ব্যাংক নিয়োগ প্রস্তুতি ⎯ লং কোর্স

Question: Which trigonometric ratio is undefined in value?

Solution:
• sec 270° = 1/cos 270°
Since cos 270° = 0, we have 1/0​, which is undefined (∞).

• cosec 270° = 1/sin 270°
Since sin 270° = −1, we have 1/-1 = −1, which is defined.

• tan 0° = sin 0°/cos 0° = 0/1 = 0, which is defined.

• cot 90° = cos 90°/sin 90° = 0/1 = 0, which is defined.

Therefore, the trigonometric ratio that is undefined is sec 270°.

Question: Given that the diagonal of a square measures 10√2 units, find the area of the square in square units. 

Solution:
দেয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = 10√2 একক
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2 × বাহু

প্রশ্নমতে,
√2 × বাহু = 10√2
⇒ বাহু = 10√2/√2
∴ বাহু = 10 একক

এখন,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহুর দৈর্ঘ্য)² 
= (10)²
= 100 বর্গ একক

Question: The perimeter of a rectangular field is 80 meters. If the ratio of its length to its width is 5:3, what is the area of the field in square meters?

Solution:
ধরি,
আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 5x মিটার এবং প্রস্থ = 3x মিটার।
পরিসীমা, P = 80 মিটার

আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা, P = 2 × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
∴ 80 = 2 × (5x + 3x)
⇒ 80 = 2 × (8x)
⇒ 80 = 16x
⇒ x = 80/16
∴ x = 5

সুতরাং,
দৈর্ঘ্য = 5x = 5 × 5 = 25 মিটার
প্রস্থ = 3x = 3 × 5 = 15 মিটার

∴ ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= 25 × 15 বর্গ মিটার
= 375 বর্গ মিটার

অতএব, মাঠটির ক্ষেত্রফল = 375 বর্গ মিটার।

Question: A ladder leans against a vertical wall, making an angle of 30° with the ground. if the foot of the ladder is 15√3 meters away from the wall, what is the height on the wall reached by the ladder?

Solution:

ধরি, মইটি দেয়ালে যে উচ্চতায় পৌঁছায় = h মিটার
দেয়াল থেকে মইয়ের পাদদেশের দূরত্ব, BC = 15√3  
ভূমির সাথে যে কোণ তৈরি করে, ∠ACB = 30°

আমরা জানি,
tanθ = লম্ব/ভূমি
∴ tan 30° = AB/BC
⇒ 1/√3 = h/15√3
⇒ h√3 = 15√3
⇒ h = 15√3/√3
∴ h = 15 m

অতএব, মইটি দেয়ালের 15 m উচ্চতায় পৌঁছায়।

Question: A cube has a total surface area of 294 square meters. What is the volume of the cube?

Solution:
ধরি, ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার।

আমরা জানি,
ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 6a²

প্রশ্নমতে,
6a² = 294
⇒ a² = 294/6
⇒ a² = 49
∴ a = 7 মিটার

এখন,
ঘনকের আয়তন = a³
= 7³
= 343 ঘন মিটার

অতএব, ঘনকটির আয়তন = 343 ঘন মিটার।

Question: In a circle, if the inscribed angle on an arc is 35°, what is the measure of the central angle subtended by the same arc?
(কোন বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ 35° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ কত?)

Solution:
দেয়া আছে,
একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ = 35°
আমরা জানি,
কোন বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।

∴ কেন্দ্রস্থ কোণ = 2 × বৃত্তস্থ কোণ
=2 × 35°
=70°

অতএব, কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাপ 70°।

প্রশ্ন: If tan(θ + 15°) = √3, what is the value of sinθ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
tan(θ + 15°) = √3
⇒ tan(θ + 15°) = tan 60°
⇒ θ + 15° = 60°
⇒ θ = 60° - 15°
⇒ θ = 45°

এখন,
sinθ
= sin45°
= 1/√2

Question: An equilateral triangle has a perimeter of 30 meters. What is its area?

Solution:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 30 মিটার

সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য, a = পরিসীমা/3
= 30/3 মিটার
∴ a = 10 মিটার

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × (বাহুর দৈর্ঘ্য)²
= (√3/4) × 10² বর্গ মিটার
= (√3/4) × 100 বর্গ মিটার
= 100√3/4 বর্গ মিটার
= 25√3 বর্গ মিটার

অতএব, সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 25√3 বর্গ মিটার।

Question: If 2cos²θ + 5sinθ = 4 where 0° < θ < 90°, what is the value of cotθ ?

Solution:
দেওয়া আছে,
2cos²θ + 5sinθ = 4
⇒ 2(1 - sin²θ) + 5sinθ = 4 [cos²θ = 1 - sin²θ]
⇒ 2 - 2sin²θ + 5sinθ - 4 = 0
⇒ - 2sin²θ + 5sinθ - 2 = 0
⇒ 2sin²θ - 5sinθ + 2 = 0
⇒ 2sin²θ - 4sinθ - sinθ + 2 = 0
⇒ 2sinθ(sinθ - 2) -1(sinθ - 2) = 0
⇒ (sinθ - 2)(2sinθ - 1) = 0

যেহেতু sinθ এর সর্বোচ্চ মান 1, তাই sinθ = 2 অসম্ভব।
∴ 2sinθ - 1=0
⇒ sinθ = 1/2
⇒ sinθ = sin30°
∴ θ = 30°

অতএব, cotθ = cot30° = √3

Question: A 30-meter pole has fractured and bent over to make a 30° angle with the ground, remaining partially attached. How high from the base did it break?

Solution:

ধরি,
খুটিটি x মিটার উচুতে ভেঙ্গেছিল।
∴ অপর ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য = (30 - x) মিটার

এখন, 
sin θ = লম্ব/অতিভুজ
বা, sin θ = x/(30 - x)
বা, sin 30° = x/(30 - x)
বা, 1/2 = x/(30 - x)
বা, 2x = 30 - x
বা, 2x + x = 30
বা, 3x = 30
⇒ x = 10

∴ খুটিটি ভূমি থেকে 10 মিটার উচুতে ভেঙ্গেছিল।

Question: What is the radius of a circle if the length of its largest chord is 30 cm?

Solution:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা-এর দৈর্ঘ্য = 30 সে.মি.

আমরা জানি,
বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা হলো বৃত্তের ব্যাস।
এবং, বৃত্তের ব্যাস = 2 × ব্যাসার্ধ

∴ ব্যাসার্ধ = ব্যাস/2
= 30/2 সে.মি.
= 15 সে.মি.

অতএব, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ 15 সে.মি.

Question: Find the volume of a cylinder that is 14 cm tall with a base diameter of 6 cm.

Solution:
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারের উচ্চতা, h = 14 সে.মি.
সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাস = 6 সে.মি.
∴ সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ, r = 6/2 = 3 সে.মি.

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের আয়তন, V = πr²h
= π × 3² × 14
= π × 9 × 14
= 126π ঘন সে.মি.

অতএব, সিলিন্ডারটির আয়তন 126π ঘন সে.মি.

Question: If cotθ = 3/4, then secθ = ?

Solution:
দেওয়া আছে,
cotθ = 3/4 = ভূমি/লম্ব
∴ ভূমি = 3, লম্ব = 4

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
অতিভুজ = √(লম্ব² + ভূমি²)
= √(4² + 3²)
= √(16 + 9)
= √25
= 5

এখন,
secθ = অতিভুজ/ভূমি
∴ secθ = 5/3

Question:

Solution:

Question: Find the area of a triangle with side lengths of 5 meters, 6 meters, and 7 meters.

Solution:
দেওয়া আছে,
ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 5 মি., b = 6 মি. এবং c = 7 মি.

আমরা জানি,
ত্রিভুজের অর্ধপরিসীমা, s = (a + b + c)/2
= (5 + 6 + 7)/2
= 18/2
= 9 মি.

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √{s(s - a)(s - b)(s - c)}
= √{9(9 - 5)(9 - 6)(9 - 7)}
= √(9 × 4 × 3 × 2)
= √(36 × 6)
= 6√6 বর্গ মি.

অতএব, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 6√6 বর্গ মি.

Question: A rhombus has one diagonal of 16 centimeters and an area of 192 square centimeters. What is the length of the second diagonal?

solution:
দেওয়া আছে,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = 192 বর্গ সে.মি.
একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য, d₁ = 16 সে.মি.
ধরি, অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = d₂ সে.মি.

আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (1/2) × (কর্ণদ্বয়ের গুণফল)
∴ 192 = 1/2 × d₁ × d₂
⇒ 192 = 1/2 × 16 × d₂
⇒ 192 = 8 × d₂
⇒ d₂ = 192/8
∴ d₂ = 24 সে.মি.

অতএব, অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = 24 সে.মি.

Question: A person 1.5 meters tall sees the top of a building in a small mirror placed on the ground. The mirror is 2 meters away from the person's feet and 80 meters away from the base of the building. What is the height of the building?

Solution:

ধরি, মানুষের উচ্চতা, AB = 1.5 m
মানুষ এবং আয়নার দূরত্ব, BC = 2 m
ভবনের উচ্চতা, ED = h
ভবন এবং আয়নার দূরত্ব, CD = 80 m

আলোর প্রতিফলনের সূত্র অনুসারে, ∠ACB = ∠ECD (আপতন কোণ = প্রতিফলন কোণ)।
∴ ΔABC এবং ΔEDC সদৃশ।

সদৃশ ত্রিভুজের ধর্ম অনুসারে:
AB/ED = BC/CD
⇒ 1.5/h = 2/80
⇒ h × 2 = 1.5 × 80
⇒ 2h = 120
∴ h = 60 m

অতএব, ভবনটির উচ্চতা = 60 meters

Question: The volume of a cone is 300π cubic centimeters. If the radius of its base is 6 cm, what is the height of the cone?

solution:
দেওয়া আছে,
কোণকের আয়তন, V = 300π ঘন সে.মি.
ভূমির ব্যাসার্ধ, r = 6 সে.মি.
ধরি, কোণকের উচ্চতা = h সে.মি.

আমরা জানি,
কোণকের আয়তন, V = 1/3 × π × r² × h
∴ 300π = 1/3 × π × 6² × h
⇒ 300 = 1/3 × 36 × h (π উভয় পক্ষ থেকে বাদ দিয়ে)
⇒ 300 = 12h
⇒ h = 300 / 12
∴ h = 25 সে.মি.

অতএব, কোণকটির উচ্চতা = 25 সে.মি.

Question: How far apart are the centers of two circles with diameters of 16 cm and radii of 6 cm, when they touch each other externally? 

Solution:
আমরা জানি,
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব বৃত্ত দুইটির ব্যাসার্ধের যোগফলের সমান।

এখানে,
১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 16/2 = 8 সে.মি.
২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ৬ সে.মি.

∴ কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = (8 + 6) সে.মি.
= 14 সে.মি.

Question: Find the value of sin(5π/6).

Solution:
sin(5π/6)
= sin(π - π/6) [যেহেতু (π - θ) দ্বিতীয় চতুর্ভাগে পড়ে এবং দ্বিতীয় চতুর্ভাগে sin ধনাত্মক, তাই sin(π - θ) = sin θ]
= sin(π/6)
= sin(30°)
= 1/2

Question: The area of a circle is 49π cm². The circumference is equal to?

Solution:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = 49π সেমি²

আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

প্রশ্নমতে,
πr² = 49π
⇒ r² = 49
⇒ r = √49
∴ r = 7 সেমি

এখন, বৃত্তের পরিধি = 2πr
= 2π × 7
∴ পরিধি = 14π সেমি।

Question: An observer who is 1.8 meters tall is standing 20 meters away from a tower. If the angle of elevation from his eye to the top of the tower is 45°, what is the height of the tower?

Solution:

পর্যবেক্ষকের উচ্চতা, CD = 1.8 মিটার
এখানে, CD = EB
টাওয়ারের উচ্চতা = AB

এখন,
tan∠C = AE/CE
⇒ tan45° = AE/20
⇒ 1 = AE/20
∴ AE = 20

∴ AB = AE + BE
= 20 + 1.8
= 21.8 m

∴ টাওয়ারটির উচ্চতা 21.8 meters.

Question: A square and a circle have the same perimeter. The side length of the square is 11 cm. What is the area of the circle?

Solution:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 11 সে.মি.
∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4 × a
= 4 × 11
= 44 সে.মি.

প্রশ্নমতে,
বৃত্তের পরিধি = বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা
∴ 2πr = 44
⇒ 2 × (22/7) × r = 44
⇒ (44/7) × r = 44
⇒ r = 44 × (7/44)
∴ r = 7 সে.মি.

এখন,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
= (22/7) × 7²
= (22/7) × 49
= 22 × 7
= 154 বর্গ সে.মি.

অতএব, বৃত্তের ক্ষেত্রফল = 154 বর্গ সে.মি.

Question:

Solution: