প্রাইমারি শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি [লং কোর্স]

প্রশ্ন: দুজন সাইক্লিস্ট একসাথে একটি নির্দিষ্ট গন্তব্যে ভ্রমণ শুরু করে, একজনের বেগ ঘণ্টায় 4 কি.মি. এবং অপরজনের বেগ ঘণ্টায় 5 কি.মি.। একজন অপরজনের 30 মিনিট পর গন্তব্যে পৌঁছালে, গন্তব্যটির দূরত্ব কত?  

সমাধান: 
ধরি, দূরত্ব x কিমি 

প্রশ্নমতে
(x/4) - (x/5) = 1/2 [ 1 ঘণ্টা = 60 মিনিট]
⇒ (5x - 4x)/20 = 1/2
⇒ x/20 = 1/2 
∴ x = 10

প্রশ্ন: একটি বিদ্যালয়ে মোট বালকের সংখ্যা বালিকার সংখ্যা থেকে ২০% বেশি। মোট বালক এবং মোট বালিকার অনুপাত কত? 

সমাধান: 
ধরি,
মোট বালিকা = ১০০ জন 
মোট বালক = ১০০ + ১০০ এর ২০%
= ১০০ + ১০০ এর ২০/১০০
= ১০০ + ২০
= ১২০ জন 

মোট বালক এবং মোট বালিকার অনুপাত = ১২০ : ১০০
= ৬ : ৫

প্রশ্ন: ৩ : ৮ এবং ৬ : ৫ এর মিশ্র অনুপাত কোনটি? 

সমাধান: 
মিশ্র অনুপাত: একাধিক সরল অনুপাতের পূর্ব রাশিগুলোর গুণফলকে পূর্ব রাশি এবং উত্তর রাশিগুলোর গুণফলকে উত্তর রাশি ধরে প্রাপ্ত অনুপাতকে মিশ্র অনুপাত বলে।

৩ : ৮ এবং ৬ : ৫  সরল অনুপাতগুলোর মিশ্র অনুপাত হলো (৩ × ৬): (৮ × ৫) = ১৮ : ৪০ = ৯ : ২০

প্রশ্ন: ৪৪০ মিটার দীর্ঘ একটি ট্রেন ঘন্টায় ৪৮ কি.মি. বেগে চলে একটি প্লাটফর্ম ১ মিনিটে অতিক্রম করল । প্লাটফর্মের দৈর্ঘ্য কত ?

 সমাধান:
১ ঘন্টা বা ৬০ মিনিটে অতিক্রম করে ৪৮ কি.মি. বা ৪৮০০০ মিটার
∴ ১ মিনিটে অতিক্রম করে (৪৮০০০/৬০)= ৮০০ মিটার

∴ ট্রেন + সেতুর দৈর্ঘ্য = ৮০০
⇒ ৪৪০ + সেতুর দৈর্ঘ্য = ৮০০
∴ সেতুর দৈর্ঘ্য = ৮০০ - ৪৪০ = ৩৬০ মিটার

প্রশ্ন: মিরার বয়স অপুর বয়সের 4 গুণ। অপুর বর্তমান বয়স 4 বছর। যখন মীরার বয়স অপুর বয়সের দ্বিগুণ হবে তখন মীরার বয়স কত হবে?

সমাধান: 
অপুর বর্তমান বয়স 4 বছর হলে মীরার বর্তমান বয়স 16 বছর।
ধরি, x বছর পরে মীরার বয়স অপুর বয়সের দ্বিগুণ হবে।
প্রশ্নমতে,
2 × (4 + x) = 16 + x
8 + 2x = 16 + x
∴ x = 8

সুতরাং, যখন মীরার বয়স অপুর বয়সের দ্বিগুণ হবে, তখন মীরার বয়স হবে 16 + 8 = 24 বছর।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ১০। প্রত্যেক সংখ্যার সঙ্গে ৬ যোগ করলে সংখ্যা দুটির অনুপাত হয় ৫ : ১২। বৃহত্তম সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
মনে করি,
সংখ্যা দুটি ৩x এবং ১০x 

প্রশ্নমতে,
(৩x + ৬)/(১০x + ৬) = ৫/১২
⇒ ৫০x + ৩০ = ৩৬x + ৭২
⇒ ১৪x = ৪২
∴ x = ৩

বৃহত্তম সংখ্যাটি ১০x
= ১০ × ৩
= ৩০

প্রশ্ন: একটি বইয়ের পূর্বমূল্য ও বর্তমান মূল্যের অনুপাত ৪ : ৫ হলে শতকরা মূল্য কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান: 
ধরি,
বইয়ের পূর্বমূল্য = ৪ক টাকা
বইয়ের বর্তমান মূল্য = ৫ক টাকা
বইয়ের মূল্য বৃদ্ধি = ৫ক - ৪ক = ক টাকা

 অতএব, শতকরা মূল্য বৃদ্ধি = (ক/৪ক) × ১০০%
= ২৫%

প্রশ্ন: শতকরা বার্ষিক ৫ টাকা হার সরল সুদে ৬৪০ টাকার ২ বছর ৬ মাসের সুদ কত?

সমাধান: 
২ বছর ৬ মাস = (২ × ১২)মাস + ৬ মাস = (২৪ + ৬)মাস = ৩০ মাস 

১০০ টাকার ১২ মাসের সুদ = ৫ টাকা 
১ টাকার ১ মাসের সুদ = ৫/(১০০ × ১২) টাকা 
৬৪০ টাকার ৩০ মাসের সুদ = (৬৪০ × ৫ × ৩০)/(১০০ × ১২) টাকা 
= ৮০ টাকা

প্রশ্ন: ৬০ লিটার শরবতে পানি ও  চিনির অনুপাত ৭ : ৩। ঐ শরবতে আর কি পরিমাণ চিনি মিশালে অনুপাত ৩ : ৭ হবে?

সমাধান: 
শরবতে পানি ও চিনির অনুপাত = ৭ : ৩ 
অনুপাত দ্বয়ের সমষ্টি = ৭ + ৩ = ১০

শরবতে পানির পরিমাণ = ৬০ এর ৭/১০ = ৪২ লিটার 
শরবতে পানির পরিমাণ = ৬০ এর ৩/১০ = ১৮ লিটার

ধরি,
চিনি মিশাতে হবে = ক কেজি 

প্রশ্নমতে, 
৪২/(১৮ + ক) = ৩/৭
⇒ ৫৪ + ৩ক = ২৯৪
⇒ ৩ক = ২৯৪ - ৫৪ 
⇒ ৩ক = ২৪০
⇒ ক = ৮০ কেজি 

প্রশ্ন : ৮ : ৯ এর ব্যস্তানুপাত কত?

সমাধান : 
ব্যস্তানুপাত মানে বিপরীত অনুপাত।
সুতরাং ৮ : ৯ এর ব্যস্তানুপাত বা বিপরীত অনুপাত হবে = ৯ : ৮

প্রশ্ন: ৩৬ : ৪৯ দ্বিভাজিত অনুপাত কোনটি?

সমাধান: 
দ্বিভাজিত অনুপাত: কোন অনুপাতের পূর্ব ও উত্তর রাশির বর্গমূলের অনুপাতকে তার দ্বিভাজিত অনুপাত বলা হয়। 

∴ ৩৬ : ৪৯ দ্বিভাজিত অনুপাত =√৩৬ : √৪৯
= ৬ : ৭

প্রশ্ন: একই গতির দুটি ট্রেন বিপরীত দিক থেকে আসছে। ট্রেন দুটির দৈর্ঘ্য ১০০ মিটার। তারা পরস্পরকে ১০ সেকেন্ডে অতিক্রম করলে ট্রেন দুটির গতিবেগ কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
১ম ট্রেনের গতিবেগ + ২য় ট্রেনটির গতিবেগ = (দুইটি ট্রেনের মোট দৈর্ঘ্য) / অতিক্রমের সময়
বা, ২ × গতিবেগ = {(১০০ + ১০০)/১০০০)} / (১০/৩৬০০)
বা, ২ × গতিবেগ = ৭২ কি.মি./ঘণ্টা 
∴ গতিবেগ = ৩৬ কি.মি./ঘণ্টা 

∴ ট্রেন দুটির আলাদা নিজস্ব গতিবেগ ছিল = ৩৬ কি.মি./ঘণ্টা 

প্রশ্ন: এক ব্যক্তির মাসিক আয় ও ব্যয়ের অনুপাত ৫ : ৩ এবং তাঁর মাসিক সঞ্চয় ১০,০০০ টাকা হলে তিনি কত টাকা আয় করেন?

সমাধান:
মনে করি,
আয় ও ব্যয় যথাক্রমে ৫ক এবং ৩ক

শর্তমতে,
৫ক - ৩ক = ১০০০০
⇒ ২ক = ১০০০০
∴ ক = ৫০০০
∴ আয় = ৫ × ৫০০০ = ২৫০০০ টাকা

প্রশ্ন: x : y = 2 : 3 হলে, (2x - y) : (4y - 3x) =? 

সমাধান: 
x : y = 2 : 3
x/y = 2/3
x = 2y/3

(2x - y) : (4y - 3x) 
= (2x - y) / (4y - 3x) 
= {(4y/3) - y} / (4y - 2y)
= 1/3/2
= 1/6

(2x - y) : (4y - 3x) = 1 : 6

প্রশ্ন: ৩, ৬, ৭ এর চতুর্থ সমানুপাতী কত? 

সমাধান: 
১ম রাশি/ ২য় রাশি = ৩য় রাশি/ ৪র্থ রাশি 
⇒ ৩/৬ = ৭/৪র্থ রাশি 
⇒ ৪র্থ রাশি = (৭ × ৬)/৩
= ১৪ 

অতএব, চতুর্থ সমানুপাতী ১৪। 

প্রশ্ন: রাফি ও রনি যথাক্রমে ৩০০০০ টাকা ও ৫০০০০ টাকা নিয়ে একটি অংশীদারি ব্যবসা শুরু করে। ৬ মাস পর রাফি আরও ৪০০০০ টাকা দেয়। কিন্তু, রনি ১০০০০ টাকা তুলে নেয়। বছরের শেষে ৬১৭৫ টাকা লাভ হলে, রাফি কত টাকা পাবে?

সমাধান:
রাফি ও রনির লভ্যাংশের অনুপাত = {(৩০০০০ × ৬) + (৭০০০০ × ৬)} : {(৫০০০০ × ৬) + (৪০০০০ × ৬)}
= ৬০০০০০ : ৫৪০০০০
= ৬০ : ৫৪
= ১০ : ৯

∴ রাফি পাবে = ৬১৭৫ × (১০/১৯)
= ৩২৫০ টাকা

প্রশ্ন: ঢাকা থেকে মানিকগঞ্জ এর দূরত্ব ৬০ কি.মি.। একটি গাড়ি প্রতি ঘণ্টায় ৬ কি.মি. বেগে ঢাকা থেকে মানিকগঞ্জ যায়। ঢাকা থেকে মানিকগঞ্জ যেতে গাড়িটির যে সময় লাগে, মানিকগঞ্জ থেকে ঢাকায় ফিরতে এর চেয়ে ২ ঘণ্টা সময় বেশি লাগে। মানিকগঞ্জ থেকে ঢাকায় ফিরার সময় গাড়িটির বেগ কত ছিল?

সমাধান:
ঢাকা থেকে মানিকগঞ্জ যেতে সময় লাগে (৬০ ÷ ৬)  ঘণ্টা  = ১০ ঘণ্টা 
মানিকগঞ্জ থেকে ঢাকায় ফিরতে সময় লাগে (১০ + ২)  ঘণ্টা = ১২ ঘণ্টা 

মানিকগঞ্জ থেকে ঢাকায় ফিরতে বেগ প্রতি ঘণ্টায় (৬০ ÷ ১২) কি.মি. = ৫ কি.মি.