Math Master

প্রশ্ন: x + 4y = 11, 7x - 3y = 15 হলে (x, y) এর মান কত? 

সমাধান: 
x + 4y = 11................(1)
7x - 3y = 15................(2)

(1) × 3 + (2) × 4 ⇒ 
3x + 12y + 28x - 12y = 33 + 60
31x = 93
x = 93/31
x = 3 

(1)  ⇒ 
x + 4y = 11
3 + 4y = 11
4y = 8
y = 2 

(x, y) = (3, 2)

প্রশ্ন: (x/2) + (y/3) = 3, x - (y/3) = 3 হলে x + y এর মান কত? 

সমাধান: 
(x/2) + (y/3) = 3................(1)
x - (y/3) = 3...................(2)

(1) + (2) ⇒ 
(x/2) + (y/3) + x - (y/3) = 3 + 3
(x/2) + x = 6
(x + 2x)/2 = 6
3x/2 = 6
x = (2 × 6)/3
x = 4

(1) ⇒ 
(4/2) + (y/3) = 3
2 + y/3 = 3
y/3 = 3 - 2
y/3 = 1
y = 3

x + y = 4 + 3 = 7

প্রশ্ন:।2x - 11। ≤ 9 অসমতাটির সমধান কোনটি? 

সমাধান: 
।2x - 11। ≤ 9
- 9 ≤ 2x - 11  ≤ 9
- 9 + 11 ≤ 2x - 11 + 11 ≤ 9 + 11
2 ≤ 2x ≤20
2/2 ≤ 2x/2 ≤ 20/2
1 ≤ x ≤ 10

প্রশ্ন: 2x + 3y = 8, 6x - 7y = - 8 হলে (x, y) = কত? 

সমাধান: 
2x + 3y = 8..............(1)
6x - 7y = - 8..............(2)

(1) × 7 + (2) × 3 ⇒
14x + 21y + 18x - 21y = 56 - 24
32x = 32
x = 1

(1) ⇒ 
2x + 3y = 8
2 × 1 + 3y = 8
2 + 3y = 8
3y = 6
y = 2 

(x, y) = (1, 2) 

প্রশ্ন: 1 < x < 9 কে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ করলে হবে - 

সমাধান: 
এখানে,
(1 + 9)/2 = 10/2 = 5 

এখন 
1 - 5 < x - 5 < 9 - 5
- 4 < x - 5 < 4
lx - 5l < 4

প্রশ্ন: কোন প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের যোগফল 11 এবং বিয়োগফল 3 হলে ভগ্নাংশটি = কত? 

সমাধান: 
মনে করি,
প্রকৃত ভগ্নাংশটির লব = x
প্রকৃত ভগ্নাংশটির হর = y
∴ ভগ্নাংশটি = x/y

প্রশ্নমতে,
x + y = 11...........(1)
y - x = 3 ..........(2)
(1) + (2) পাই 
2y = 14
y = 7

y এর মান (1) বসিয়ে পাই,
x + 7 =11
x = 11 - 7 
x = 4
ভগ্নাংশটি = x/y = 4/7

প্রশ্ন:1 + √3 এবং 1 - √3 মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নিচের কোনটি?

সমাধান: 
a = 1 + √3
b = 1 - √3

মূলদ্বয়ের যোগফল a + b = 1 + √3 + 1 - √3 = 2
মূলদ্বয়ের গুণফল ab = (1 + √3)(1 - √3)
                                 = 1² - (√3)²
                                = 1 - 3 
                                 = - 2
নির্ণেয় সমীকরণ = x² - (a + b)x + ab
= x² - 2x - 2

প্রশ্ন:  x² - 9x + 20 < 0 হলে, অসমতাটির সমাধান কত? 

সমাধান: 
x² - 9x + 20 < 0
x² - 4x - 5x + 42< 0
x(x - 4) - 5 (x - 4) < 0
∴ (x - 4)(x - 5) < 0

x² - 9x + 20 < 0 সত্য হবে যদি x - 4 < 0 এবং x - 5 > 0 হয়।
এখন, x - 4 < 0 এবং x - 5 > 0
অর্থাৎ,  x < 4 এবং x > 5
4 এর চেয়ে ছোট এবং 5 এর চেয়ে বড় x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

আবার,
x² - 9x + 20 < 0 সত্য হবে যদি x - 4 > 0 এবং x - 5 < 0 হয়।
এখন,  x - 4 > 0 এবং x - 5 < 0
অর্থাৎ x >4 এবং x <5
x এর মান 4 এর চেয়ে বড় এবং 5 এর চেয়ে ছোট।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.  

সুতরাং নির্ণেয় সমাধানঃ 4 < x < 5

প্রশ্ন: x - 2y = - 2, 3x - 2y = 6 সমীকরণ জোটের (x, y) এর মান কত?

সমাধান: 
 x - 2y = - 2.............(1)
3x - 2y = 6.............(2)

(2) - (1) ⇒ 
3x - 2y - (x - 2y) = 6 + 2
3x - 2y - x + 2y = 8
2x = 8
x = 4

(1) ⇒ 
 4 - 2y = - 2
- 2y = - 2 - 4
- 2y = - 6
y = 3 


 (x, y) = (4, 3)

প্রশ্ন:।1 - 2x। < 1 অসমতাটির সমাধান হলো-

সমাধান:
।1 - 2x। < 1
- 1 < 1 - 2x < 1
- 1 - 1 < 1 - 2x - 1 < 1 - 1
- 2 < - 2x < 0
- 2/2 < - 2x/2 < 0/2
- 1 < - x < 0
- 1(- 1) > - x(- 1) > 0(- 1)
1 > x > 0
0 < x < 1

প্রশ্ন: ।x - 4। > 3 অসমতাটির সমাধান কত?  

সমাধান: 
(x - 4) অঋণাত্মক হলে আমরা পাই,
x - 4 > 3
x - 4 + 4 > 3 + 4
x > 7

আবার 
(x - 4) ঋণাত্মক হলে আমরা পাই,
- (x - 4) > 3
- x + 4 > 3
- x + 4 - 4 > 3 - 4
- x > - 1
(- x)(- 1) < (- 1)(- 1)
x < 1

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার প্রথমটির তিনগুণ থেকে দ্বিতীয় সংখ্যার দ্বিগুণ বিয়োগ করলে 5 হয়। আবার প্রথমটির দ্বিগুণের সাথে দ্বিতীয় সংখ্যার তিনগুণ যোগ করলে 12 হয়। সংখ্যা দুটি কত? 

সমাধান: 
প্রথম সংখ্যাটি x 
দ্বিতীয় সংখ্যাটি y 

১ম শর্তমতে
3x - 2y = 5.............(1)

২য় শর্তমতে
2x + 3y = 12 ................(2)


(1) × 3 + (2) × 2 ⇒
9x - 6y + 4x + 6y = 15 + 24
13x = 39
x = 3

(2) ⇒
2 × 3 + 3y = 12
6 + 3y = 12
3y = 6
y = 2 

 
প্রথম সংখ্যাটি 3 
দ্বিতীয় সংখ্যাটি 2 

প্রশ্ন: x + 2y = 7, 2x = 3y হলে (x, y) এর মান কত? 

সমাধান: 
x + 2y = 7..............(1)
2x = 3y
2x - 3y = 0 ................(2)

(1) × 2 - (2) ⇒
2x + 4y - 2x + 3y = 14 
7y = 14
y = 2

(1)  ⇒
x + 2y = 7
x + 2 × 2 = 7
x + 4 = 7
x = 7 - 4
x = 3 
 
(x, y)  = (3, 2)

প্রশ্ন: {1/।2x + 1।} ≥ 7 অসমতাটির সমাধান হলো- 

সমাধান: 
1/।2x + 1। ≥ 7
বা, ।2x + 1। ≤ 1/7
বা, - 1/7 ≤ 2x + 1 ≤ 1/7
বা, - (1/7) - 1 ≤ 2x + 1 - 1 ≤ (1/7) - 1
বা, (- 1 - 7)/7 ≤ 2x ≤ (1 - 7)/7
বা, - 8/7 ≤ 2x ≤ - 6/7
বা, - 8/(7 × 2) ≤ 2x/2 ≤ - 6/(7 × 2)
       - 4/7 ≤ x ≤ - 3/7

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অংকদ্বয়ের সমষ্টি 11 । অঙ্ক দুটি স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যাবে তা প্রদত্ত সংখ্যা হতে 9 কম। সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
মনে করি,
একক স্থানীয় অংক x
দশক স্থানীয় অংক 11 - x
∴ সংখ্যাটি = 10(11 - x) + x = 110 - 9x
অংক দুইটি স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি হবে,
= 10x + 11 - x = 9x + 11
প্রশ্নমতে,
9x + 11 = 110 - 9x - 9
9x + 9x = 101 - 11
⇒ 18x = 90
⇒ x = 5

∴ নির্ণেয় সংখ্যা = 110 - 9x
= 110 - 45
= 65

প্রশ্ন: x - 5 = (x - 5)/x হলে, সমাধান সেট কত? 

সমাধান: 
x - 5 = (x - 5)/x
x(x - 5) = (x - 5) 
x(x - 5)- 1(x - 5) = 0
(x - 5)(x - 1) = 0

হয় 
x - 5 = 0
x = 5

অথবা 
x - 1 = 0
x = 1

সমাধান সেট = {1, 5}