Math Master

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ৯, ১২, ১৫ দ্বারা ভাগ করলে প্রত্যেকবার ৪ অবশিষ্ট থাকবে?

সমাধান:
ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে ৯, ১২, ১৫ এর ল.সা.গু থেকে ৪ বেশি।

৯ = ৩ × ৩
১২ = ২ × ২ × ৩
১৫ = ৩ × ৫
∴ ৯, ১২, ১৫ এর ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫
= ১৮০

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১৮০ + ৪ = ১৮৪

প্রশ্ন: ২৩৪ এর সাথে কত যোগ করলে সংখ্যাটি ৮, ১২ এবং ১৮ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:

সংখ্যাটি এমন হবে যাতে ২৩৪ এর সাথে যোগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যা ৮, ১২ ও ১৮ দ্বারা বিভাজ্য হয়।
অর্থাৎ ৮, ১২ ও ১৮ এর ল.সা.গু বের করে ২৩৪ এর সাথে তার নিকটবর্তী গুণিতকের পার্থক্য নির্ণয় করতে হবে।

এখন, ৮, ১২ এবং ১৮ এর ল.সা.গু = ৭২

২৩৪ কে ৭২ দ্বারা ভাগ করলে,
৭২ × ৩ = ২১৬
অবশিষ্ট = ২৩৪ - ২১৬ = ১৮

যেহেতু ৭২ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য করতে হবে,
তাই যোগ করতে হবে = ৭২ - ১৮ = ৫৪

∴ নির্ণেয় সংখ্যা = ৫৪ ।

প্রশ্ন: একটি বিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীদের ড্রিল করার সময় ১২, ১৮ এবং ২৪ সারিতে সাজানো যায়। আবার বর্গাকারেও সাজানো যায়। ঐ বিদ্যালয়ে কমপক্ষে কতজন শিক্ষার্থী আছে?

সমাধান:
১২, ১৮ এবং ২৪ এর ল.সা.গু = ৭২
= (২ × ২ × ২) × ৩ × ৩

যা বর্গাকারে সাজানো সম্ভব নয়।

(২ × ২ × ২) × ৩ × ৩ কে বর্গাকার সংখ্যা করতে হলে ২ দ্বারা গুণ করতে হবে।

∴ ১২, ১৮ এবং ২৪ সারিতে এবং বর্গাকারে সাজানোর জন্য শিক্ষার্থীর সংখ্যা হবে
= (২ × ২ × ২ × ২) × (৩ × ৩) জন
= ১৬ × ৯
= ১৪৪ জন

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল ৪৮০০। সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু ২৪০ হলে, গ.সা.গু কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ৪৮০০
সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু = ২৪০

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৪৮০০ = ২৪০ × গ.সা.গু
⇒ গ.সা.গু = ৪৮০০/২৪০

∴ গ.সা.গু = ২০

প্রশ্ন: চারটি ঘণ্টা একত্রে বেজে যথাক্রমে ৬, ৮, ১২ ও ১৮ সেকেন্ড অন্তর বাজতে লাগল। কতক্ষণ পর ঘণ্টাগুলো আবার একত্রে বাজবে?

সমাধান:
৬, ৮, ১২ ও ১৮ এর ল.সা.গু নির্ণয় করতে হবে।
৬ = ২ × ৩
৮ = ২ × ২ × ২
১২ = ২ × ২ × ৩
১৮ = ২ × ৩ × ৩

∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩
= ৮ × ৯
= ৭২

অতএব, ৭২ সেকেন্ড পর ঘণ্টাগুলো আবার একত্রে বাজবে।

প্রশ্ন: তিনটি ঘণ্টা একত্রে বাজার পর তারা ৪ ঘণ্টা, ৬ ঘণ্টা ও ৯ ঘণ্টা পরপর বাজতে থাকে। ২ দিনে তারা কতবার একত্রে বাজবে?

সমাধান:
৪, ৬ ও ৯ এর ল.সা.গু নির্ণয় করতে হবে।
৪ = ২ × ২
৬ = ২ × ৩
৯ = ৩ × ৩

∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৩
= ৪ × ৯
= ৩৬
অর্থাৎ, তিনটি ঘণ্টা ৩৬ ঘণ্টা পরপর একত্রে বাজবে।

এখন,
২ দিন = ২ × ২৪ = ৪৮ ঘণ্টা।
∴ ২ দিন বা ৪৮ ঘণ্টায় বাজবে = ৪৮/৩৬ = ১ (ভাগশেষ ১২ থাকবে)
কিন্তু শুরুতে একবার একত্রে বাজে (সময় = 0:00),
তারপর ৩৬ ঘণ্টা পর আবার বাজে।

∴ ২ দিনে তারা একত্রে বাজবে মোট ২ বার।

প্রশ্ন: ৯৬ টি লাড্ডু এবং ১৪৪ টি সন্দেশ এমনভাবে বাক্সে রাখতে হবে যাতে প্রতিটি বাক্সে সমান সংখ্যক লাড্ডু ও সন্দেশ থাকে এবং কোনোটিই অবশিষ্ট না থাকে। সর্বাধিক কতটি বাক্স তৈরি করা যাবে?

সমাধান:
৯৬ এবং ১৪৪ এর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গ.সা.গু) নির্ণয় করতে হবে।

এখন,
৯৬ এর গুণনীয়ক = ১, ২, ৩, ৪, ৬, ৮, ১২, ১৬, ২৪, ৩২, ৪৮, ৯৬
১৪৪ এর গুণনীয়ক = ১, ২, ৩, ৪, ৬, ৮, ৯, ১২, ১৬, ১৮, ২৪, ৩৬, ৪৮, ৭২, ১৪৪

এদের মধ্যে সর্বোচ্চ সাধারণ গুণনীয়ক = ৪৮

সুতরাং সর্বাধিক ৪৮ টি বাক্স তৈরি করা যাবে।

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার সাথে ৫ যোগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যা ১৫, ২০ ও ২৫ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
সংখ্যাটি হবে ১৫, ২০ ও ২৫ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ৫ কম।
এখন, ১৫, ২০ এবং ২৫ এর ল.সা.গু = ৩০০

∴ সংখ্যাটি = ৩০০ - ৫ = ২৯৫

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু. ab এবং গ.সা.গু. cd। একটি সংখ্যা m হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ল.সা.গু. = ab এবং গ.সা.গু. = cd
একটি সংখ্যা = m

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু. × গ.সা.গু.

অপর সংখ্যাটি × m = ab × cd

∴ অপর সংখ্যা = abcd/m

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৭ এবং তাদের ল.সা.গু ৪২০ হলে, সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু কত?

সমাধান:
সংখ্যা দুটি যথাক্রমে, ৫ক ও ৭ক হলে
সংখ্যা দুটির ল.সা.গু = ৩৫ক
এবং সংখ্যা দুটির গ.সা.গু = ক

প্রশ্নমতে,
৩৫ক = ৪২০

∴ ক = ৪২০/৩৫ = ১২

∴ সংখ্যা দুটির গ.সা.গু = ১২

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু ১৩ এবং তাদের ল.সা.গু ৫২০। একটি সংখ্যা ৬৫ হলে অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
বা, একটি সংখ্যা × অপর সংখ্যা = ৫২০ × ১৩
বা, ৬৫ × অপর সংখ্যা = ৫২০ × ১৩
বা, অপর সংখ্যা = (৫২০ × ১৩)/৬৫

∴ অপর সংখ্যা = ৫২০/৫ = ১০৪

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু., বিয়োগফল এবং ল.সা.গু যথাক্রমে ১৫, ৭৫ এবং ৩৫১০। সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুটি = ১৫x ও ১৫y

তাহলে,
১৫x - ১৫y = ৭৫
∴ ১৫(x - y) = ৭৫
⇒ x - y = ৫ .......... (১)

এবং,
সংখ্যা দুটির ল.সা.গু = ১৫xy
∴ ১৫xy = ৩৫১০
⇒ xy = ৩৫১০/১৫
⇒ xy = ২৩৪

আমরা জানি,
(x + y)^২ = (x - y)^২ + ৪xy

∴ (x + y)^২ = ৫^২ + ৪ × ২৩৪
= ২৫ + ৯৩৬
= ৯৬১

⇒ x + y = ৩১ .......... (২)

এখন, (১) + (২) করলে পাই,
২x = ৩৬
⇒ x = ১৮

এবং, (২) - (১) করলে পাই,
২y = ২৬
⇒ y = ১৩

অতএব,
সংখ্যা দুটি = ১৫ × ১৮ এবং ১৫ × ১৩
= ২৭০ ও ১৯৫

প্রশ্ন: চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যা ১২, ১৮, ২৪ ও ৩৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
চার অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০
১২ = ২ × ২ × ৩
১৮ = ২ × ৩ × ৩
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩
৩৬ = ২ × ২ × ৩ × ৩

∴ ল.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩
= ৮ × ৯
= ৭২

১০০০ কে ৭২ দিয়ে ভাগ করি,
১০০০ ÷ ৭২ = ১৩ (ভাগফল), ১৩ × ৭২ = ৯৩৬
১০০০ - ৯৩৬ = ৬৪ (ভাগশেষ)

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৭২ - ৬৪ = ৮

অর্থাৎ, ১০০০ এর সাথে ৮ যোগ করলে যোগফল হবে ১০০৮,
যা ৭২ এর গুণিতক এবং ১২, ১৮, ২৪ ও ৩৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।

প্রশ্ন: কোনো প্রতিষ্ঠানের শিক্ষার্থীদেরকে ৭, ৯, ১৪ ও ২১ জনের সারিতে দাঁড় করালে প্রত্যেকবারই ৫ জন শিক্ষার্থী অবশিষ্ট থাকে। প্রতিষ্ঠানের মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা কত?

সমাধান:
প্রতিষ্ঠানের শিক্ষার্থী সংখ্যা এমন একটি সংখ্যা হবে যাকে ৭, ৯, ১৪ এবং ২১ দ্বারা ভাগ করলে প্রত্যেকবারই ৫ অবশিষ্ট থাকে।
অর্থাৎ ৭, ৯, ১৪ এবং ২১ এর লসাগু বের করে সেই লসাগুর সাথে ৫ যোগ করলেই নির্ণেয় শিক্ষার্থী সংখ্যা পাওয়া যাবে।

এখন, ৭, ৯, ১৪ এবং ২১ এর লসাগু বের করি:
৭ = ৭
৯ = ৩ × ৩
১৪ = ২ × ৭
২১ = ৩ × ৭

∴ নির্ণেয় লসাগু = ২ × ৩ × ৩ × ৭ = ১২৬

যেহেতু প্রত্যেকবারই ৫ জন শিক্ষার্থী অবশিষ্ট থাকে, তাই মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা হবে লসাগু অপেক্ষা ৫ বেশি।

∴ প্রতিষ্ঠানের মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা = (১২৬ + ৫) জন = ১৩১ জন ।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ৭২ এবং গ.সা.গু ৬। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার ৩/৪ অংশ হলে, ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় সংখ্যাটি = ৪ক
তাহলে ছোট সংখ্যাটি = ৩ক

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু

∴ ৪ক × ৩ক = ৭২ × ৬
⇒ ১২ক^২ = ৪৩২
⇒ ক^২ = ৪৩২/১২
⇒ ক^২ = ৩৬
∴  ক = ৬

∴ ছোট সংখ্যাটি = ৩ক = ৩ × ৬ = ১৮

প্রশ্ন: ৩/৫, ৫/৭ এবং ৭/৯ এর ল.সা.গু নিচের কোনটি?
 
সমাধান:
আমরা জানি,
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লবগুলোর ল.সা.গু / হরগুলোর গ.সা.গু

এখানে,
লব ৩, ৫ ও ৭ এর ল.সা.গু = ১০৫
হর ৫, ৭ ও ৯ এর গ.সা.গু = ১

অতএব,
৩/৫, ৫/৭ ও ৭/৯ এর ল.সা.গু
= ১০৫/১
= ১০৫

প্রশ্ন: একটি ঝুড়িতে ৩৮৫টি আম আছে। এর সাথে আরো কমপক্ষে কতগুলো আম যোগ করলে সেগুলো ৫, ৮ এবং ১০ জন শিশুর মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দেওয়া যাবে?

সমাধান:
আমের মোট সংখ্যা এমন হবে যাতে তা ৫, ৮ ও ১০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হয়।
অর্থাৎ ৫, ৮ ও ১০ এর ল.সা.গু বের করতে হবে।

এখন,
৫ = ৫
৮ = ২ × ২ × ২
১০ = ২ × ৫

∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ৫ = ৪০

এখন ৩৮৫ কে ৪০ দ্বারা ভাগ করি,
৪০ × ৯ = ৩৬০
অবশিষ্ট = ৩৮৫ - ৩৬০ = ২৫

যেহেতু ৪০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য করতে হবে,
তাই যোগ করতে হবে = ৪০ - ২৫ = ১৫

∴ কমপক্ষে ১৫টি আম যোগ করতে হবে।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু এবং ল.সা.গু যথাক্রমে ১৫ এবং ২২৫। প্রথম সংখ্যাটিকে ৫ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল ৯ হয়। দ্বিতীয় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গ.সা.গু = ১৫ এবং ল.সা.গু = ২২৫

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = গ.সা.গু × ল.সা.গু
= ১৫ × ২২৫
= ৩৩৭৫

এখন,
প্রথম সংখ্যাটিকে ৫ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল ৯ হয়।
∴ প্রথম সংখ্যা = ৯ × ৫ = ৪৫

ধরি, দ্বিতীয় সংখ্যা = ক

সুতরাং,
৪৫ × ক = ৩৩৭৫

⇒ ক = ৩৩৭৫/৪৫
⇒ ক = ৭৫

∴ দ্বিতীয় সংখ্যা = ৭৫

প্রশ্ন: একদল ছাগল প্রতিবার সমান সংখ্যায় ভাগ হয়ে চার পথে যায়, ছয়টি খোঁয়াড়ে ঢোকে, আটটি মাঠে চরে এবং দশজন রাখাল সমান সংখ্যক ছাগল দেখাশোনা করে। তাহলে ছাগলের সংখ্যা কত?

সমাধান:
ছাগলের সংখ্যা এমন একটি সংখ্যা হবে যা ৪, ৬, ৮ ও ১০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।
অর্থাৎ ৪, ৬, ৮ ও ১০ এর ল.সা.গু নির্ণয় করতে হবে।

৪ = ২ × ২
৬ = ২ × ৩
৮ = ২ × ২ × ২
১০ = ২ × ৫

∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫
= ৮ × ৩ × ৫
= ১২০

∴ ছাগলের সংখ্যা = ১২০।

প্রশ্ন: নিচের কোন পূর্ণ সংখ্যাকে ৭, ৯ এবং ১১ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৫ এবং ৭ অবশিষ্ট থাকবে?

সমাধান:
এখানে,
৭ - ৩ = ৪
৯ - ৫ = ৪
১১ - ৭ = ৪
∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ৭, ৯ ও ১১ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ৪ কম।

৭, ৯, ১১ এর ল.সা.গু নির্ণয় করি:
৭ = ৭
৯ = ৩ × ৩
১১ = ১১

∴ ল.সা.গু = ৩ × ৩ × ৭ × ১১
= ৯ × ৭ × ১১
= ৬৯৩

∴ নির্ণেয় সংখ্যা = ৬৯৩ - ৪ = ৬৮৯