প্রাইমারি শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি [লং কোর্স]

প্রশ্ন: চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত ১ : ২ : ২ : ৩ হলে, ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম কোণের পার্থক্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি 
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = ৩৬০°
দেয়া আছে,
চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত ১ : ২ : ২ : ৩
অনুপাতগুলোর সমষ্টি = ১ + ২ + ২ + ৩ = ৮
ক্ষুদ্রতম কোণ = (৩৬০ এর ১/৮)° = ৪৫°
বৃহত্তম কোণ = (৩৬০ এর ৩/৮)° = ১৩৫°
ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম কোণের পার্থক্য = ১৩৫° -  ৪৫° = ৯০°

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য ১৬√২ মিটার হলে, ঐ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত? 

সমাধান:
মনেকরি  
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = ক 
 কর্ণের দৈর্ঘ্য = √২ক একক

শর্তমতে,
√২ক = ১৬√২
বা, ক = ১৬√২/√২
 ক =১৬

বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ক 
= ১৬ × ৪ 
= ৬৪ মিটার

PQRS রম্বসের ∠Q = 80° হলে, ∠S এর মান কত? 



রম্বস
- যে আয়তে চারটি বাহু সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কর্ণ দুইটি অসমান তথা কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে রম্বস বলে।
- রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
- রম্বসের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।

PQRS রম্বসের ∠Q = 80° হলে ∠S = 80°

প্ৰশ্ন: একটি ত্রিভুজের দুটি কোণের সমষ্টি ১৪০° হলে অপর কোণের অর্ধেক কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি 
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°
ত্রিভুজের দুটি কোণের সমষ্টি ১৪০°

অপর কোণ = ১৮০° - ১৪০° = ৪০°
অপর কোণের অর্ধেক = ৪০°/২ = ২০°

প্রশ্ন: একটি ষড়ভুজের ছয়টি কোণের সমষ্টি কত হবে? 

সমাধান: 
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে তার কোণগুলোর সমষ্টি (2n - 4) সমকোণ।

সুতরাং সুষম ষড়ভুজের ছয় কোণের সমষ্টি = (2 × 6 - 4) সমকোণ
                                                                = (12 - 4) × 90°
                                                                = 8 × 90°
                                                                = 720°

ষড়ভুজের ছয়টি কোণের সমষ্টি = আট সমকোণ

- ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত
অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
- ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর অন্তঃস্থ বিপরীত
কোণ দুইটির প্রত্যেকটি অপেক্ষা বৃহত্তর ।
- সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয় পরস্পর পূরক
- সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণের পরিমাপ 60°

দুইটি সদৃশ চতুর্ভুজের
(ক) অনুরূপ কোণগুলো সমান এবং
(খ) অনুরূপ বাহুগুলো সমানুপাতিক ।

দুইটি চতুর্ভুজের অনুরূপ বাহুগুলো সমানুপাতিক হলে চতুর্ভুজ দুইটি সদৃশ।

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 20 মিটার। এর সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য ভূমির 3/4 হলে, ত্রিভুজটির ভূমির দৈর্ঘ্য কত? 


সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি = x সে.মি. 
সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য = 3x/4

প্রশ্নমতে,
x + (3x/4) + (3x/4) = 20
(4x + 3x + 3x)/4 = 20
10x/4 = 20 
x = (20 × 4)/10
x = 8 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্র ও একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা সমান। আবার আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৩ গুণ। আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২৪ মিটার হলে, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

 সমাধান: 
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২৪ মিটার
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ২৪/ ৩মিটার 
= ৮ মিটার

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা= ২(৮ + ২৪) মিটার
= ৬৪ মিটার 

বর্গের পরিসীমা = ৬৪ মিটার 
বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৬৪/ ৪ মিটার 
= ১৬ মিটার

প্রশ্ন:  একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 25 মি. এবং প্রস্থ 7 মি. হলে আয়তক্ষেত্রের অর্ধ পরিসীমা কত মিটার ? 


সমাধান: 
ধরি, আয়তক্ষেত্র ABCD এর কর্ণের দৈর্ঘ্য 25 মি. এবং প্রস্থ 7 মি.
∴ দৈর্ঘ্য, BC = √(25² - 7²) মি.
                  =√576 মি.
                  = 24 মি 

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2(24 + 7) 
= 62 মিটার
 আয়তক্ষেত্রের অর্ধ পরিসীমা = 62/2 মিটার = 31 মিটার

- ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্যের সমষ্টিকে পরিসীমা বলে।
- ত্রিভুজের বাহুগুলাে দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকে ত্রিভুজক্ষেত্র বলে।
- ত্রিভুজের যেকোনাে শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশকে মধ্যমা বলে। 
- যেকোনাে শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহু এর লম্ব-দূরত্বই ত্রিভুজের উচ্চতা।

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল একটি সামান্তরিক ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান। সামান্তরিকের ভূমি 9 মি এবং উচ্চতা 4 মি হলে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

সমাধান:
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = (ভূমি × উচ্চতা)
                                    = 9 × 4
                                    =36 মি.

ধরি,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য ক মি.
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ক^২ বর্গ মি.
ক^২ = 36
ক = √36 = 6

 বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা  = 6 × 4 = 24 মি.

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 12 সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান: 
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভূজের 2টি বাহু সমান = x
12² = x² + x²
144 = 2x²
2x² = 144
x² = 72
x = √72

∴ ক্ষেত্রফল = (1/2) × √72 × √72
= 36 বর্গ সে.মি.

চিত্রে, ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ । D, E ও F যথাক্রমে AB, BC ও AC এর মধ্যবিন্দু হলে নিচের কোনটি সত্য? 



ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে তার অর্ধেক।
 ABC একটি ত্রিভুজ। D ও F যথাক্রমে ত্রিভুজটির AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু। তাহলে
DF || BC এবং 2DF = BC

সমবাহু ত্রিভুজের বাহুগুলোর মধ্যবিন্দুসমূহ যোগ করলে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন হয় তা সমবাহু হবে।

ABCD একটি সামান্তরিক হলে নিচের কোনটি সত্য হবে? 


 
সামান্তরিকের বিপরীত বাহু ও কোণগুলো পরস্পর সমান ।
 ABCD একটি সামান্তরিক এবংAC ও BD তার দুইটি কর্ণ । 
(ক) AB বাহু = CD বাহু, AD বাহু = BC বাহু
(খ) ∠BAD = ∠BCD, ∠ABC = ∠ADC.

একটি আয়তের সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য 4 সে.মি. এবং 3 সে.মি. হলে এর
i. অর্ধ পরিসীমা 7 সে.মি.
ii. কর্ণের দৈর্ঘ্য 5 সে.মি.
iii. ক্ষেত্রফল 12 বর্গ সে.মি.
নিচের কোনটি সঠিক?

আয়তের সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য 4 সে.মি. এবং 3 সে.মি. হলে
অর্ধ পরিসীমা = (4 + 3)সে.মি.  = 7 সে.মি. 

আয়তের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √(4² + 3²) সে.মি. 
= √(16 + 9) = √25 = 5 সে.মি. 

আয়তের ক্ষেত্রফল = 3 × 4 = 12 বর্গ সে.মি.

আয়ত :
যে সামান্তরিকের একটি কোণ সমকোণ, তাই আয়ত ।
আয়তের চারটি কোণ সমকোণ ।
আয়তের সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকে আয়তক্ষেত্র বলে ।

প্রশ্ন: ২১ মিটার দীর্ঘ এবং ১৫ মিটার প্রস্থ একটি বাগানের বাইরে চারদিকে ২ মিটার প্রশস্ত একটি রাস্তা আছে । রাস্তার ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান :
রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = ২১ মি. + (২ + ২) মি. = ২৫ মিটার
প্রস্থ = ১৫ মি. + (২ + ২) মি. = ১৯ মিটার

রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল (২৫ × ১৯) বর্গমিটার
= ৪৭৫ বর্গমিটার

রাস্তাবাদে বাগানের ক্ষেত্রফল = (২১ × ১৫) বর্গমিটার
= ৩১৫ বর্গমিটার

রাস্তার ক্ষেত্রফল = (৪৭৫ – ৩১৫) বর্গমিটার
= ১৬০ বর্গমিটার

নিচের উপাত্তগুলো জানা থাকলে একটি নির্দিষ্ট ত্রিভুজ সহজেই আঁকা যায়:

(১) তিনটি বাহু
(২) দুইটি বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ
(৩) একটি বাহু ও এর সংলগ্ন দুইটি কোণ
(৪) দুইটি কোণ ও এর একটির বিপরীত বাহু
(৫) দুইটি বাহু ও এর একটির বিপরীত কোণ
(৬) সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও অপর একটি বাহু অথবা কোণ ।

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 40 সে.মি ও 60 সে.মি. । রম্বসের ক্ষেত্রফল কত? 


সমাধান: 
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2 × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (1/2) × 40 × 60
= 1200 বর্গ সে.মি.

ΔABC এর ∠ABC > ∠ACB হলে, নিচের কোনটি সঠিক? 

 


কোনো ত্রিভুজের একটি কোণ অপর একটি কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর হলে, বৃহত্তর কোণের বিপরীত বাহু ক্ষুদ্রতর কোণের বিপরীত বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর ।

ΔABC এর ∠ABC > ∠ACB হলে AC > AB 

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ দুটির যোগফল কত? 

• আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণের মান 60°।
• সুতরাং একটি বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ উভয় পাশে 180° - 60° = 120° কোণ উৎপন্ন করে।
• সুতরাং বহিঃস্থ কোণ দুটির অন্তরফল = 120° +  120° = 240°

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিস্থঃকোণ ৬০° হলে ঐ বহুভুজের বাহুর সংখ্যা কত হবে? 

সমাধান: 
সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণ  = ৬০°
                                                       
আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণের সমষ্টি = ৩৬০°

সুতরাং বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা হবে = ৩৬০°/৬০°
                                                       = ৬