Math Master

প্রশ্ন: sinθ = 1/2 এবং tanθ = 1 হলে, cosec(- θ) - cot(- θ) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sinθ = 1/2 এবং tanθ = 1

প্রদত্ত রাশি,
cosec(- θ) - cot(- θ)
= - cosecθ - (- cotθ)
= - cosecθ + cotθ
= - (1/sinθ) + (1/tanθ)
= - {1/(1/2)} + 1/(1)
= - 2 + 1
=- 1

প্রশ্ন: যদি ১৫ ফুট দীর্ঘ এবং ৮ ফুট প্রস্থ একটি কার্পেট দিয়ে একটি রুমের মেঝের ৪০% জায়গা ঢেকে দেয়া যায় তবে ঐ মেঝের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কার্পেটের দৈর্ঘ্য = ১৫ ফুট
কার্পেটের প্রস্থ = ৮ ফুট
কার্পেট মেঝের ৪০% অংশ ঢেকে দেয়া যায়

∴ কার্পেটের ক্ষেত্রফল = ১৫ × ৮ = ১২০ বর্গফুট

∴ ৪০% মেঝে = ১২০ বর্গফুট
∴ ১% মেঝে = ১২০/৪০ = ৩ বর্গফুট
∴ ১০০% মেঝে = (৩ × ১০০) = ৩০০ বর্গফুট

∴ মেঝের মোট ক্ষেত্রফল = ৩০০ বর্গফুট

প্রশ্ন: cot3A = 1/√3 হলে, A এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
⇒ cot3A = 1/√3
⇒ cot3A = cot60°
⇒ 3A = 60°
⇒ A = 60°/3
∴ A = 20°

প্রশ্ন: আয়তাকার একটি বাগানের দৈর্ঘ্য ১২০ মি এবং প্রস্থ ৮০ মি । বাগানটি পরিচর্যা করার জন্য ঠিক মাঝ দিয়ে ৪ মি চওড়া দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থ বরাবর রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দৈর্ঘ্য বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল = ১২০ × ৪ = ৪৮০ বর্গ মিটার
প্রস্থ বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল = (৮০ × ৪) - ৪^২ = ৩২০ - ১৬ = ৩০৪ বর্গ মিটার

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = ৪৮০ + ৩০৪ = ৭৮৪ বর্গ মিটার

প্রশ্ন: একটি মিনারের শীর্ষবিন্দুতে ঐ বিন্দু থেকে 35 মিটার দূরের ভূতলস্থ একটি বিন্দুর অবনতি কোণ 30° হলে মিনারটির উচ্চতা কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
অবনতি কোণ θ = 30°
দূরত্ব (মিনার থেকে বিন্দু পর্যন্ত) = 35 মিটার

sinθ = লম্ব/অতিভুজ = AB/AC
⇒ sin30° = h/35
⇒ 1/2 = h/35
⇒ h = 35/2
∴ h = 17.5 মিটার

প্রশ্ন: cos²25° + cos²65° = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cos²25° + cos²65°
= cos²25° + cos²(90° - 25°)
= cos²25° + sin²25°
= sin²25° + cos²25°  ; [ sin²A + cos²A = 1]
= 1

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ২৪০ বর্গমিটার। যদি এর দৈর্ঘ্য ৪ মিটার কমানো এবং প্রস্থ ৪ মিটার বাড়ানো হয়, তবে এটি একটি বর্গক্ষেত্রে পরিণত হয়। বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, 
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য 'ক' মিটার
তাহলে,
আয়তের দৈর্ঘ্য = (ক + ৪) মিটার
আয়তের প্রস্থ = (ক - ৪) মিটার

প্রশ্নমতে,
⇒ (ক + ৪)(ক - ৪) = ২৪০
⇒ ক^২ - ১৬ = ২৪০
⇒ ক^২ = ২৪০ + ১৬ = ২৫৬
⇒ ক = √২৫৬
∴ ক = ১৬

∴ বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = ১৬ মিটার

প্রশ্ন: একটি পুকুরের দৈর্ঘ্য ৫৬ মি এবং প্রস্থ ৪২ মি । পুকুরের পাড়ের বিস্তার ৫মি হলে, পুকুর পাড়ের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পুকুরের দৈর্ঘ্য = ৫৬ মিটার
পুকুরের প্রস্থ = ৪২ মিটার
পাড়ের প্রস্থ = ৫ মিটার

∴ পুকুরের ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গ একক
= ৫৬ × ৪২ = ২৩৫২ বর্গমিটার
আবার,
পাড়সহ পুকুরের দৈর্ঘ্য = ৫৬ + (২ × ৫) = ৬৬ মিটার
পাড়সহ পুকুরের প্রস্থ = ৪২ + (২ × ৫) = ৫২ মিটার

∴ পাড়সহ পুকুরের ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গ একক
= ৬৬ × ৫২ = ৩৪৩২ বর্গমিটার

∴ পুকুর পাড়ের ক্ষেত্রফল = ৩৪৩২ - ২৩৫২ = ১০৮০ বর্গমিটার

প্রশ্ন: Sinθ + cosθ = 1 হয়, তবে θ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sinθ + cosθ = 1
আমরা জানি,
sin⁡0^∘= 0, cos⁡0^∘= 1  ⇒ sin⁡0^∘ + cos⁡0^∘ = 1
আবার,
sin⁡90^∘ = 1, cos⁡90^∘ = 0  ⇒ sin⁡90^∘ + cos⁡90^∘ = 1

অর্থাৎ, θ এর জন্য,
θ = 0^∘ অথবা 90^∘​
অপশন যাচাই করে।

প্রশ্ন: আয়তাকার একটি ঘরের দৈর্ঘ্য এর বিস্তারের দ্বিগুণ। ঘরটির মেঝে কার্পেট দিয়ে ঢাকতে প্রতি বর্গমিটারে ৪ টাকা হারে মোট ৭২০০ টাকা খরচ হলে ঘরটির পরিসীমা কত মি.?

সমাধান:
ধরি,
ঘরের প্রস্থ = ক মিটার
দৈর্ঘ্য = ২ক মিটার

∴ ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = ২ক × ক = ২ক^২

∴ মোট খরচ = ক্ষেত্রফল × প্রতি বর্গমিটারের খরচ
⇒ ২ক^২ × ৪ = ৭২০০
⇒ ৮ক^২ = ৭২০০
⇒ ক২ = ৭২০০/৮ = ৯০০
⇒ ক = √৯০০
∴ ক = ৩০
প্রস্থ = x = ৩০ মি.
দৈর্ঘ্য = ২ক = ৬০ মি.

∴ পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = ২ × (৬০ + ৩০)
= ২ × ৯০ = ১৮০ মিটার

প্রশ্ন: একটি 63 মিটার লম্বা খুঁটি ভেঙ্গে গিয়ে সম্পূর্নভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে 30° কোন উৎপন্ন করল। খুঁটিটি কত উঁচুতে ভেঙ্গেছিল?

সমাধান:

ধরি,
খুঁটিটি AC = x মিটার উঁচুতে ভেঙ্গেছিল।
∴ অপর ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য, BC = (63 - x) মিটার।
ভূমির সাথে উৎপন্ন কোণ, θ = 30°
এখন,
sinθ = AC/BC
⇒ sinθ = x/(63 - x)
⇒ sin30° = x/(63 - x)
⇒ 1/2 = x/(63 - x)
⇒ 2x = 63 - x
⇒ 3x = 63
∴ x = 21

∴ খুঁটিটি 21 মিটার উঁচুতে ভেঙ্গেছিল।

প্রশ্ন: ১৫৭ সে.মি. দৈর্ঘ্যের একটি লোহার তারকে একটি বৃত্তাকার চাকায় রূপান্তরিত করা হলে চাকার ব্যাস কত হবে?

সমাধান:
চাকার পরধি = লোহার তারের দৈর্ঘ্য
⇒ ২πr = ১৫৭
⇒ ২r = ১৫৭/π = ১৫৭/৩.১৪
⇒ ২r = (১৫৭ × ১০০)/৩১৪
∴ ২r = ৫০

∴ চাকার ব্যাস = ৫০ সে. মি.

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজে, secθ = ?

সমাধান:

আমরা জানি,
sinθ = লম্ব/অতিভুজ
cosθ = ভূমি/অতিভুজ
tanθ = লম্ব/ভূমি
cotθ = ভূমি/লম্ব
secθ = অতিভুজ/ভূমি
cosecθ = অতিভুজ/লম্ব
 

প্রশ্ন: একটি ১২ মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট অর্ধবৃত্তাকার মাঠের কেন্দ্রে ১০ মি দৈর্ঘ্যের একটি দড়ির খুঁটি অবস্থিত এবং অপর প্রান্তে একটি গরু বাঁধা আছে। তাহলে গরুটি কতটুকু ক্ষেত্রের ঘাস খেতে পারবেনা?

সমাধান:
একটি অর্ধবৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধ = ১২ মিটার।
মাঠের কেন্দ্রে একটি খুঁটি আছে যার দৈর্ঘ্য = ১০ মিটার (অর্থাৎ, দড়ির দৈর্ঘ্য = ১০ মিটার)।

∴ অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল = (১/২)πr^২
= (১/২) × π × (১২)^২
= (১/২) × π × ১৪৪
= ৭২π বর্গ মিটার

আবার,
গরুটি যে অঞ্চলে ঘাস খেতে পারবে তা একটি অর্ধবৃত্ত যার ব্যাসার্ধ = ১০ মিটার।

∴ ক্ষেত্রফল=(১/২) × π × (১০)^২
= ৫০π বর্গ মিটার

∴ গরুটি যে অঞ্চলে ঘাস খেতে পারবে না = মোট মাঠের ক্ষেত্রফল - গরুটি যে অঞ্চলে ঘাস খেতে পারবে
= (৭২π - ৫০π) = ২২π বর্গ মিটার

প্রশ্ন: যদি 1 + 3tan²θ = 4 এবং θ < 90° হলে, θ = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
1 + 3tan2θ = 4
⇒ 3tan²θ = 4 - 1
⇒ 3tan²θ = 3
⇒ tan²θ = 3/3 = 1
⇒ tanθ = 1
⇒ tanθ = tan45°
∴ θ = 45°