১০০ দিনে বিসিএস প্রস্তুতি [বিষয়ভিত্তিক]

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি ক্ষুদ্রতম?

সমাধান:
৮/৯ = ০.৮৯
৭/১২ = ০.৫৮
৫/৯ = ০.৫৬
৩/৪ = ০.৭৫

এখানে,
০.৫৬ < ০.৫৮ < ০.৭৫ < ০.৮৯

∴ ক্ষুদ্রতম ভগ্নাংশটি  = ৫/৯

প্রশ্ন: আনিস সাহেব ১০০০ টাকা ব্যাংকে রাখলেন। ৭ বছর ৬ মাস পর তিনি ১২০০ টাকা মুনাফা পেলেন। মুনাফার হার কত?

সমাধান: 
সময়, n = ৭ বছর ৬ মাস = ৭ বছর + ৬/১২ বছর = ৭.৫ বছর
আসল, P = ১০০০ টাকা 
মুনাফা, I = ১২০০ টাকা 
হার, r 

আমরা জানি,
মুনাফা, I = Pnr
হার, r = I/(Pn)
= ১২০০/(১০০০ × ৭.৫) 
= ০.১৬ × ১০০%
= ১৬%

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৮, ৪১ ও ৬৬ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৪, ৫, ৬ ভাগশেষ থাকবে? 

সমাধান:
এখানে,
২৮ - ৪ = ২৪,
৪১ - ৫ = ৩৬
৬৬ - ৬ = ৬০

বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ২৪, ৩৬ এবং ৬০ এর গ.সা.গু 
এখন,
২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গ.সা.গু = ১২

∴ বৃহত্তম সংখ্যা = ১২ 

প্রশ্ন: a² - b² = 20 এবং a - b = 2 হলে, ab এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a² - b² = 20
বা, (a + b)(a - b) = 20
বা, (a + b) × 2 = 20
বা, a + b = 20/2
বা, a + b = 10

এখন, ab = {(a + b)² - (a - b)²}/4
= (10² - 2²)/4
= (100 - 4)/4
= 96/4
= 24

প্রশ্ন: ১ থেকে ১৫ পর্যন্ত একটি সংখ্যা নির্বাচন করলে তা মৌলিক না হবার সম্ভাবনা কত?

সমাধান: 
১ থেকে ১৫ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা : ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩ মোট ৬টি

১ থেকে ১৫ পর্যন্ত মৌলিক নয় = ১৫ - ৬ = ৯টি

১ থেকে ১৫ পর্যন্ত একটি সংখ্যা নির্বাচন করলে তা মৌলিক না হবার সম্ভাবনা ৯/১৫ = ৩/৫

প্রশ্ন: কোনো গ্রামের জনসংখ্যার মধ্যে পুরুষের সংখ্যা ৫৫% । ঐ গ্রামে মহিলার সংখ্যা ৯০০ জন হলে, পুরুষের সংখ্যা কত? 

সমাধান:
মহিলার সংখ্যা = (১০০% - ৫৫%)
= ৪৫% 

মোট জনসংখ্যা = ক 

প্রশ্নমতে,
ক এর ৪৫% = ৯০০ 
বা, ক × ৪৫/১০০ = ৯০০
বা, ক = (৯০০ × ১০০)/৪৫ 
∴ ক = ২০০০ জন 

∴ পুরুষের সংখ্যা = (২০০০ - ৯০০) জন
= ১১০০ জন 

প্রশ্ন: AOB একটি সরলরেখা, যার ∠AOC = (2p + 48)° এবং ∠BOC = (3p - 8)° হলে, p/2 এর মান কত?

সমাধান:

এখানে,
∠AOC + ∠BOC = 180° [যেহেতু, এক সরলকোণ = ১৮০°]
⇒ 2p° + 48° + 3p° - 8° = 180°
⇒ 5p° = 180° - 40°
⇒ p° = 140°/5
⇒ p° = 28° 
∴ p/2 = 14°

প্রশ্ন: ১০টি সংখ্যার গড় ২৫। আরও একটি সংখ্যা যুক্ত হলে গড় ১ কমে যায়। নতুন সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
১০টি সংখ্যার গড় ২৫।
১০টি সংখ্যার সমষ্টি (২৫ × ১০) = ২৫০

ধরি,
নতুন সংখ্যা ক

প্রশ্নমতে,
(২৫০ + ক)/১১ = ২৫ - ১
বা, ২৫০ + ক = ২৪ × ১১
বা, ক = ২৬৪ - ২৫০
∴ ক = ১৪ 

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য ৩ মিটার, প্রস্থ ২ মিটার ও উচ্চতা ৫ মিটার। এতে কত লিটার বিশুদ্ধ পানি ধরবে?

সমাধান: 
চৌবাচ্চাটির দৈর্ঘ্য ৩ মিটার = ৩০০ সে.মি.
চৌবাচ্চাটির প্রস্থ ২ মি. = ২০০ সে.মি. 
 চৌবাচ্চাটির উচ্চতা ৫ মি. = ৫০০ সে.মি.

∴ চৌবাচ্চার আয়তন = (৩০০ × ২০০ × ৫০০) ঘন সে.মি.
= ৩০০০০০০০ ঘন সে.মি.

আমরা জানি,
১০০০ ঘন সে.মি. = ১ লিটার
∴ ৩০০০০০০০ ঘন সে.মি. = ৩০০০০০০০/১০০০
= ৩০০০০ লিটার

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে x/3, x/3 এবং (4x)/3 হলে, বৃহত্তম কোণটির মান কত?

সমাধান:
x/3 + x/3 + (4x)/3 = 180°
⇒ x + x + 4x = 3 × 180°
⇒ 6x = 3 × 180°
∴ x = 90°

∴ বৃহত্তম কোণ = (4 × 90°)/3 = 120°

প্রশ্ন: x = 1 + √3 হলে x³ - 6√3 = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = 1 + √3
বা, x³ = (1 + √3)³
বা, x³ = 1³ + 3 . 1² . √3 + 3 . 1 . (√3)² + (√3)³
বা, x³ = 1 + 3√3 + 9 + 3√3
বা, x³ = 10 + 6√3
∴ x³ - 6√3 = 10

প্রশ্ন: সমাধান করুন: | 2x + 1 | < 3

সমাধান:
| 2x + 1 | < 3
⇒ - 3 < 2x + 1 < 3
⇒ - 3 - 1 < 2x + 1 - 1< 3 - 1
⇒ - 4 < 2x < 2
⇒ - 4/2 < 2x/2 < 2/2
⇒ - 2 < x < 1

প্রশ্ন: ইফতার মাহফিল শেষে একে অপরের সাথে শুভেচ্ছা সংখ্যা 78 হলে মাহফিলে লোকসংখ্যা কত?

সমাধান:
ⁿc₂ = 78
⇒ n(n - 1)/2 = 78  
⇒ n² - n = 156
⇒ n² - n - 156 = 0
⇒ n² - 13n + 12n - 156 = 0
⇒ n(n - 13) + 12 (n - 13) = 0
⇒ (n - 13) (n + 12) = 0 

হয়, n - 13 = 0 অথবা, n + 12 = 0
∴ n = 13, - 12 [ঋণাত্মক মান গ্রহনযোগ্য নয়]

∴ মাহফিলে লোকসংখ্যা = 13

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত 2 : 3 এবং ক্ষেত্রফল 75 বর্গসেমি হলে, কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত = 2 : 3
ধরি, কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 2a এবং 3a

প্রশ্নমতে,
(1/2) × 2a × 3a = 75
⇒ 6a²/2 = 75
⇒ 3a² = 75
⇒ a² = 75/3
⇒ a² = 25
∴ a = 5

∴ রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য  (2 × 5) = 10 সেমি এবং (3 × 5) = 15 সে.মি.।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তাকার মাঠের ব্যাস 32 মিটার। মাঠটির বাইরে চারদিকে 2 মিটার চওড়া একটি রাস্তা রয়েছে। রাস্তাসহ মাঠটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
রাস্তাবাদে বৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধ = 32/2 মিটার
= 16 মিটার

রাস্তাসহ মাঠের ব্যাসার্ধ = (16 + 2)মিটার
= 18 মিটার

অতএব, রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল = πr² মিটার
= π(18)² মিটার
= 324π বর্গ মিটার।

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা থেকে ১ বিয়োগ করলে বিয়োগফল ৯, ১২, ১৫ ও ১৮ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
এখানে,
৯, ১২, ১৫ ও ১৮ এর ল.সা.গু = ১৮০

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ১৮০ + ১ = ১৮১

প্রশ্ন: log_x(1/243) = - 5 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
log_x(1/243) = - 5
⇒ x^{- 5} = 1/243
⇒ x^{- 5} = 1/3⁵
⇒ x^{- 5} = 3^{- 5}
∴ x = 3

প্রশ্ন: একটি বই ১০% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। বইটি আরও ৩০ টাকা বেশি মূল্যে বিক্রয় হলে ৫% লাভ হতো। বইয়ের ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান: 
ধরি,
বইয়ের ক্রয়মূল্য ক টাকা 

১০% ক্ষতিতে,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয় মূল্য ৯০ টাকা 
∴ ক্রয়মূল্য ক টাকা হলে বিক্রয় মূল্য (৯০ × ক)/১০০ টাকা
= ৯০ক/১০০ টাকা 

৫% লাভে,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয় মূল্য ১০৫ টাকা 
∴ ক্রয়মূল্য ক টাকা হলে বিক্রয় মূল্য (১০৫ × ক)/১০০ টাকা
= ১০৫ক/১০০ টাকা 

শর্তমতে,
১০৫ক/১০০ - ৯০ক/১০০ = ৩০
বা, (১০৫ক - ৯০ক)/১০০ = ৩০
বা, ১৫ক/১০০ = ৩০ 
বা, ১৫ক = ৩০০০
∴ ক = ২০০

∴ বইয়ের ক্রয়মূল্য ২০০ টাকা।

প্রশ্ন: 2a³ - 5a² + 4 = 0 সমীকরণের a এর সহগ কত?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ, 2a³ - 5a² + 4 = 0
বা, 2a³ - 5a² + 0 . a + 4 = 0

প্রদত্ত সমীকরণে a এর সহগ 0

প্রশ্ন: 4a⁴ - 25a² + 36 এর উৎপাদকগুলো হলো -

সমাধান:
4a⁴ - 25a² + 36 
⇒ 4a⁴ - 16a² - 9a² + 36 
⇒ 4a²(a² - 4) - 9(a² - 4)
⇒ (4a² - 9)(a² - 4)
⇒ {(2a)² - 3²} (a² - 2²)
⇒ (2a + 3)(2a - 3)(a + 2)(a - 2)

∴ 4a⁴ - 25a² + 36 এর উৎপাদকগুলো হলোঃ (2a + 3)(2a - 3)(a + 2)(a - 2)

প্রশ্ন: 6x² - 7x - 4 = 0 সমীকরণে মূলদ্বয়ের প্রকৃতি-
 
সমাধান:
6x² - 7x - 4 = 0 
এখানে,
a = x² এর সহগ = 6
b = x এর সহগ = - 7
c = ধ্রুবক = - 4

নিশ্চায়ক = b² - 4ac
= (- 7)² - 4. 6. (- 4)
= 49 + 96
= 145 > 0

নিশ্চায়ক ধনাত্মক হলে, মূল দুইটি বাস্তব ও অসমান হবে।
∴ মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান।

প্রশ্ন: ২৪০ টি কমলা তিন ভাইয়ের মধ্যে ১/৮ : ১/৩ : ১/৬ অনুপাতে ভাগ করে দিলে ২য় ভাই কয়টি কমলা পাবে? 

সমাধান:
১/৮ : ১/৩ : ১/৬
= (১/৮) × ২৪ : (১/৩) × ২৪ : (১/৬) × ২৪ [৮, ৩, ৬ এর ল.সা.গু = ২৪]
=  ৩ : ৮ : ৪

ধরি, তিন জন পাবে যথাক্রমে ৩ক, ৮ক, ৪ক টি কমলা

প্রশ্নমতে,
৩ক + ৮ক + ৪ক = ২৪০
⇒ ১৫ক = ২৪০
⇒ ক = ২৪০/১৫
⇒ ক = ১৬

∴ ২য় ভাই কমলা পাবে = ৮ × ১৬ = ১২৮ টি

প্র্রশ্ন: নিচের কোন ক্রমজোড়টি সহমৌলিক?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক কেবল ১ হলে, ঐ সংখ্যাগুলো পরস্পর সহমৌলিক।

এখানে,
৬ ও ১৩ ক্রমজোড়টি সহমৌলিক
৬ = ১ × ২ × ৩
১৩ = ১ × ১৩

কারণ, (৬, ১৩) ক্রমজোড়টির সাধারণ গুণনীয়ক ১,
∴ (৬, ১৩) ক্রমজোড়টি সহমৌলিক

প্রশ্ন: একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হলে জোড় সংখ্যা অথবা তিন দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা উঠার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে সম্ভাব্য ফলাফল: 1, 2, 3, 4, 5, 6; মোট 6 টি
জোড় সংখ্যা অথবা তিন দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা: 2, 4, 6, 3; মোট 4 টি

∴ ছক্কাটি নিক্ষেপে জোড় সংখ্যা অথবা তিন দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা উঠার সম্ভাবনা, 4/6 = 2/3  

প্রশ্ন: 7 জন ব্যক্তিকে 1 টি গোলটেবিলের চারপাশে কতভাবে বসানো যাবে?

সমাধান: 
7 জন ব্যক্তিকে 1 টি গোলটেবিলের চারপাশে সাজানো যাবে (n - 1)! উপায়ে।
= (7 - 1)! 
= 6!
= 720

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা √3 সেমি হলে তার বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

সমবাহু ত্রিভুজ ABC এর মধ্যমা AD ⊥ BC
এখানে,
AB = BC = AC = 2BD

পিথাগোরাসের সূত্র মতে,
AB² = AD² + BD²
⇒ x² =  (√3)² +(x/2)²
⇒ x² - x2/4 = 3
⇒ 3x²/4 = 3
⇒ x² = 4
⇒ x = 2

প্রশ্ন: 3 - 5 - 13 - 21 - ........... ধারাটির 10তম পদ কত?

সমাধান: 
ধারাটির প্রথম পদ, ‍a = 3
সাধারণ অনুপাত, d = - 5 - 3 = - 8
∴ ধারাটি একটি সমান্তর ধারা। 

আমরা জানি,
 n তম পদ = a + (n - 1) d

∴ 10 তম পদ = 3 + (10 - 1) × (- 8)
= 3 + 9 × (- 8)
= 3 - 72
= - 69

প্রশ্ন: P(A) = 1/2, P(B) = 2/5 হলে A ও B স্বাধীন হলে P(A ∪ B) এর মান কত?

সমাধান:
P(A) = 1/2, P(B) = 2/5 

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
 = P(A) + P(B) - P(A).P(B) [যেহেতু A ও B স্বাধীন]
= (1/2) + (2/5) - (1/2) × (2/5)
= 1/2 + 2/5 - 1/5
= (5 + 4 - 2)/10
= 7/10

প্রশ্ন: P = {x ∈ N : 2 < x ≤ 8}, Q = {x ∈ N : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 9} হলে, P ∩ Q এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
P = {x ∈ N : 2 < x ≤ 8}
Q = {x ∈ N : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 9}

P = {3, 4, 5, 6, 7, 8}
Q = {2, 4, 6, 8}

P ∩ Q = {3, 4, 5, 6, 7, 8} ∩ {2, 4, 6, 8}
= {4, 6, 8}