Math Master

প্রশ্ন: যদি 4x + y = 28 এবং 3x = y হয়, তাহলে y = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3x = y ...............(1)
4x + y = 28 .........(2)

এখন, y এর মান (1) নং থেকে (2) নং এ বসাই,
⇒ 4x + 3x = 28
⇒ 7x = 28
⇒ x = 4

x এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই,
⇒ y = 3 × 4
⇒ y = 12

প্রশ্ন: |x + 3| ≤ 8 হলে, x এর সর্বনিম্ন মান কত?

 সমাধান:
|x + 3| ≤ 8
⇒ - 8 ≤ x + 3 ≤ 8
⇒ - 8 - 3 ≤ x + 3 - 3 ≤ 8 - 3
⇒ - 11 ≤ x ≤ 5

∴ x এর সর্বনিম্ন মান = - 11

প্রশ্ন: (4x + y, 18) = (30, 2x + y) হলে, (x, y) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2x + y = 18 ........(1)
4x + y = 30 ..........(2)

(2) নং সমীকরণ থেকে (1) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,
(4x + y - 2x - y) = 30 - 18
⇒ 2x = 12
⇒ x = 6

x এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
2(6) + y = 18
⇒ 12 + y = 18
⇒ y = 18 - 12
⇒ y = 6
∴ নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (6, 6)

প্রশ্ন: - 3 < x < 11 অসমতাটিকে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ করলে নিচের কোনটি হবে? 

সমাধান:
অসমতাটির উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমার গড় = {11 + (- 3)}/2
= 8/2
= 4

এখন,
- 3 < x < 11
⇒ - 3 - 4 < x - 4 < 11 - 4
⇒ - 7 < x - 4 < 7
⇒ |x - 4| < 7

∴ পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ: |x - 4| < 7

প্রশ্ন: কোনো প্রকৃত ভগ্নাংশের লবের সাথে 5 যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান 3 হয় এবং হর থেকে 1 বাদ দিলে ভগ্নাংশটির মান 1 হয়। ভগ্নাংশটি কত?

 সমাধান:
ধরি, ভগ্নাংশের লব = x
ভগ্নাংশের হর = y

১ম শর্তমতে,
(x + 5)/y = 3
⇒ x + 5 = 3y
⇒ x - 3y = -5 .............(1)

২য় শর্তমতে,
x/(y - 1) = 1
⇒ x = y - 1
⇒ x - y = -1 .............(2)

(1) - (2) নং হতে পাই,
x - 3y - x + y = -5 + 1
⇒ -2y = -4
⇒ y = 2

y এর মান (2) নং এ বসিয়ে পাই,
x - 2 = -1
⇒ x = -1 + 2
⇒ x = 1

∴ ভগ্নাংশটি = 1/2

প্রশ্ন: x² - 8x + 16 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

 সমাধান:
দেওয়া আছে, x² - 8x + 16 = 0
এখানে, a = 1, b = - 8 এবং c = 16

∴ নিশ্চায়ক = b² - 4ac
= (- 8)² - 4 × 1 × 16
= 64 - 64
= 0

যেহেতু, b² - 4ac = 0
সুতরাং, মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান।

দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
- যদি b² - 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
- যদি b² - 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
- যদি b² - 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
- যদি b² - 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।

প্রশ্ন: 2(x + 28) + 11 = 9(x + 2) হলে x এর মান কত?

সমাধান:
2(x + 28) + 11 = 9(x + 2)
⇒ 2x + 56 + 11 = 9x + 18
⇒ 2x + 67 = 9x + 18
⇒ 7x = 49
⇒ x = 49/7
∴ x = 7

প্রশ্ন: |x + 3| ≤ 4 হলে, p এবং q এর কোন মানের জন্য p ≤ 5x + 2 ≤ q হবে?

সমাধান:
|x + 3| ≤ 4
 ⇒ - 4 ≤ x + 3 ≤ 4
⇒ - 7 ≤ x ≤ 1
⇒ - 35 ≤ 5x ≤ 5
⇒ - 33 ≤ 5x + 2 ≤ 7

∴ p = - 33 এবং q = 7

প্রশ্ন: x² - 7x + k = 0 সমীকরণের একটি মূল যদি 3 হয়, তাহলে k এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
একটি মূল = 3 অর্থাৎ, x = 3
এখন,
(3)² - 7×3 + k = 0
⇒ 9 - 21 + k = 0
⇒ -12 + k = 0
⇒ k = 12
∴ k = 12

প্রশ্ন: 5(x + 1) ≤ 2(x + 7) অসমতাটির সমাধান সেট নিচের কোনটি?

সমাধান:
5(x + 1) ≤ 2(x + 7)
⇒ 5x + 5 ≤ 2x + 14
⇒ 5x - 2x ≤ 14 - 5
⇒ 3x ≤ 9
⇒ x ≤ 3

∴ সমাধান সেট = {x ∈ R : x ≤ 3}

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল 120 এবং বর্গের যোগফল 289 হলে, সংখ্যা দুইটির যোগফল কত?

 সমাধান:
মনে করি, সংখ্যা দুইটি = x ও y
xy = 120 .............(1)
x² + y² = 289 ........(2)

আমরা জানি, (x + y)² = x² + y² + 2xy
⇒ (x + y)² = 289 + 2 × 120
⇒ (x + y)² = 289 + 240
⇒ (x + y)² = 529
⇒ (x + y) = √529
∴ x + y = 23

প্রশ্ন: কোন সংখ্যা থেকে 4 বিয়োগ করলে বিয়োগফলের 5 গুণ সমান 35 হবে?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = a
প্রশ্নমতে,
(a - 4) × 5 = 35
⇒ 5a - 20 = 35
⇒ 5a = 55
⇒ a = 55/5 = 11

∴ সংখ্যাটি = 11

প্রশ্ন: - 6 ≤ 3x + 3 < 27 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
- 6 ≤ 3x + 3 < 27
⇒ - 6 - 3 ≤ 3x < 27 - 3
⇒ - 9 ≤ 3x < 24
⇒ - 9/3 ≤ x < 24/3
⇒ - 3 ≤ x < 8

∴ সমাধান সেট = [- 3, 8)

উল্লেখ্য,
'[' এবং '(' চিহ্ন দুটি গণিতে ব্যবধি (Interval) বোঝাতে ব্যবহৃত হয়, যেখানে '[' মানে অন্তর্ভুক্ত (Inclusive) এবং '(' মানে অন্তর্ভুক্ত নয় (Exclusive)। 
[-3, 8) হলো একটি ব্যবধি (Interval), যা দিয়ে বোঝানো হয় যে, x-এর মান -3 এর সমান অথবা তার চেয়ে বড় (x ≥ - 3) কিন্তু 8 এর চেয়ে ছোট (x < 8)।

প্রশ্ন: (2 + √3) এবং (2 - √3) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
ধরি মূলদ্বয়, α = 2 + √3 এবং β = 2 - √3

মূলদ্বয়ের যোগফল:
α + β = (2 + √3) + (2 - √3) = 4

মূলদ্বয়ের গুণফল:
α × β = (2 + √3)(2 - √3) = 2² - (√3)² = 4 - 3 = 1

নির্ণয় সমীকরণ:
x² - (α + β)x + αβ = 0
⇒ x² - 4x + 1 = 0

∴ নির্ণেয় সমীকরণ = x² - 4x + 1 = 0

প্রশ্ন: একজন ছাত্র 5 টাকার দরে x টি পেনসিল এবং 4 টাকার দরে (x + 4) টি খাতা কিনেছে। মোট মূল্য অনূর্ধ্ব 97 টাকা হলে, সে সর্বাধিক কয়টি পেনসিল কিনেছে?

সমাধান:
x টি পেনসিলের দাম = 5x টাকা
(x + 4) টি খাতার দাম = 4(x + 4) টাকা
প্রশ্নমতে,
5x + 4(x + 4) ≤ 97
⇒ 5x + 4x + 16 ≤ 97
⇒ 9x + 16 ≤ 97
⇒ 9x ≤ 81
⇒ x ≤ 9

∴ ছাত্রটি সর্বাধিক 9 টি পেনসিল কিনেছে।

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: 1/|1 - 2a| ≥ 5 এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
1/|1 - 2a| ≥ 5
⇒ |1 - 2a| ≤ 1/5

ধনাত্মক ক্ষেত্রে: 1 - 2a ≤ 1/5
⇒ - 2a ≤ 1/5 - 1
⇒ - 2a ≤ - 4/5
⇒ 2a ≥ 4/5
⇒ a ≥ 2/5

ঋণাত্মক ক্ষেত্রে: (1 - 2a) ≥ - 1/5
⇒ 1 - 2a ≥ - 1/5
⇒ - 2a ≥ - 6/5
⇒ 2a ≤ 6/5
⇒ a ≤ 3/5

∴ নির্ণেয় সমাধান: 2/5 ≤ a ≤ 3/5

প্রশ্ন: |4x - 20| = 24 হলে x এর সম্ভাব্য মানগুলোর সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধনাত্মক ক্ষেত্রে: 4x - 20 = 24
⇒ 4x = 44
⇒ x = 11

ঋণাত্মক ক্ষেত্রে: -(4x - 20) = 24
⇒ - 4x + 20 = 24
⇒ - 4x = 4
⇒ x = - 1

সম্ভাব্য মানগুলোর সমষ্টি: 11 + (-1) = 10

∴ x এর সম্ভাব্য মানগুলোর সমষ্টি = 10