সহকারী থানা শিক্ষা অফিসার (ATEO)

প্রশ্ন: A = {4, 5, 6} এবং B = {5, 6, 7} হলে, n(A ∩ B) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {4, 5, 6}
B = {5, 6, 7}
A ∩ B = {4, 5, 6} ∩ {5, 6, 7}
= {5, 6}

∴ A ∩ B এর উপাদান সংখ্যা n(A ∩ B) = 2

প্রশ্ন: 2^{(2x + 2)} = 8^{(x + 3)} হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
2^{(2x + 2)} = 8^{(x + 3)}
⇒ 2^{(2x + 2)} = 2^{{3(x + 3)}}
⇒ 2^{(2x + 2)} = 2^{(3x + 9)}
⇒ 2x + 2 = 3x + 9
⇒ 2 - 9 = 3x - 2x
⇒ x = 2 - 9
⇒ x = - 7

প্রশ্ন: একটি শ্রেণির ৪০ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে ২৮ জন ফ্রেঞ্চ ভাষা শিখে। ৮ জন ফ্রেঞ্চ ও স্প্যানিশ ভাষা উভয়টিই শিখে। যদি প্রত্যেক শিক্ষার্থীই দুটি ভাষার কোন একটি ভাষা শিখে তাহলে মোট কতজন স্প্যানিশ ভাষা শিখছে?

সমাধান:
মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা n(S) = ৪০ জন
দুটি ভাষাই শিখে n(F ∩ S) = ৮ জন
∴ শুধু মাত্র ফ্রেঞ্চ ভাষা শিখে n(F) = (২৮ - ৮) জন
= ২০ জন

∴ মোট স্প্যানিশ ভাষা শিখে = (৪০ - ২০) জন
= ২০ জন

প্রশ্ন: দুইটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করলে, মোট 4 পাওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
লুডুর দুইটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে মোট ঘটনা = 6²
= 36

দুইটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করলে মোট 4 পাওয়ার অনুকূল ঘটনা = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}
= 3 টি

সুতরাং, মোট 3 পাওয়ার সম্ভাব্যতা = 3/36
= 1/12

প্রশ্ন: {(9^x - 100)/(3^x + 10)} + 10 = ?

সমাধান:
{(9x - 100)/(3x + 10)} + 10
= {(3^x)² - (10)²/(3^x + 10)} + 10
= [{(3^x + 10)(3^x - 10)}/(3^x + 10)] + 10
= (3^x - 10) + 10
= 3^x - 10 + 10
= 3^x

প্রশ্ন: A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 14} এবং B = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x ≤ 17} হলে, A ∩ B = কত?

সমাধান:
A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 14}
= {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14}

B = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x ≤ 17}
= {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17}

সুতরাং, A ∩ B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14} ∩ {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17}
= {3, 5, 7, 9, 11, 13}

প্রশ্ন: একটি অংক রাব্বির এবং রিদমের করতে পারার সম্ভাবনা যথাক্রমে (2/5) এবং (1/2)। অংকটি সমাধান করতে পারার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
রাব্বির পারার সম্ভাবনা = 2/5
রাব্বির না পারার সম্ভাবনা = 1 - (2/5) = 3/5

আবার,
 পারার সম্ভাবনা = 1/2
রিদমের না পারার সম্ভাবনা = 1 - (1/2) = 1/2

এখন,
রাব্বির এবং রিদমের উভয়েই না পারার সম্ভাবনা = (3/5) × (1/2) = 3/10

সুতরাং, রাব্বির এবং রিদমের এর পারার সম্ভাবনা = 1 - (3/10)
= 7/10

প্রশ্ন: log_3√254√2 + log_2√264 + log₅125 = ?

সমাধান:
log_3√254√2 + log_2√264 + log₅125
= log_3√2(3√2)³ + log_2√2(2√2)⁴ + log₅5³
= 3 + 4 + 3
= 10

এখানে
54√2 = 27 × 2√2
= 3³ ×(√2)³
= (3√2)³

64 = 2⁶
= 2⁴ × {(√2)²}²
= 2⁴ × (√2)⁴
= (2√2)⁴

125 = 5³

প্রশ্ন: সেট A = {x ∈ N : x² > 10 এবং x³ < 90} হলে, A  এর মান কত?

সমাধান:
x² > 10; এই শর্তে x এর মানের সেট P হলে, P = {4, 5, 6 .......}
x³ < 90; এই শর্তে x এর মানের সেট Q হলে, Q = {1, 2, 3, 4}

উভয় শর্তে x এর মানের সেট, A = P ∩ Q
= {4, 5, 6 .......} ∩ {1, 2, 3, 4}
= {4}

প্রশ্ন: একটি ব্যাগে ৭টি সবুজ বল, ৯টি নীল বল এবং ৫টি লাল বল আছে। ব্যাগ থেকে একটি বল দ্বৈবভাবে নেওয়া হলো। বলটি সবুজ বা লাল বল না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট বলের সংখ্যা = (৭ + ৯ + ৫)
= ২১
∴ সবুজ ও লাল বলের সংখ্যা = (৭ + ৫)
= ১২

এখন, বলটি সবুজ বা লাল হওয়ার সম্ভাবনা = ১২/২১

∴ বলটি সবুজ বা লাল না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (১২/২১)
= (২১ - ১২)/২১
= ৯/২১
= ৩/৭

প্রশ্ন: p⁶ × p^{- 8} × p × p³ × p^{- 2} = কত?

সমাধান:
p⁶ × p^{- 8} × p × p³ × p^{- 2}
= p^{6 - 8 + 1 + 3 - 2}
= p⁰
= 1

প্রশ্ন: A = {x : x, 15 এর গুণনীয়ক) এবং B = {x : x, 5 এর গুণিতক এবং x ≤ 15} হলে,  A - B = কত?

সমাধান:
এখানে,
A = {1, 3, 5, 15}
B = {5, 10, 15}

∴ A - B = {1, 3, 5, 15} - {5, 10, 15}
= {1, 3}

প্রশ্ন: 3 টি নিরপেক্ষ মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করা হলে কমপক্ষে দুইটি Head না পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
তিনটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করলে মোট নমুনা বিন্দু হবে = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}
= 8 টি
কমপক্ষে 2 টি Head পাওয়ার অনুকূল ঘটনাগুলো = {HHH, HHT, HTH, THH}
= 4টি

∴ কমপক্ষে 2 টি Head পাওয়ার সম্ভাবনা = 4/8 = 1/2

সুতরাং, কমপক্ষে 2 টি Head না পাওয়ার সম্ভাবনা = 1 - (1/2)
= 1/2

প্রশ্ন: 2^{(8x - 2)} = 512 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
2^{(8x - 2)} = 512
⇒ 2^{(8x - 2)} = 2⁹ 
⇒ 8x - 2 = 9
⇒ 8x = 9 + 2
⇒ 8x = 11
⇒ x = 11/8

প্রশ্ন: আবহাওয়া অফিসের রিপোর্ট অনুযায়ী 2025 সালের জুন মাসের ৩য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে মোট 4 দিন। ঐ সপ্তাহে বৃহস্পতিবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
2025 সালের জুন মাসের ৩য় সপ্তাহে মোট 7 দিন
যার মধ্যে বৃষ্টি হয়েছিল = 4 দিন।

∴ বৃহস্পতিবার বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = 4/7

সুতরাং, বৃহস্পতিবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা = 1 - (4/7)
= (7 - 4)/7
= 3/7

প্রশ্ন: log₁₀5 + log₁₀(5a + 1) = log₁₀(a + 5) + 1 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
log₁₀5 + log₁₀(5a + 1) = log₁₀(a + 5) + 1
⇒ log₁₀5 + log₁₀(5a + 1) = log₁₀(a + 5) + log₁₀10
⇒ log₁₀{5(5a + 1)} = log₁₀{10(a + 5)}
⇒ 5(5a + 1) = 10(a + 5) 
⇒ 25a + 5 = 10a + 50
⇒ 15a = 45
⇒ a = 3

প্রশ্ন: X = {1, 2, 3, 4} হলে, X এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান:
• উপসেট:
- কোন সেটের উপাদান থেকে যতগুলো সেট গঠন করা যায় তাদের প্রত্যেকটি প্রদত্ত সেটের উপসেট। ফাঁকা সেট যেকোনো সেটের উপসেট।

• প্রকৃত উপসেট:
- কোনো সেট থেকে গঠিত উপসেটের মধ্যে যে উপসেটগুলোর উপাদান সংখ্যা প্রদত্ত সেটের উপাদান সংখ্যা অপেক্ষা কম তাদেরকে প্রকৃত উপসেট বলে। যেমন U = {a, b, c} সেটটি থেকে গঠিত উপসেটসমূহ {a, b, c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a}, {b}, {c}, Ø এখানে U উপসেট থেকে প্রাপ্ত উপসেটসমূহের মধ্যে U এর সম সংখ্যক উপাদানসমৃদ্ধ উপসেট {a, b, c} ব্যতীত বাকি সব উপসেটসমূহ হচ্ছে U এর প্রকৃত উপসেট।

দেওয়া আছে,
X = {1, 2, 3, 4}
∴ উপাদানের সংখ্যা, n = 4

আমরা জানি, n প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2ⁿ - 1 
= 2⁴ - 1
= 16 - 1
= 15
সুতরাং, X এর প্রকৃত উপসেট 15 টি।

প্রশ্ন: (log√14)/(log14) = কত?

সমাধান:
log√14/log14
= log14^(1/2)/log(14)
= (1/2)log14/log14
= (1/2) × 1
= 1/2

প্রশ্ন: (5^{5x - 6} · a^{4x - 7})/5^{(x + 1)} = a^{(4x - 7)} এবং a > 0 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
(5^{5x - 6} · a^{4x - 7})/5^{(x + 1)} = a^{(4x - 7)}
⇒ (5^{5x - 6}/5^{(x + 1)} = a^{(4x - 7)}/a^{(4x - 7)}
⇒ 5^{(5x - 6)} = 5^{(x + 1)}
⇒ 5x - 6 = x + 1
⇒ 5x - x = 1 + 6
⇒ 4x = 7
:. x = 7/4

প্রশ্ন: log_√128x = 8/7 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
log_√128x = 8/7
⇒ x = (√128)^8/7
⇒ x = 2^{(7/2) × (8/7)}
⇒ x = 2^8/2
⇒ x = 2⁴
⇒ x = 16

প্রশ্ন: S = {x : x স্বাভাবিক পূর্ণবর্গ সংখ্যা এবং x < 124} হলে, S সেটের তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কোনটি?

সমাধান:
x পূর্ণবর্গ সংখ্যা হলে x = n², যেখানে n একটি স্বাভাবিক পূর্ণবর্গ সংখ্যা
n² < 100 এই শর্ত মেনে n এর সম্ভাব্য মান হলো 1, 2, ..., 11

তাহলে,
পূর্ণবর্গ সংখ্যা x হবে 
= 1², 2², 3², 4², 5², 6², 7², 8², 9², 10², 11²
= 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81,100, 121

∴ S = {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121}

প্রশ্ন: 20 থেকে 36 পর্যন্ত সংখ্যাগুলো হতে ইচ্ছেমত 1টি সংখ্যা নির্বাচন করা হলে সংখ্যাটি মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
20 থেকে 36 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = 23, 29, 31
20 থেকে 36 পর্যন্ত মোট সংখ্যা = 17

∴ মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা = 3/17

প্রশ্ন: a^{- 3} = 0.25 হলে a⁹ মান কত?

সমাধান:
a^{- 3} = 0.25
⇒ (1/a)³ = 0.25
⇒ a³ = 1/0.25
⇒ a³ = 4
⇒ (a³)³ = 4³
⇒ a⁹ = 64