১০০ দিনে বিসিএস প্রস্তুতি [বিষয়ভিত্তিক]

প্রশ্ন: x⁴ - x² + 1 = 0 হলে x + 1/x এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
x⁴ - x² + 1 = 0
বা, x⁴/x² - x²/x² + 1/x² = 0
বা, x² - 1 + 1/x² = 1
বা, x² + 1/x² = 1
বা, (x + 1/x)² - 2 . x . 1/x = 1
বা, (x + 1/x)² - 2 = 1
বা, (x + 1/x)² = 3
∴ x + 1/x = √3

প্রশ্ন: ৪ : ৭ এবং ৫ : ৮ এর মিশ্র অনুপাত কোনটি?

সমাধান: 
মিশ্র অনুপাত: একাধিক সরল অনুপাতের পূর্ব রাশিগুলোর গুণফলকে পূর্ব রাশি এবং উত্তর রাশিগুলোর গুণফলকে উত্তর রাশি ধরে প্রাপ্ত অনুপাতকে মিশ্র অনুপাত বলে।
 
৪ : ৭ এবং ৫ : ৮  সরল অনুপাতগুলোর মিশ্র অনুপাত হলো (৪ × ৫): (৭ × ৮) = ২০ : ৫৬ = ৫ : ১৪

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গুণফল 1575 এবং ভাগফল 9/7 হলে, সংখ্যা দুটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুটি যথাক্রমে x ও y
১ম শর্তমতে,
xy = 1575 ............................. (1)
x/y = 9/7
⇒ 7x = 9y ............................. (2)

∴ xy = 1575
⇒ 7x × y = 7 × 1575
⇒ 9y × y = 11025
⇒ y² = 1225
⇒ y = √1225
∴ y = 35

(2) নং হতে পাই,
7x = 9 × 35
⇒ 7x = 315
⇒ x = 315/7
∴ x = 45

নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (45, 35)

প্রশ্ন: 2/3, 4/9, 16/27 এর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর লব = 2, 4, 16
ভগ্নাংশগুলোর হর = 3, 9, 27
2, 4, 16 এর গ.সা.গু = 2
3, 9, 27 এর ল.সা.গু = 27

আমরা জানি,
নির্ণেয় গ.সা.গু = লবগুলোর গ.সা.গু/হরগুলোর ল.সা.গু
= 2/27

প্রশ্ন: যদি x + 1/x = 5 হয়, তাহলে 4x/(x² - x + 1) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 1/x = 5
বা, (x² + 1)/x = 5
বা, x² + 1 = 5x

এখন,
4x/(x² - x +1)
= 4x/(x² + 1 - x)
= 4x/(5x - x)
= 4x/4x
= 1

প্রশ্ন: যদি y এর x% সমান z হয়, তবে z এর কত শতাংশ x?

সমাধান:
y এর x% z এর সমান।

∴ z = y এর x%
= y × x/100
= xy/100

ধরি,
শতকরা হারটি m

∴ z এর m% = x
⇒ (xy/100) × (m/100) = x
⇒ mxy = x × 100 × 100
⇒ m = (x × 100 × 100)/xy
∴ m = 10000/y

প্রশ্ন: এক শিক্ষার্থী একটি সংখ্যাকে প্রথমে 20% হ্রাস করলো এবং হ্রাসকৃত সংখ্যাকে 20% বৃদ্ধি করলো। যদি মূল সংখ্যা  এবং সর্বশেষ সংখ্যার পার্থক্য 8 হয় তবে প্রকৃত সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি x

20% হ্রাসে সংখ্যাটি = x - x এর 20%
= x - x এর 20%
= x  - (20x/100)
= x - (x/5)
= 4x/5

আবার, 
20% বৃদ্ধিতে সংখ্যাটি = (4x/5) + (4x/5) এর 20%
= (4x/5) + (4x × 20)/(5 × 100)
= (4x/5) + (4x/25)
= (20x + 4x)/25
= 24x/25

প্রশ্নমতে,
x - (24x/25) = 8
⇒ (24x - 25x)/25 = 8
⇒ x = 8 × 25
∴ x = 200

∴ সংখ্যাটি = 200

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার মধ্যে প্রথমটিকে 15% বাড়ালে এবং দ্বিতীয়টিকে 10% কমালে সংখ্যা দুটি সমান হয়। প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার অনুপাত কত?

সমাধান:
মনে করি,
একটি সংখ্যা x
দ্বিতীয় সংখ্যা y

প্রশ্নমতে,
x + x এর 15% = y - y এর 10%
বা, x + (15x/100) = y - (10y/100)
বা, (100x + 15x)/100 = (100y - 10y)/100
বা, 115x = 90y
বা, x/y = 90/115
∴ x/y = 18/23

প্রশ্ন: ৩২ গ্রাম মিশ্রণে চিনি ও পানির অনুপাত ৫ : ৩। ঐ মিশ্রণে কি পরিমাণ পানি মেশালে চিনি ও পানির অনুপাত ৫ : ৭। 

সমাধান:
মিশ্রণে চিনির পরিমাণ = ৩২ এর ৫/৮ = ২০ গ্রাম
মিশ্রণে পানির পরিমাণ = ৩২ এর ৩/৮ = ১২ গ্রাম

ধরি,
মিশ্রণে ক গ্রাম পানি মেশালে চিনি ও পানির অনুপাত ৫ : ৭ হবে।

প্রশ্নমতে,
২০/(১২ + ক) = ৫/৭
বা, ৬০ + ৫ক = ১৪০
বা, ৫ক = ১৪০ - ৬০
বা, ৫ক = ৮০
∴ ক = ১৬ গ্রাম

প্রশ্ন: কামালের কাছে যে টাকা আছে তা ‍দিয়ে সে ১৮টি ডাকটিকেট ক্রয় করতে পারে। যদি প্রতিটি ডাকটিকেটের মূল্য ৪ টাকা কম হত তাহলে সে আরো দুটি ডাকটিকেট বেশি ক্রয় করতে পারত। তার কাছে কত টাকা আছে?

সমাধান: 
ধরি,
কামালের কাছে x টাকা আছে
18টি ডাকটিকেটের মূল্য = x টাকা
1 টি ডাকটিকেটের মূল্য = x/18

যেহেতু, প্রতিটি ডাকটিকেটের মূল্য ৪ টাকা কম হত তাহলে সে আরো দুটি ডাকটিকেট বেশি ক্রয় করতে পারে।

∴ 4 টাকা কমে একটি ডাকটিকেটের মূল্য = x/20

শর্তমতে,
(x/18) - (x/20) = 4
⇒ (10x - 9x)/180 = 4
∴ x = 720

প্রশ্ন: হলে x এর মান কত?

সমাধান:
(2 + √3)^2x = 1/(2 - √3)
বা, (2 + √3)^2x = (2 + √3)/(2 - √3)(2 + √3)
বা, (2 + √3)^2x = (2 + √3)/(2)² - (√3)²
বা, (2 + √3)^2x = (2 + √3)/(4 - 3)
বা, (2 + √3)^2x = (2 + √3)¹
বা, 2x = 1
∴ x = 1/2

প্রশ্ন: x² - y², x³ - y³, x⁴ + x²y² + y⁴ রাশিগুলোর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
১ম রাশি = x² - y²
= (x + y) (x - y)

২য় রাশি = x³ - y³
= (x - y) (x² + xy + y²)

৩য় রাশি = x⁴ + x²y² + y⁴
= (x²)² + 2x²y² + (y²)² - x²y² 
= (x² + y²)² - (xy)²
= (x² + xy + y²) (x² - xy + y²) 

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = 1

প্রশ্ন: ১, √৪, ৩, √১৬, ৫, √৩৬ ও ৭ সংখ্যাগুলোর গড় কত?

সমাধান:
এখন,
√৪ = ২, √১৬ = ৪, √৩৬ = ৬ 
∴ ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭ এর গড় =  (১ + ২ + ৩ + ৪ + ৫ + ৬ + ৭)/৭
=  ২৮/৭
= ৪

প্রশ্ন: যদি x² + 4x + 13 = 1 + x² হয় তবে x = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x² + 4x + 13 = 1 + x² 
বা, x² + 4x + 13 - 1 - x² = 0 
বা, 4x + 12 = 0
বা, 4x = - 12
∴ x = - 3

প্রশ্ন: কোনো জরীপে দেখা গেল ৭০% লোক গল্পের বই পড়ে, ৬০% লোক উপন্যাসের বই পড়ে এবং ৪০% লোক উভয় বই পড়ে। নিরপেক্ষভাবে বাছাই করলে একজন লোকের গল্প বা উপন্যাসের বই পড়ার সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
ধরি,
গল্পের বই পড়ার ঘটনা = A
উপন্যাসের বই পড়ার ঘটনা = B

∴ P(A) = ৭০/১০০ = ৭/১০
P(B) = ৬০/১০০ = ৬/১০
P(A ∩ B) = ৪০/১০০ = ৪/১০
নিরপেক্ষভাবে বাছাই করলে একজন লোকের গল্প বা উপন্যাসের বই পড়ার সম্ভাব্যতা = P(A ∪ B)

আমরা জানি,
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
= (৭/১০) + (৬/১০) - (৪/১০)
= (৭ + ৬ - ৪)/১০
= ৯/১০

প্রশ্ন: ΙxΙ + Ιx - 3Ι < 4 এর সমাধান -

সমাধান:
ΙxΙ + Ιx - 3Ι < 4
বা, Ιx + x - 3Ι < 4
বা, Ι2x - 3Ι < 4
বা, - 4 < 2x - 3 < 4
বা, - 4 + 3 < 2x - 3 + 3 < 4 + 3
বা, - 1 < 2x < 7
∴ - 1/2 < x < 7/2

প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্রে,  ∠AOC ও ∠BOC পরস্পর সম্পূরক কোণ যেখানে ∠AOC = (3x + 20)° এবং ∠BOC = (4x - 36)° হলে x° এর মান কত?


যেহেতু, AOB একটি সরলরেখা।
∠AOC + ∠BOC = 180°
বা, (3x + 20)° + (4x - 36)° = 180°
বা, 7x° - 16° = 180°
বা, 7x° = 180° + 16°
বা, 7x° = 196°
∴ x° = 28°

প্রশ্ন: 10 জন ও 9 জন খেলোয়াড়ের দুইটি দল থেকে 11 জন খেলোয়াড়ের একটি ক্রিকেট টিম গঠন করতে হবে যাতে 10 জনের দল থেকে কমপক্ষে 9 জন খেলোয়াড় ঐ টিমে থাকবে। ক্রিকেট টিমটি কত উপায়ে গঠন করা যাবে? 

সমাধান: 
১ম দল (10 জন)   -   ২য় দল (9 জন)
1)     10                      1
2)     9                        2


1) নং ক্ষেত্রে টিম গঠনের উপায় = ¹⁰C₁₀ × ⁹C₁ = (1 × 9) = 9
2) নং ক্ষেত্রে টিম গঠনের উপায় = ¹⁰C₉ × ⁹C₂ = (10 × 36) = 360


টিম গঠনের উপায় = 9 + 360 
= 369

প্রশ্ন: 4m² + 1/m² = - 1 হলে 4(8m³ + 1/m³) এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
4m² + 1/m² = - 1
বা, (2m)² + (1/m)² = - 1
বা, (2m + 1/m)² - 2 . 2m . (1/m) = - 1
বা, (2m + 1/m)² - 4 = - 1
বা, (2m + 1/m)² = - 1 + 4
∴ (2m + 1/m) = √3

প্রদত্ত রাশি = 4(8m³ + 1/m³)
= 4{(2m)³ + (1/m)³}
= 4{(2m + 1/m)³ - 3 . 2m(1/m)(2m + 1/m)}
= 4{(√3)³ - 6√3}
= 4{3√3 - 6√3}
= 4 × (- 3√3)
= - 12√3

প্রশ্ন: একটি দেয়ালের আয়তন 12.8 ঘনমিটার। দেয়ালের প্রস্থ উচ্চতার 1/5 অংশ এবং দৈর্ঘ্য উচ্চতার ৪ গুণ হলে, দেয়ালটির প্রস্থ কত মিটার?

সমাধান:
ধরি,
দেয়ালের উচ্চতা = x মিটার 
দেয়ালের প্রস্থ = x/5 মিটার
দেয়ালের দৈর্ঘ্য = 8x মিটার 

প্রশ্নমতে,
x × (x/5) × 8x = 12.8
বা, 8x³/5 = 12.8
বা, 8x³ = 12.8 × 5
বা, 8x³ = 64
বা, x³ = 64/8
বা, x³ = 8
∴ x = 2

∴ দেয়ালের প্রস্থ = 2/5 মিটার = 0.4 মিটার

প্রশ্ন: প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি 1296 হলে, n এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {n(n + 1)/2}²

প্রশ্নমতে,
{n(n + 1)/2}² = 1296
⇒ n(n + 1)/2 = 36
⇒ n² + n = 72
⇒ n² + n - 72 = 0
⇒ n² + 9n - 8n - 72 = 0
⇒ n(n + 9) - 8(n + 9) = 0
⇒ (n + 9)(n - 8) = 0

হয়, n - 8 = 0  অথবা, n + 9 = 0
∴ n = 8           অথবা, n = - 9 [গ্রহণযোগ্য নয়]

প্রশ্ন: x ও y এর ব্যাস্তানুপাতের যোগফল এবং x ও y এর ব্যাস্তানুপাতের গুণফলের অনুপাত 1 : 3 হলে  x ও y এর সমষ্টি কত?

সমাধান:
 x ও y এর ব্যাস্তানুপাতের যোগফল = (1/x) + (1/y)
x ও y এর ব্যাস্তানুপাতের গুণফল = 1/xy

প্রশ্নমতে,
(1/x) + (1/y) : 1/xy = 1 : 3
বা, (x + y)/xy : 1/xy = 1 : 3
বা, {(x + y)/xy}/{1/xy} = 1/3
∴ x + y = 1/3

প্রশ্ন : sin(90° - θ) = 1/2 হলে, secθ = কত?

সমাধান: 
sin(90° - θ) = 1/2
বা, cosθ = 1/2

সুতরাং, secθ = 1/cosθ = 1(1/2) = 2

প্রশ্ন: 70 ফুট ব্যাসের একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্রকে একই ক্ষেত্রফলের একটি বর্গক্ষেত্র করলে, বর্গক্ষেত্রের যে কোনো এক দিকের বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে? 

সমাধান: 
বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ব্যাসার্ধ = 70/2 ফুট = 35 ফুট
বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = πr²
= π × 35 × 35
= (22/7) × (35 × 35)
= 3850 বর্গফুট 
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 3850 বর্গফুট 

∴ বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = 5√154 = 5√154 ফুট

প্রশ্ন:  এর মান কত?

সমাধান:
(x + y)/2x + (x - 2y)/2y - (x² - y2)/2xy
= (xy + y² + x² - 2xy - x² + y²)/2xy
= (2y² - xy)/2xy
= y(2y - x)/xy
= (2y - x)/x

প্রশ্ন: 'ADMISSION' শব্দটির M ও N কে দুই প্রান্তে রেখে কত প্রকারে সাজানো যায়?

সমাধান:
“ADMISSION" শব্দটিতে মোট অক্ষর আছে 9টি
যার মধ্যে 2টি I এবং 2টি S বিদ্যমান।

M ও N কে বাদ দিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 7!/(2! × 2!) = 1260
আবার, 
M ও N কে নিজেদের মধ্যে বিন্যাস সংখ্যা = 2! = 2

∴ মোট সাজানো সংখ্যা = (1260 × 2)
= 2520

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি ক্রয়মূল্যের উপর 25% দাম বাড়িয়ে লিখে বিক্রয়ের সময় 10% কমিশন দেন। সে দ্রব্যটি 450 টাকায় বিক্রয় করলে দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
10% কমিশনে বিক্রয়মূল্য = 100 - 10 = 90 টাকা

বিক্রয়মূল্য 90 টাকা হলে ধার্যমূল্য 100 টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য 1 টাকা হলে ধার্যমূল্য 100/90 টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য 450 টাকা হলে ধার্যমূল্য (100 × 450)/90 টাকা
= 500 টাকা

আবার, 
25% লাভে ধার্যমূল্য = (100 + 25) = 125 টাকা
ধার্যমূল্য 125 টাকা ক্রয়মূল্য 100 টাকা
∴ ধার্যমূল্য 500 টাকা ক্রয়মূল্য (100 × 500)/125টাকা
= 400 টাকা

প্রশ্ন: যদি a ও b ধনাত্বক পূর্ণসংখ্যা এবং হয় তবে -

সমাধান:
(a - b)/3.5 = 4/7
বা, a - b = (4 × 3.5)/7
বা, a - b = 2
বা, a = 2 + b
∴ b < a

প্রশ্ন: 2 - 4 + 8 - 16 + ........ ধারাটির প্রথম 8টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = - 4/2 = - 2   [r < 1]
পদসংখ্যা, n = 8

প্রথম 8টি পদের সমষ্টি = {a(1 - r⁸)}/(1 - r)
= {2(1 - (- 2)⁸}/{(1 - (-2)}
= {2(1 - 256)}/(1 + 2)
= {2(- 255)}/3
= - (2 × 255)/3
= - 510/3
= - 170

প্রশ্ন : একটি সুষম ষড়ভুজের ছয়টি কোণের সমষ্টি কত? 

সমাধান :
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে তার কোণগুলোর সমষ্টি (2n - 4) সমকোণ।
সুতরাং সুষম ষড়ভুজের ছয় কোণের সমষ্টি = (2×6 - 4) সমকোণ
= (12 - 4) × 90°
= 8 × 90°
= 720°

সুতরাং, সুষম ষড়ভুজের ছয়টি কোণের সমষ্টি = 720° = আট সমকোণ

প্রশ্ন: এক দশমাংশ ও এক শতাংশ এর গড়কে কত দ্বারা গুণ করলে গুণফল ৫৫ হবে?

সমাধান:
∴ নির্ণেয় গড় = {১/১০ + ১/১০০)}/২
= {(১০ + ১)/১০০}/২
= (১১/১০০)/২
= ১১/২০০
= ০.০৫৫
= ০.০৫৫ × ১০০০
= ৫৫

∴ এক দশমাংশ ও এক শতাংশ এর গড়কে ১০০০ দ্বারা গুণ করলে গুণফল ৫৫ হবে।

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 12 সে.মি. এবং বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 30° হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ = 30°
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য a = b = 12 সে.মি.

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) absinθ
= (1/2) × 12 × 12 × sin30°
= (1/2) × 144 × (1/2)
= 36

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 36 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন:  হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
f(x) = x² + (x² - 1)/3 - 1

এখন,
f(1) = 1² + (1² - 1)/3 - 1
= 1 + (0/3) - 1
= 0

 প্রশ্ন: 10 একক ব্যাস বিশিষ্ট একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল তার পরিধির কত শতাংশ?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাস = 10
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r  = 10/2 = 5
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × (5)² = 25π
বৃত্তের পরিধি = 2πr = 2 × π × 5 = 10π

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল তার পরিধির = (25π/10π) × 100 = 250 শতাংশ

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ৯০ বার ঘুরে। চাকাটি ৯০° ঘুরতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
১ মিনিট বা ৬০ সেকেন্ডে ঘুরে ৯০ বার
∴ ১ সেকেন্ডে ঘুরে ৯০/৬০ বার
= ১.৫ বার

১ বার ঘুরলে চাকাটি ঘুরে ৩৬০°
∴ ১.৫ বার ঘুরলে চাকাটি ঘুরে (৩৬০ × ১.৫)°
= ৫৪০°

৫৪০° ঘুরে ১ সেকেন্ডে
∴ ৯০° ঘুরে (১ × ৯০)/৫৪০ সেকেন্ডে
= ১/৬ সেকেন্ডে

প্রশ্ন: 7 জন পুরুষ ও 6 জন মহিলা হতে 5 সদস্যবিশিষ্ট একটি কমিটি কতভাবে নির্বাচিত করা যায় যেন কমিটিতে কমপক্ষে 3 জন পুরুষ থাকে?

সমাধান:
      পুরুষ (7)          মহিলা (6)
1)       3                     2
2)       4                     1
3)       5                     0

∴ মোট কমিটি নির্বাচন করা যাবে = (⁷C₃ × ⁶C₂) + (⁷C₄ × ⁶C₁) + (⁷C₅ × ⁶C₀) 
= (35 × 15) + (35 × 6) + (21 × 1)
= 756

প্রশ্ন: যদি ‍a ও b বাস্তব সংখ্যা এবং ‍a ≠ 0, b ≠ 0 হয় তবে ‍ এর মান কত?

সমাধান:
a² + b²

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য 3.2 গজ। মাঠের চারদিকে বেড়ার দৈর্ঘ্য 11.2 গজ। মাঠটির ক্ষেত্রফল কত বর্গগজ?

সমাধান:
আমরা জানি,
মাঠের পরিসীমা = মাঠের চারদিকে বেড়ার দৈর্ঘ্য = 11.2 গজ
ধরি,
মাঠের প্রস্থ = x গজ

প্রশ্নমতে,
2(3.2 + x) = 11.2
বা, 6.4 + 2x = 11.2
বা, 2x = 11.2 - 6.4
বা, 2x = 4.8
∴ x = 2.4

∴ মাঠটির ক্ষেত্রফল = (3.2 × 2.4)
= 7.68 বর্গগজ

প্রশ্ন: A = {x ∈ N : x2 = 1} সেটের তালিকা পদ্ধতি কোনটি?

সমাধান:
A = {x ∈ N : x² = 1}
যেহেতু, x ∈ N হলে N = [1, 2, 3, 4, 5, ...................}

এখন, x² = 1
x = ± 1
কিন্তু - 1 ∉ N

∴ A = {x ∈ N : x2 = 1} সেটকে তালিকা পদ্ধতি = {1}

প্রশ্ন: tan75° + tan15° + tan105° + tan165° এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
tan75° + tan15° + tan105° + tan165°
= tan(90 - 15)° + tan15° + tan(90 + 15)° + tan{(90 × 2) - 15}°
= cot15° + tan15° - cot15° - tan15°
= 0 

প্রশ্ন: (x - 3) (5x + 4) এর গুণফল কত? 

সমাধান:
(x - 3) (5x + 4)
= 5x² + 4x - 15x - 12
= 5x² - 11x - 12

প্রশ্ন: ২০, ৫, ১২, ১৫, ১৭, ২১, ৯, ২৩, ২৫, ১১, ৮ উপাত্তগুলোর মধ্যক কোনটি?

সমাধান:
উপাত্তগুলোকে মানের ক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই,
৫, ৮, ৯, ১১, ১২, ১৫, ১৭, ২০, ২১, ২৩, ২৫
এখানে মোট পদ ১১টি

মধ্যক হবে ৬ষ্ঠ পদ।

∴ নির্ণেয় মধ্যক = ১৫

প্রশ্ন: x² - 11x + 30 এবং x³ - 4x² - 2x - 15 এর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
 ১ম রাশি = x² - 11x + 30
= x² - 5x - 6x + 30
= x(x - 5) - 6(x - 5)
= (x - 5)(x - 6)

২য় রাশি = x³ - 4x² - 2x - 15

ধরি, 
f(x) = x³ - 4x² - 2x - 15
f(5) = 5³  - 4 . 5² - (2 × 5) - 15 
= 125 - 100 - 10 - 15
= 125  - 125
= 0
(x - 5),  f(x) এর একটি উৎপাদক 
f(x) = x³ - 4x² - 2x - 15
= x³ - 5x² + x² - 5x + 3x - 15 
= x²(x - 5) + x (x - 5) + (x - 5)
= (x - 5) (x² + x + 3)

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = x - 5