Math Master

ⁿC_r = x(ⁿP_r)
বা, x = ⁿC_r/ⁿP_r [ ⁿC_r = n!/((n-r)!r!) এবং ⁿP_r = n!/(n-r)!]
বা, x = 1/r!
∴x এর মান 1/r!

মোট বই = 12 টি; সর্বদা বাদ যাবে 2 টি বই, বই বাছায় করতে হবে 5 টি
∴বই বাছাই করা যাবে ^(12-2)C₅ = ¹⁰C₅ উপায়ে।

ⁿC₅ = ⁿC₇
5 + 7 = n = 12
এখন,12C₁₁ = 12

মোট বস্তু = ৫২, ভাগ সংখ্যা = ৪
প্রতি ভাগে বস্তুর সংখ্যা = ৫২/৪ = ১৩
আমরা জানি, বিন্যাস = (মোট বস্তু!)/(প্রতি ভাগে বস্তুর সংখ্যা!)^{ভাগ সংখ্যা}
∴ বিন্যাস = (৫২)!/(১৩!)^৪

পুনরাবৃত্তির ক্ষেত্রে বিন্যাস সংখ্যা = n^r = 5⁴ = 625

5 টি বিন্দু সমরেখ হওয়াতে সে গুলো দিয়ে ত্রিভুজ গঠন করা যাবে না
∴ গঠিত ত্রিভুজের সংখ্যা = ¹⁵C₃ - ⁵C₃ = 445

TIME শব্দটিতে মোট অক্ষর = 4 টি, স্বরবর্ণ = 2 টি
∴ I দ্বারা শুরু করলে বিন্যাস = ³p₃ = 6 
E দ্বারা শুরু করলে বিন্যাস = ³p₃ = 6
∴ বিন্যাস = 6+6 = 12

7 টি লাল বল
2 টি সাদা বল
মোট বল = 9 টি
∴ বিন্যাস = 9!/(7!2!) = 36

নিচের উপায়ে কমিটি গঠন করা যায়
⁴C₃ × ^(6-1)C_(1-1) = 4
⁴C₂ × ^(6-1)C_(2-1) = 30
⁴C₁ × ^(6-1)C_(3-1) = 40
⁴C₀ × ^(6-1)C_(4-1) = 10
∴ মোট কমিটি গঠন করা যায় (4 + 30 + 40 + 10) = 84 উপায়ে

চক্রাকার গঠনে একটি বস্তুকে সর্বদা স্থির রাখতে হবে এবং উল্টানো যাবে এমন n সংখ্যক বস্তু নিয়ে মালা তৈরী করা যাবে =(n-1)!/2
∴10 টি মুক্তা দিয়ে মালা তৈরী করা যাবে = (10 - 1)!/2 = 9!/2

প্রতিবারে এক বা একাধিক বস্তুকে বাছাই করা যায় 2ⁿ -1 উপায়ে
মাহি এক বা একাধিক বন্ধুকে নিমন্ত্রন করতে পারবে 2¹² - 1 উপায়ে

n সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে প্রতিবারে r সংখ্যক বস্তু একত্র নিয়ে (যেখানে উপাদান গুলো একাধিক বার ব্যবহার করা যাবে) বিন্যাস n^r = 10⁵

মোট পতাকা ৬ টি,
সাদা ১ টি
সবুজ ২ টি
লাল ৩ টি
এক সঙ্গে ছয়টি পতাকা ব্যবহার করে সংকেত তৈরী করা যাবে ৬!/(১!২!৩!) = ৬০ টি

EQUATION শব্দে 8 বর্ণ আছে
Q, T, N 3 টি ব্যাঞ্জনবর্ণ
জোড় স্থান আছে 4 টি
∴ ব্যাঞ্জনবর্ণ বসতে পারবে = ⁴P₃ = 24 উপায়ে
স্বরবর্ণ আছে 5 টি
স্বরবর্ণ বসতে পারে ⁵P₅ = 120 উপায়ে
∴ব্যাঞ্জনবর্ণ গুলি কেবল জোড় স্থানে বসতে পারবে = 120 × 24 = 2880 উপায়ে.

ⁿP₄ = 6× ⁿP₃
বা, ⁿp₄/ⁿp₃ = 6
বা, {n(n-1)(n-2)(n-3)}/{n(n-1)(n-2)} = 6
বা, n-3 = 6
বা, n = 9
∴n এর মান 9

আমরা জানি, n সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে r সংখ্যক বস্তু একত্রে নিয়ে বিন্যাস = n^r
∴একজন প্রার্থী নির্বাচিত হবে =3⁴ = 81 উপায়ে।

প্রশ্নমতে,
বা, ⁿC₂ = 45
বা,(n(n-1)/2 = 45
বা,n2 - n - 90 = 0
বা,n2 -10n + 9n -90 = 0
বা,(n-10)(n+9) = 0
বা,n = 10  [n =-9 গ্রহন যোগ্য নয়]
∴ ঈদগাহে নামাজীর সংখ্যা 10 জন।

CALCULUS শব্দে 8 বর্ণ আছে
L = 2 টি
U =2টি
C = 2 টি
১ম ও শেষ অক্ষর U, বাকী থাকবে 6টি অক্ষর
∴ সাজানো যাবে = 6!/(2!2!) = 180 উপায়ে

⁵C₄ × ³C₁ = 15
⁵C₅ × ³C₀ = 1
∴ মোট কমিটি গঠন সংখ্যা = (15 + 1) = 16 উপায়ে

সুতরাং দলটি ভ্রমণ করতে পারবে ⁹C₂ + ⁹C₃ + ⁹C₄ = 246 উপায়ে

8 জন আত্মীয় থেকে 5 কে ডাকা যায় = ⁸C_{5 =} 56উপায়ে 
বাকী 4 থেকে 2 জন ডাকা যায়= ⁴C₂ =6 উপায়ে
মোট ডাকা যায় = (56×6) = 336 উপায়ে

ⁿC_r = ⁿC_n-r = n!/(r!(n-r)!) [সূত্র]