length of 4m and a width of 2m can store 20000 liters. What is the height of the tank?

Solution:
দেয়া আছে,
ট্যাংকের দৈর্ঘ্য (l) = 4 m, প্রস্থ (b) = 2 m, এবং আয়তন (V) = 20000 লিটার।

ধরি, ট্যাংকটির উচ্চতা হল h মিটার।

আমরা জানি,
আয়তাকার ঘনবস্তুর আয়তন, V = l × b × h ঘন একক
= (4 × 2 × h) m³
= 8h m³

এখন,
1 m³ = 1000 লিটার।

প্রশ্নমতে,
(8h × 1000) = 20000
বা, 8h = 20000/1000
বা, 8h = 20
∴ h = 2.5 

সুতরাং, ট্যাংকটির উচ্চতা হল 2.5 মিটার।

Question: A cubical container with a side of 8 meters is to be painted on the entire outer surface area. If the cost of painting is Tk. 25 per square meter, what will be the total cost of painting?

Solution:
দেওয়া আছে,
ঘনকাকৃতির পাত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 8 m
যেহেতু সম্পূর্ণ বাইরের পৃষ্ঠতলে রং করতে হবে, তাই রং করার ক্ষেত্রফল ঘনকটির সমগ্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের সমান হবে।

ঘনকের সমগ্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = 6a²
∴ রং করার ক্ষেত্রফল = 6 × 8²
⇒ রং করার ক্ষেত্রফল = 6 × 64
⇒ রং করার ক্ষেত্রফল = 384 বর্গমিটার।

এখন, প্রতি বর্গমিটারে রং করার খরচ = 25 টাকা
সুতরাং, মোট খরচ = (রং করার ক্ষেত্রফল) × (প্রতি বর্গমিটারে খরচ)
⇒ মোট খরচ = 384 × 25
⇒ মোট খরচ = 9600 টাকা।

অতএব, রং করতে মোট খরচ হবে 9600 টাকা।

Question: The ratio of total surface area to curved surface area of a cone whose radius is 5cm and height 12 cm is :

Solution:
দেওয়া আছে,
কোণকের ব্যাসার্ধ, r = 5 cm
কোণকের উচ্চতা, h = 12 cm

এখন,কোণকের হেলানো উচ্চতা (slant height) বের করতে হবে।
কোণকের হেলানো উচ্চতা ((slant height), l = √(r² + h²)
= √(5² + 12²)
= √(25 + 144)
= √(169)
= 13 cm

  এখন, কোণকের সমগ্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল ও বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয় করি।
  সমগ্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল (total surface area) = πrl + πr²
  বক্রতলের ক্ষেত্রফল (curved surface area) = πrl

  অনুপাত = ( πrl + πr² ) : ( πrl )
 =  πr(l + r) : πrl
= (l + r) : l   (উভয় পক্ষকে πr দ্বারা ভাগ করে)
= (13 + 5) : 13
= 18 : 13

∴ কোণকের সমগ্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল ও বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত = 18 : 13.

Question: If 8 men or 12 women can build a 240-meter road in 10 days, how many days will 6 men and 6 women take to build a 360-meter road?

Solution:
দেওয়া আছে, ৮ জন পুরুষের কাজের ক্ষমতা = ১২ জন মহিলার কাজের ক্ষমতা
অর্থাৎ, ২ জন পুরুষ = ৩ জন মহিলা

এখন,
৩ জন মহিলা = ২ জন পুরুষ
∴ ১ জন মহিলা = (২/৩) জন পুরুষ
∴ ৬ জন মহিলা = ৬ × (২/৩) = ৪ জন পুরুষ
সুতরাং, মোট শ্রমিক সংখ্যা = ৬ জন পুরুষ + ৪ জন পুরুষ = ১০ জন পুরুষ।

৮ জন পুরুষ ২৪০ মিটার রাস্তা তৈরি করে ১০ দিনে।
∴ ১ জন পুরুষ ২৪০ মিটার রাস্তা তৈরি করে = (১০ × ৮) = ৮০ দিনে
∴ ১ জন পুরুষ ১ মিটার রাস্তা তৈরি করে = (৮০ ÷ ২৪০) = ১/৩ দিনে
∴ ১০ জন পুরুষ ১ মিটার রাস্তা তৈরি করে = (১/৩ ÷ ১০) = ১/৩০ দিনে
∴ ১০ জন পুরুষ ৩৬০ মিটার রাস্তা তৈরি করে = (১/৩০) × ৩৬০ = ১২ দিনে।

∴ ৬ জন পুরুষ এবং ৬ জন মহিলা ৩৬০ মিটার রাস্তা তৈরি করতে ১২ দিন সময় নেবে।

Question: A cistern 8m long and 5m wide contains water up to a depth of 1m 50cm. The total area of the wet surface is:

Solution:
দেওয়া আছে,
চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য (l) = 8 m, প্রস্থ (b) = 5 m, এবং গভীরতা (h) = 1 m 50 cm = 1.5 m

ভেজা পৃষ্ঠের (wet surface) ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য আমরা সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল থেকে উপরের তলের ক্ষেত্রফল বাদ দেবো।

আমরা জানি,
সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2(lb + bh + lh) বর্গ একক

∴ ভেজা পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2(lb + bh + lh) - lb বর্গ একক
= 2{(8 × 5) + (5 × 1.5) + (8 × 1.5)} - (8 × 5)
= 2(40 + 7.5 + 12) - 40
= 2(59.5) - 40
= 119 - 40
= 79 m²

সুতরাং, ভেজা পৃষ্ঠের (wet surface) মোট ক্ষেত্রফল 79 বর্গ মিটার।

Question: If the volume of a sphere is 972π cm³, what is the surface area of the sphere?

Solution:
দেওয়া আছে,
গোলকের আয়তন, V = 972π cm³

আমরা জানি,
গোলকের আয়তন, V = (4/3)πr³
⇒ (4/3)πr³ = 972π
⇒ r³ = (972π × 3)/(4π)
⇒ r³ = (972 × 3)/4 
⇒ r³ = 243 × 3
⇒ r³ = 729 
∴ r = 9 cm

গোলকের সমগ্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = 4πr²
= 4π(9)²
= 4π × 81
= 324π cm².

অতএব, গোলকের সমগ্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = 324π cm²

Question: A laborer is paid Tk. 30 per hour for an 8-hour day. If he works overtime (above 8 hours) in a single day, he is paid 1.5 times the rate he is paid for regular hours. If the laborer receives Tk. 330 for a single day's work. How long did he work on that day?

Solution:
শ্রমিকের নিয়মিত বেতন (8 ঘণ্টার জন্য) = 8 ঘণ্টা × 30 টাকা/ঘণ্টা = 240 টাকা।

শ্রমিকের অতিরিক্ত কাজের (ওভারটাইম) আয় = 330 টাকা - 240 টাকা
= 90 টাকা।

শ্রমিকের প্রতি ঘণ্টার ওভারটাইম বেতন = 30 টাকা × 1.5 = 45 টাকা।

শ্রমিকের ওভারটাইম কাজের সময় = 90 টাকা ÷ 45 টাকা/ঘণ্টা
= 2 ঘণ্টা।

শ্রমিকের মোট কাজের সময় = 8 ঘণ্টা (নিয়মিত) + 2 ঘণ্টা (ওভারটাইম)
= 10 ঘণ্টা।

Question: What is the total surface area of a right circular cone with a base radius of 7 cm and a height of 24 cm?

Solution:
দেওয়া আছে,
ভূমির ব্যাসার্ধ r = 7 cm, উচ্চতা h = 24 cm
∴ হেলানো উচ্চতা, l = √(r² + h²)
= √(7² + 24²)
= √(49 + 576)
= √(625)
= 25 cm.

সমগ্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল (total surface area), = πr(l + r)
= (22/7) × 7 × (25 + 7)
= 22 × 32
= 704 cm².

∴ সমগ্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল (total surface area) = 704 cm².

Question: A solid metal sphere of radius 9 cm is melted and recast into solid cones of radius 9 cm and height 4 cm. How many cones can be made?

Solution:
দেওয়া আছে, 
গোলকের ব্যাসার্ধ, R = 9 cm
∴ গোলকের আয়তন, V_গোলক = 4/3πR³
= 4/3π(9)³
= 4/3π(729)
= 972π ঘন সেমি।

আবার,
দেওয়া আছে,
কোণকের ব্যাসার্ধ, r = 9 cm এবং উচ্চতা, h = 4 cm
∴ কোণকের আয়তন, V_কোণক = 1/3πr²h
= 1/3π(9)²(4)
= 1/3π(81)(4)
= 108π ঘন সেমি।

∴ কোণকের সংখ্যা = (V_গোলক)/(V_কোণক)
= 972π/108π
= 9

সুতরাং, মোট 9টি কোণ তৈরি করা যাবে।