Math Master

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ মিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a = ৬ মিটার

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × a^২ বর্গ একক
= (√৩/৪) × ৬^২
= (√৩/৪) × ৩৬ 
= ৯√৩ বর্গমিটার

সুতরাং, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ৯√৩ বর্গমিটার

প্রশ্ন: রাহাত তার বাসা থেকে ৬ মাইল পশ্চিমে যায় এবং পরবর্তীতে ৮ মাইল দক্ষিণে যায়। সর্বশেষ অবস্থান থেকে তার বাসার সর্বনিম্ন দূরত্ব কত?

সমাধান:

রাহাতের হাঁটার পথটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করেছে।

পশ্চিম দিকে যাওয়া ৬ মাইল হলো ত্রিভুজের একটি লম্ব।
 দক্ষিণ দিকে যাওয়া ৮ মাইল হলো ত্রিভুজের ভূমি।
সর্বশেষ অবস্থান থেকে বাসার সর্বনিম্ন দূরত্ব হলো অতিভুজ।

আমরা জানি, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
(অতিভুজ)^২ = (লম্ব)^২ + (ভূমি)^২
⇒ (দূরত্ব)^২ = ৬^২ + ৮^২
⇒ (দূরত্ব)^২ = ৩৬ + ৬৪
⇒ (দূরত্ব)^২ = ১০০
⇒ দূরত্ব = √১০০
⇒ দূরত্ব = ১০ মাইল

∴ তার বাসার সর্বনিম্ন দূরত্ব হলো ১০ মাইল।

প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজে AB = 8 মিটার, BC = 10 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 20√3 বর্গমিটার হলে, ∠B = ? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
AB = 8 মিটার
BC = 10 মিটার
এবং ABC ত্রিভুজে ক্ষেত্রফল = 20√3 বর্গমিটার

আমরা জানি, 
একটি ত্রিভুজের সন্নিহিত বাহুদ্বয় a, b হলে এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ হলে,
ক্ষেত্রফল = (1/2)ab sinθ
∴ ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল = (1/2) × AB × BC × sinθ 
⇒ 20√3 = (1/2) × 8 × 10 × sin ∠B
⇒ 20√3 = 40 × sin ∠B  
⇒ sin ∠B = 20√3/40
⇒ sin ∠B = √3/2 
⇒ sin ∠B = sin 60°
⇒ ∠B = 60°

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের বাহু ৫ সে.মি., ১২ সে.মি. এবং ১৩ সে.মি.। এটি কোন ধরনের ত্রিভুজ? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে,
a = ৫ সে.মি., b = ১২ সে.মি. এবং c = ১৩ সে.মি.

সবচেয়ে বড় বাহু = ১৩ সে.মি.  
অন্য দুই বাহুর যোগফল = ৫ + ১২ = ১৭ সে.মি.
∴ ১৭ > ১৩ ⇒ ত্রিভুজ গঠন সম্ভব।

এখন ত্রিভুজের প্রকৃতি নির্ণয় করি,
১৩^২ = ১৬৯  
এবং
৫^২ + ১২^২ = ২৫ + ১৪৪ = ১৬৯

∴ ১৩^২ = ৫^২ + ১৩^২ 

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, যে ত্রিভুজে সবচেয়ে বড় বাহুর বর্গ = অন্য দুই বাহুর বর্গের যোগফল, সেটি সমকোণী ত্রিভুজ।
∴ ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে।  

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ব্যতীত অপর দুইটি কোণের পার্থক্য 25° হলে ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত?

সমাধান:
ধরি,
অপর দুইটি কোণের মধ্যে ক্ষুদ্রতম কোণ = x°
তাহলে বৃহত্তম কোণ = (x + 25)°

প্রশ্নমতে,
x° + (x + 25)° + 90° = 180°
⇒ 2x° + 25° + 90° = 180°
⇒ 2x° + 115° = 180°
⇒ 2x° = 180° - 115° = 65°
⇒ x° = 65°/2
x = 32.5°

সুতরাং, ক্ষুদ্রতম কোণ = 32.5°

প্রশ্ন: একটি ২০ মিটার লম্বা মই দেয়ালের সাথে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে। মইয়ের এক প্রান্ত দেয়াল থেকে ১২ মিটার দূরে থাকলে, মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের কত উচ্চতায় স্পর্শ করেছে?

সমাধান:
ধরি,
মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের 'ক' মিটার উচ্চতায় স্পর্শ করেছে।

দেওয়া আছে,
মইয়ের দৈর্ঘ্য = ২০ মিটার
দেয়াল থেকে মইয়ের দূরত্ব = ১২ মিটার

যেহেতু দেয়াল মাটির সাথে ৯০° কোণ উৎপন্ন করে।

∴ পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে,
(দেয়ালের উচ্চতা)^২ + (১২)^২ = (২০)^২
⇒ (দেয়ালের উচ্চতা)^২ + ১৪৪ = ৪০০
⇒ (দেয়ালের উচ্চতা)^২ = ৪০০ - ১৪৪ = ২৫৬
⇒ দেয়ালের উচ্চতা = √২৫৬ = ১৬

সুতরাং, মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের ১৬ মিটার উচ্চতায় স্পর্শ করেছে।

প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
আমরা জানি, যেকোনো ত্রিভুজের তিনটি অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি 180°।

যদি একটি ত্রিভুজের তিনটি অন্তঃস্থ কোণ যথাক্রমে A, B এবং C হয়, তবে,
A + B + C = 180°
একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা তার অন্তঃস্থ সন্নিহিত কোণের সাথে 180° কোণ তৈরি করে।
সুতরাং, বহিঃস্থ কোণ = 180° - অন্তঃস্থ কোণ।

সকল বহিঃস্থ কোণের সমষ্টি = 3 × 180° - (A + B + C) 
= 540° - 180° = 360° 

∴ যেকোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি সর্বদা 360°।

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ২০ মিটার। এর সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য ভূমির ৩/৪ অংশ হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি, ত্রিভুজটির ভূমি, b = ক মিটার
∴ ত্রিভুজটির সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a = (৩/৪)ক মিটার

প্রশ্নমতে,
ক + (৩/৪)ক + (৩/৪)ক = ২০
⇒ (৪ক + ৩ক + ৩ক)/৪ = ২০
⇒ ১০ক/৪ = ২০
⇒ ১০ক = ২০ × ৪
⇒ ১০ক = ৮০ 
⇒ ক = ৮০/১০
⇒ ক = ৮

∴ ত্রিভুজটির ভূমি b = ৮ মিটার
এবং সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a = (৩/৪) × ৮ = ৬ মিটার

এখন, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (b/৪) × √(৪a^২ - b^২)
= (৮/৪) × √{৪(৬)^২ - (৮)^২}
= ২ × √(৪ × ৩৬ - ৬৪)
= ২ × √(১৪৪  - ৬৪)
= ২ × √৮০
= ২ × √(১৬ × ৫) 
= ২ × ৪√৫ 
= ৮√৫  বর্গমিটার

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ৮√৫ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত ২ : ৩ : ৪ হলে বৃহত্তম কোণ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
কোণগুলোর অনুপাত ২ : ৩ : ৪  
ধরি কোণগুলো যথাক্রমে ২x, ৩x এবং ৪x  

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের তিন কোণের যোগফল = ১৮০°  
⇒ ২x + ৩x + ৪x = ১৮০°  
⇒ ৯x = ১৮০°  
⇒ x = ২০°  

∴ বৃহত্তম কোণ = ৪x = ৪ × ২০° = ৮০°

প্রশ্ন: PQR ত্রিভুজের PN একটি মধ্যমা এবং M ভরকেন্দ্র। যদি মধ্যমা PN-এর দৈর্ঘ্য ২৭ সে.মি. হয়, তাহলে PM-এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোনো ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র তার মধ্যমাকে ২ : ১ অনুপাতে বিভক্ত করে।

এখানে,
PN মধ্যমা এবং M ভরকেন্দ্র।
∴ PM : MN = ২ : ১

মোট অনুপাত = ২ + ১ = ৩
মধ্যমা PN-এর দৈর্ঘ্য = ২৭ সে.মি.
ভরকেন্দ্র M, মধ্যমা PN-কে দুটি অংশে বিভক্ত করেছে: PM এবং MN।

∴ PM-এর দৈর্ঘ্য = ২৭ এর (২/৩) অংশ
= ২৭ × (২/৩) সেমি
= ১৮ সে.মি.

সুতরাং, PM-এর দৈর্ঘ্য ১৮ সে.মি.।

প্রশ্ন: ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ১২৬ বর্গ মি. এবং ভূমি ১৮ মি. হলে উচ্চতা কত?  

সমাধান:
দেওয়া আছে,  
ক্ষেত্রফল = ১২৬ বর্গ মি.  
ভূমি = ১৮ মি.

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
১২৬ = (১/২) × ১৮ × উচ্চতা
১২৬ = ৯ × উচ্চতা  
উচ্চতা = ১২৬/৯ = ১৪ মি

সুতরাং, উচ্চতা ১৪ মি.

প্রশ্ন: ত্রিভুজের তিনটি বাহু ৭ সে.মি., ৮ সে.মি. এবং ১৫ সে.মি. হলে ত্রিভুজ গঠন সম্ভব কি?  

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজ গঠনের শর্ত হতে,
দুই বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহুর চেয়ে বড় হতে হবে।

এখানে বাহু তিনটি যথাক্রমে, ৭ সে.মি., ৮ সে.মি. এবং ১৫ সে.মি.  
সবচেয়ে বড় বাহু = ১৫ সে.মি.  
অন্য দুটির যোগফল = ৭ + ৮ = ১৫ সে.মি.  
∴ ১৫ = ১৫ (বেশি নয়, সমান)  

যেহেতু অন্য দুটির যোগফল সবচেয়ে বড় বাহুর সমান হয়েছে, তাই তিনটি বিন্দু একই সরলরেখায় পড়বে।  
অর্থাৎ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল শূন্য হবে।  

সুতরাং ত্রিভুজ গঠন সম্ভব নয়।

প্রশ্ন: ত্রিভুজের বহিঃকোণ ও তার বিপরীত অন্তঃকোণের সমষ্টি কত?  

সমাধান:
যেকোনো ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃকোণ উৎপন্ন হয়, সেই বহিঃকোণ এবং তার বিপরীত অন্তঃকোণ (যে অন্তঃকোণের সাথে বহিঃকোণ লাগানো) দুটি একই সরলরেখার উপর অবস্থিত।  

সুতরাং,  
বহিঃকোণ + তার বিপরীত অন্তঃকোণ = ১৮০°  

সুতরাং, ত্রিভুজের বহিঃকোণ ও তার বিপরীত অন্তঃকোণের সমষ্টি ১৮০°। 

প্রশ্ন: কোন তিনটি বাহু দ্বারা ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হতে হবে।

এখানে, আমরা প্রত্যেকটি ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম দুইটি বাহুর যোগফলকে তৃতীয় (বৃহত্তম) বাহুর সাথে তুলনা করে পাই:

ক) ৬ + ৮ = ১৪ > ১২; ∴ ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।
খ) ৪ + ৬ = ১০ = ১০; ∴ ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়।
গ) ৪ + ৭ = ১১ > ১০; ∴ ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।
ঘ) ৫ + ৭ = ১২ > ১১; ∴ ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।

সুতরাং, সঠিক উত্তর খ) ৪, ৬, ১০

প্রশ্ন: ত্রিভুজের মধ্যমা তিনটি যে বিন্দুতে মিলিত হয় তাকে কী বলে? 

সমাধান:
ভরকেন্দ্র: ত্রিভুজের মধ্যমাগুলোর ছেদবিন্দুকে ভরকেন্দ্র বলে।


চিত্রে G বিন্দুটি হলো ভরকেন্দ্র।

উল্লেখ্য,
• অন্তঃকেন্দ্র: ত্রিভুজের তিন কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে অন্তঃকেন্দ্র বলে।
• পরিকেন্দ্র (Circumcentre): ত্রিভুজের তিনটি বাহুর লম্ব সমদ্বিখণ্ডকগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে, তাকে পরিকেন্দ্র বলা হয়।
• বহিঃকেন্দ্র: একটি ত্রিভুজের একটি অন্তঃস্থ কোণের সমদ্বিখণ্ডক এবং অপর দুটি বহিঃস্থ কোণের সমদ্বিখণ্ডক যে বিন্দুতে ছেদ করে, তাকে বহিঃকেন্দ্র বলে।

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল ১৬√৩ বর্গ মিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য = ক মিটার
∴ এর ক্ষেত্রফল = (√৩/৪)ক^২ বর্গ মিটার

বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ মিটার বাড়ালে, নতুন বাহুর দৈর্ঘ্য = (ক + ৪) মিটার
∴ নতুন ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × (ক + ৪)^২ বর্গ মিটার

প্রশ্নমতে,
(√৩/৪) × (ক + ৪)^২ - (√৩/৪)ক^২ = ১৬√৩
⇒ (√৩/৪) × {(ক + ৪)^২ - ক^২} = ১৬√৩
⇒ (ক + ৪)^২ - ক^২ = ১৬√৩ × (৪/√৩)
⇒ ক^২ + ৮ক + ১৬ - ক^২ = ৬৪
⇒ ৮ক + ১৬ = ৬৪ 
⇒ ৮ক = ৬৪ - ১৬ 
⇒ ৮ক = ৪৮
⇒ ক = ৪৮/৮ 
⇒ ক = ৬

∴ ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ মিটার।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি মাঠের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 20 মিটার, 21 মিটার, 29 মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি, বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে  a = 20 মিটার, b = 21 মিটার, c = 29 মিটার, 21m,
অর্ধপরিসীমা, s = (a + b + c​)/2 
= (20 + 21 + 29​)/2
= 70/​2
= 35

আমরা জানি, 
ক্ষেত্রফল = √{s(s - a)(s - b)(s - c)}
= √{35(35 - 20)(35 - 21)(35 - 29)}
= √{35 × 15  × 14  × 6}
= √44100
= 210 মিটার 

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ভূমি অপেক্ষা ২ সে.মি ছোট; কিন্তু অতিভুজ ভূমি অপেক্ষা ২ সে.মি বড়। অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, ভূমি = x সে.মি
∴ লম্ব = x - 2 সে.মি
এবং অতিভুজ = x + 2 সে.মি

প্রশ্নমতে,
x² + (x - 2)² = (x + 2)²
⇒ x² + x² - 4x + 4 = x² + 4x + 4
⇒ x² - 8x = 0
⇒ x (x - 8) = 0
হয়, x = 0 (গ্রহনযোগ্য নয়)
অথবা,
x = 8

∴ অতিভুজ = 8 + 2 = 10 সে.মি