ডেইলি কুইজ [২০০ দিন]

সমাধানঃ 'ALGEBRA' শব্দটিতে দুইটি A সহ মোট সাতটি বর্ণ আছে।
এখন দুইটি A এর একটি এবং বাকী পাঁচটি বর্ণসহ(A, E, L, G, B, R)
মোট ছয়টি বর্ণ থেকে তিনটি বর্ণ একসাথে নিয়ে গঠিত শব্দের সংখ্যা
= ⁶P₃
 = 6.5.4
= 120 টি।

আবার দুইটি A এবং বাকী পাঁচটির থেকে একটি নিয়ে গঠিত শব্দের সংখ্যা
{(A, A, L), (A, A, G), (A, A, E), (A, A, B) (A, A, R)}
= 5 × 3!/2
= 15 টি

 সুতরাং মোট শব্দ সংখ্যা
= 130 + 15
= 135

⁵C₂ + ⁵P₂
= 5!/(2!3!) + 5!/3!
=  10 + 20
= 30 

POSTAGE শব্দটিতে 3টি স্বরবর্ণ (O, A, E) এবং 4টি ব্যঞ্জনবর্ণ (P, S, T, G) আছে।
এখন 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 এই সাতটি স্থানের মধ্যে তিনটি জোড়স্থান (2, 4, 6) রয়েছে।

সুতরাং তিনটি জোড়স্থানে 3 টি স্বরবর্ণ রেখে বাকী 4 টি স্থান 4 টি ব্যঞ্জনবর্ণ দ্বারা পূরণ করা যায়
= ⁴P₄
= 4!
= 24 উপায়ে।

 এবং 3 টি স্বরবর্ণ দ্বারা 3 টি জোড় স্থান পূরণ করা যায়
= 3!
= 6 উপায়ে

সুতরাং নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা
= 24 × 6
= 144 উপায়ে।

"COMBINATION" শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা, X = 11!/(2!2!2!)
"PERMUTATION" শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা, Y = 11!/(2!)
অতএব, X/Y = {11!/(2!2!2!)} ÷ {11!/(2!)} = 1/4
⇒ X = Y/4
"COMBINATION" শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা "PERMUTATION" শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার 1/4 গুণ।

6 জনের একটি গ্রুপ বাছাই করার উপায়
= ¹C₁ × ¹⁹C₅
= 11628

5 টি মার্বেল সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকলে, অন্তর্ভুক্তের বাইরে থাকবে
(i) (16 - 5) = 11 টি 
(ii) (9 - 5) = 4 টি 
11 টি মার্বেল থেকে 4 টি মার্বেল কত প্রকারে বাছাই করার উপায় = ¹¹C₄ = 330

n টি জিনিসের মধ্যে p টি এক জাতীয় এবং বাকিগুলো ভিন্ন ভিন্ন। ঐ জিনিসগুলো থেকে প্রতিবারে r(r ≥ p) টি নিয়ে বাছাই করার উপায়
= ^{n - p}C_{r - 0} + ^{n - p}C_{r - 1} + ^{n - p}C_{r - 2} + ... ... ... + ^{n - p}C_{r - p} [ i = 0, 1, 2, 3, ... ... ... p; যেখানে p ∈ N ]

অতএব, 12 টি কলমের মধ্যে 3 টি এক জাতীয় এবং বাকিগুলো ভিন্ন ভিন্ন। ঐ কলমগুলো থেকে প্রতিবারে 5 টি নিয়ে বাছাই করার উপায়
= ^{12 - 3}C_{5 - 0} + ^{12 - 3}C_{5 - 1} + ^{12 - 3}C_{5- 2} + ^{12 - 3}C_{5 - 3} [ n = 12, p = 3, r = 5 ]
= ⁹C₅ + ⁹C₄ + ⁹C₃ + ⁹C₂
= 126 + 126 + 84 + 36
= 372

কমিটিতে 2 জন শিক্ষিকা থাকা বাধ্যতামূলক হলে,
ঐ 2 জন কে হিসাবের বিবেচনার বাইরে রেখে কমিটি গঠনের উপায় বের করতে হবে। 

কমিটি গঠনের উপায়
= ^{(6 - 2 + 4)}C_{(5 - 2)}
= ⁸C₃
= 56

⁸C₅ + ⁸C₄
= ^{8 + 1}C₅
= ⁹C₅
= 126
[ ⁿC_r + ⁿC_{r - 1} = ^{n + 1}C_r ]

যেহেতু, একটি দৌড় প্রতিযোগিতায় 12 জন প্রতিযোগীর প্রত্যেকে অন্য একজনের সাথে একবার মাত্র দৌড়াবে।
প্রত্যেক প্রতিযোগিতায় দুইজন অংশগ্রহণ করবে।
মোট দৌড় প্রতিযোগিতার সংখ্যা = ¹²C₂ = 66

দুইজন মিলে একটি খেলা অনুষ্ঠিত হবে। 
মোট খেলার সংখ্যা হবে
= ⁸C₂
= 28

চট্টগ্রামে যাওয়ার উপায়
= ³⁰C₂₀
= 30!/(20!10!)

"METAVERSE" শব্দটিতে মোট 9 টি বর্ণ আছে। যাদের মধ্যে 3 টি E ও বাকিগুলো ভিন্ন ভিন্ন। 
নির্ণেয় সাজানো সংখ্যা = 9!/3! = 60480

"BAMBOOZLE" শব্দটিতে মোট 9 টি বর্ণ আছে। স্বরবর্ণের সংখ্যা = 4 (A, O, O, E)
স্বরবর্ণ 4 টিকে এক অক্ষর মনে করলে মোট বর্ণ সংখ্যা = 6 যাদের মধ্যে B, 2টি 
বিন্যাস সংখ্যা = 6!/2! = 360
স্বরবর্ণ চারটি কে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় = 4!/2! = 12
নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা = 360 × 12 = 4320 

12 টি কলম থেকে 4 টি কলম বেছে নেওয়ার উপায় = ¹²C₄ = 495

6 টি খাতা থেকে 3 টি খাতা বেছে নেওয়ার উপায় = ⁶C₃ = 20

12 টি কলম ও 6 টি খাতা থেকে 4 টি কলম ও 3 টি খাতা বেছে নেওয়ার উপায় = 495 × 20 = 9900

"INTEMPERATE" শব্দটিতে মোট  বর্ণ 11টি বর্ণ আছে।
যার মধ্যে T 2টি ও E 3টি আছে।
অতএব, আটটি ভিন্ন ভিন্ন বর্ণ আছে। 

আটটি বর্ণ থেকে প্রতিবারে চারটি বর্ণ নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = ⁸P₄ = 8!/4! = 1680

3 টি E কে ভিন্ন ভিন্ন আটটি বর্ণের প্রতিটির সাথে নিলে চারটি বর্ণ দিয়ে শব্দ সংখ্যা
= ⁴P₃ × 8
= 24 × 8
= 192

2 টি T কে ভিন্ন ভিন্ন আটটি বর্ণের প্রতিটির সাথে নিলে চারটি বর্ণ দিয়ে শব্দ সংখ্যা
= ⁴P₂ × 8
= 12 × 8
= 96

মোট শব্দ সংখ্যা = 1680 + 192 + 96 = 1968

মোট চেয়ার = সারির সংখ্যা × প্রতি সারিতে চেয়ারের সংখ্যা

36 = 1 × 36 যা 4 এর কম
36 = 2 × 18 যা 4 এর কম
36 = 3 × 12 যা 4 এর কম

36 = 4 × 9 যা 4 এর সমান
36 = 6 × 6 যা 4 এর বেশি
36 = 9 × 4 যা 4 এর বেশি

36 = 12 × 3 যা 4 এর কম
36 = 18 × 2 যা 4 এর কম
36 = 36 × 1 যা 4 এর কম

3 উপায়ে সাজানো যায়।

"LOGARITHMS" শব্দটিতে 7 টি ব্যাঞ্জন বর্ণ ও 3 টি স্বরবর্ণ আছে।

7 টি ব্যাঞ্জন বর্ণ থেকে 2 টি ব্যাঞ্জন বর্ণ নিয়ে বাছাই করার উপায়
= ⁷C₂
= 21

3 টি স্বরবর্ণ থেকে 3 টি স্বরবর্ণ নিয়ে বাছাই করার উপায়
= ³C₃
= 1

অতএব, "LOGARITHMS" শব্দটির বর্ণগুলো থেকে 2 টি ব্যাঞ্জন বর্ণ ও 3 টি স্বরবর্ণ 21 × 1 বা 21 প্রকারে বাছাই করা যেতে পারে।

একটি ষড়ভুজে 6 টি বাহু আছে।
বাহুগুলো ষড়ভুজের কর্ণ হতে পারেনা।
অতএব, মোট কর্ণের সংখ্যা = ⁶C₂ - 6 = 15 - 6 = 9 টি