৯ম - ১৩তম গ্রেড পরীক্ষার প্রস্তুতি

প্রশ্ন: একটি কাঁঠাল ২০০ টাকা বিক্রয় করলে ৩০ টাকা ক্ষতি হয়, কাঁঠালটি কত টাকায় বিক্রয় করলে ৩০ টাকা লাভ হবে?

সমাধান: 
একটি কাঁঠাল ২০০ টাকা বিক্রয় করলে ৩০ টাকা ক্ষতি হয়,
∴ কাঁঠালটির ক্রয়মূল্য (২০০ + ৩০) টাকা 
= ২৩০ টাকা 

৩০ টাকা লাভ হলে,
কাঁঠালটির বিক্রয়মূল্য (২৩০ + ৩০) টাকা 
= ২৬০ টাকা 

প্রশ্ন: যদি x + y = 5 এবং xy = 6 হলে, x এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
x + y = 5 
xy = 6

এখন,
x - y = √{(x + y)² - 4xy} 
= √(5² - 4×6)
= √(25 - 24)
= √1
= 1

x + y + x - y = 5 + 1
⇒ 2x = 6
∴ x = 3 

প্রশ্ন: 9x² + 24x + 16 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান: 
9x² + 24x + 16
= (3x)² + 2. 3x . 4 + 4² 
= (3x + 4)²
= (3x + 4)(3x + 4)

প্রশ্ন: একটি রিচার্জেবল পাখা ২৭৫০ টাকায় বিক্রয় করলে ৪৫০ টাকা ক্ষতি হয়। ঐ পাখাটি ৪০০০ টাকা বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হবে?

সমাধান:
একটি রিচার্জেবল পাখা ২৭৫০ টাকায় বিক্রয় করলে ৪৫০ টাকা ক্ষতি হয়,
∴ পাখাটির ক্রয়মূল্য (২৭৫০ + ৪৫০) টাকা 
= ৩২০০ টাকা 

৪০০০ টাকা বিক্রয় করলে লাভ হবে।
লাভ = (৩৮০০ - ৩২০০) টাকা 
= ৮০০ টাকা

৩২০০ টাকায় লাভ ৮০০ টাকা
১ টাকায় লাভ ৮০০/৩২০০ টাকা
১০০ টাকায় লাভ (৮০০ × ১০০)/৩২০০ টাকা
=২৫ টাকা 

প্রশ্ন: 4x² + pxy + 9y² একটি পূর্ণবর্গ রাশি হলে, p এর মান কত হবে? 

সমাধান: 
4x² + pxy+ 9y² 
= (2x)² + 2.2x.3y + (3y)² + pxy - 12xy 
= (2x + 3y)² + pxy - 12xy 

∴  pxy - 12xy = 0 হলে রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে। 
⇒ pxy = 12xy
∴ p = 12 

প্রশ্ন: x³ + ax + 36 রাশিটির একটি উৎপাদক x + 3 হলে a এর মান কত?

সমাধান: 
ধরি,
f(x) = x³ + ax + 36
x + 3, x³ + ax + 36 রাশিটির একটি উৎপাদক 
∴ f(- 3) = 0 হবে।

এখন,
f(-3) = (- 3)³ + a(- 3) + 36
= - 27 - 3a + 36 
= 9 - 3a 

∴ 9 - 3a = 0
বা, 3a = 9
∴ a = 3 

প্রশ্ন: তানভীর প্রতি কেজি আম ১২৫ টাকা দরে ক্রয় করে ১৫০ টাকা দরে বিক্রয় করলে ২০০০ টাকা লাভ হয়, সে কত কেজি আম ক্রয় করেছিল?

সমাধান: 
প্রতি কেজিতে লাভ হয় (১৫০ - ১২৫) টাকা 
= ২৫ টাকা 

২৫ টাকা লাভ হয় যখন আম ১ কেজি
∴ ২০০০ টাকা লাভ হয় যখন আম (২০০০ × ১)/২৫ কেজি 
= ৮০ কেজি 

প্রশ্ন: নিচের কোনটি  x³ + 3x² + 3x + 2 রাশিটির উৎপাদক?

সমাধান: 
x³ + 3x² + 3x + 2
= x³ + 2x² + x² + 2x + x + 2
= x²(x + 2) + x(x + 2) + 1(x + 2)
= (x + 2)(x² + x + 1)

প্রশ্ন: ১ হালি ডিম ৩৬ টাকায় বিক্রয় করায় যত ক্ষতি হয় ৭২ টাকায় বিক্রয় করলে তার দ্বিগুণ লাভ হয়, ১ হালি ডিমের ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান: 
ধরি,
ক্ষতি ক টাকা 
∴ ক্রয়মূল্য ৩৬ + ক টাকা 

৭২ টাকায় বিক্রয় করলে লাভ ২ক টাকা 

শর্তমতে,
৩৬ + ক = ৭২ - ২ক 
বা, ক + ২ক  = ৭২ - ৩৬
বা, ৩ক = ৩৬
বা, ক = ৩৬/৩
∴ ক = ১২ 

∴ ক্রয়মূল্য ৩৬ + ১২ টাকা 
= ৪৮ টাকা 

প্রশ্ন: যদি a + b + c = 0 হলে, a³ + b³ + c³ এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
a + b + c = 0
⇒ a + b = - c
⇒ (a + b)³ = (- c)³ 
⇒ a³ + b³ + 3ab(a + b) = - c³
⇒ a³ + b³ + 3ab(- c) = - c³
⇒ a³ + b³ - 3abc = - c³
∴ a³ + b³ + c³ = 3abc 

প্রশ্ন: একটি চেয়ার ৫০০০ টাকায় ক্রয় করে ৫৯০০ টাকায় বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হবে? 

সমাধান: 
লাভ = (৫৯০০ - ৫০০০) টাকা 
= ৯০০ টাকা 

৫০০০ টাকায় লাভ হয় ৯০০ টাকা 
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় (৯০০ × ১০০)/৫০০০ টাকা 
= ১৮ টাকা 

প্রশ্ন: (a + 4b)(a - 4b) কোন রাশিটির উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ?

সমাধান: 
(a + 4b)(a - 4b)
= a² - (4b)²
= a² - 16b² 

প্রশ্ন: একটি দ্রব্য ৭২০ টাকায় বিক্রয় করলে ১০% ক্ষতি হয়। দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান: 
১০% ক্ষতিতে,
বিক্রয়মূল্য ৯০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৭২০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (১০০ × ৭২০)/৯০ টাকা
= ৮০০ টাকা

প্রশ্ন: p⁴ - 27p² + 1 কে নিঃশেষে বিভাজ্য করবে কোন রাশিটি?

সমাধান: 
p⁴ - 27p² + 1
= (p²)² - 2.p².1 + 1² - 25p²
= (p² - 1)² - (5p)²
= (p² + 5p -1)(p² - 5p - 1)

যেকোন রাশি তার উৎপাদক দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হয়।

প্রশ্ন: ক্রয়মূল্য ও বিক্রয়মূল্যের অনুপাত ৫ : ৬ হলে, লাভের শতকরা হার কত?

সমাধান: 
ধরি,
ক্রয়মূল্য ৫ক টাকা 
বিক্রয়মূল্য ৬ক টাকা 

∴ লাভ =(৬ক - ৫ক) টাকা = ক টাকা 

৫ক টাকায় লাভ হয় ক টাকা 
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় (ক × ১০০)/৫ক টাকা
= ২০ টাকা 

প্রশ্ন: x² = 5 + 2√6 হলে, x এর মান কত? 

সমাধান: 
x² = 5 + 2√6
⇒ x² = 3 + 2√(3 × 2) + 2
⇒ x² = (√3)² + 2.√3.√2 + (√2)²
⇒ x² = (√3 + √2)² 
∴ x = √3 + √2

প্রশ্ন: 6x² - 7x + 1 রাশিটির একটি উৎপাদক x - 1 হলে অপরটি-

সমাধান: 
6x² - 7x + 1
= 6x² - 6x - x + 1
= 6x(x - 1) - 1(x - 1)
= (x - 1)(6x - 1)

প্রশ্ন: ১৫টি বল ৫৪০ টাকায় বিক্রয় করায় ৩টি বলের ক্রয়মূল্যের সমান ক্ষতি হলো। একটি বলের ক্রয়মূল্য কত? 

সমাধান: 
ধরি,
১টি বলের ক্রয়মূল্য ক টাকা 
∴ ৩টি বলের ক্রয়মূল্য ৩ক টাকা
∴ ১৫টি বলের ক্রয়মূল্য ১৫ক টাকা

এখানে, ক্ষতি = ১৫ক - ৫৪০ টাকা 

শর্তমতে,
১৫ক - ৫৪০ = ৩ক 
বা, ১২ক = ৫৪০
∴ ক = ৪৫ 

∴ একটি বলের ক্রয়মূল্য ৪৫ টাকা

প্রশ্ন: x² - 8x - 8y + 16 + y² এর সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান: 
x² - 8x - 8y + 16 + y²
= x² + y² + (- 4)² + 2xy + 2y(- 4) + 2(- 4)x - 2xy
= (x + y - 4)² - 2xy 

∴ 2xy যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ হবে।

প্রশ্ন: x² + 13x + 36 কে x + 4 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

সমাধান: 
ধরি,
f(x) = x² + 13x + 36
∴ f(- 4) = (- 4)² + 13 × (- 4) + 36
= 16 - 52 + 36 
= 52 - 52
= 0

∴ ভাগশেষ 0 হবে। 

প্রশ্ন: ১২০ টাকার একটি দ্রব্য ১০০ টাকা বিক্রয় করলে শতকরা কত ক্ষতি হবে?

সমাধান: 
ক্ষতি = ১২০ - ১০০ টাকা 
= ২০ টাকা 

এখন,
ক্রয়মূল্য ১২০ টাকা হলে ক্ষতি ২০ টাকা 
∴ ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে ক্ষতি (২০ × ১০০)/১২০ টাকা 
=

প্রশ্ন: p² - 37p - 650 এর একটি উৎপাদক p - 50 হলে, অপর উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান: 
p² - 37p - 650
= p² - 50p + 13p - 650
= p(p - 50) + 13(p - 50)
= (p - 50)(p + 13)

প্রশ্ন:  টাকায় ৬টি করে ক্রয় করে টাকায় কয়টা বিক্রয় করলে ২০% লাভ হবে?

সমাধান: 
২০% লাভে, 
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ১২০ টাকা 
∴ ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ১২০/১০০ টাকা 
= ১.২ টাকা 

১.২ টাকায় বিক্রয় করা হয় ৬টি 
∴ ১ টাকায় বিক্রয় করা হয় ৬/১.২ টি 
= ৫টি

প্রশ্ন: x + y = √7 এবং x - y = √5 হলে, 8xy(x² + y²) = ?

সমাধান: 
8xy(x² + y²)
= 4xy × 2(x² + y²)
= {(x + y)² - (x - y)²}{(x + y)² + (x - y)²}
= {(√7)² - (√5)²}{(√7)² + (√5)²}
= (7 - 5)(7 + 5)
= 2 × 12
= 24

প্রশ্ন: a³ + 64 এর উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান: 
a³ + 64
= a³ + 4³
= (a + 4)(a² - 4a + 16)