৪৯তম বিসিএস ⎯ ফলিত গণিত [৫৬১]

The famous novel, The Bluest Eye, is written by - American author.

• The Bluest Eye:
- এটি Toni Morrison রচিত।
- এটি একটি novel.
- এটি ১৯৭০ সালে প্রকাশিত হয়।

• Toni Morrison ছিলেন একজন আমেরিকান Novelist, essayist এবং Editor.
- তাছাড়া তিনি Princeton University এর প্রফেসর ছিলেন।

তাঁর উল্লেখযোগ্য সাহিত্যকর্ম গুলো -
- Beloved,
- Song of Solomon,
- The Bluest Eye.

Source: Britannica.

বাংলাদেশের তত্ত্বাবধায়ক সরকার:
- বাংলাদেশের তত্ত্বাবধায়ক সরকার বাংলাদেশের একপ্রকারের শাসন ব্যবস্থা, যার অধীনে দুইটি নির্বাচিত সরকারের মধ্যবর্তী সময়কালে সাময়িকভাবে অনির্বাচিত ব্যক্তিবর্গ কোন দেশের শাসনভার গ্রহণ করে থাকে।
- বিএনপি সরকারের পদত্যাগের পর ১৯৯৬ সালে ত্রয়োদশ সংশোধনের মাধ্যমে সংবিধানে যোগ হয় তত্ত্বাবধায়ক সরকার পদ্ধতি।
- এই সংশোধনীর মাধ্যমে ১৯৯৬ সালে সাংবিধানিকভাবে তত্ত্বাবধায়ক সরকার ব্যবস্থা চালু হয়।
- বিচারপতি মুহাম্মদ হাবিবুর রহমান ছিলেন সেই তত্ত্বাবধায়ক সরকারের প্রধান উপদেষ্টা।
- উপদেষ্টা পরিষদের বাকিরা হলেন: ব্যারিস্টার সৈয়দ ইশতিয়াক আহমেদ, ড. মুহাম্মদ ইউনূস, অর্থনীতিবিদ ড. ওয়াহিদউদ্দিন মাহমুদ, অধ্যাপক মো. শামসুল হক, অধ্যাপক জামিলুর রেজা চৌধুরী, শেগুফতা বখত চৌধুরী, এ জেড এম নাছিরুদ্দিন, সৈয়দ মঞ্জুর এলাহী, অধ্যাপক নাজমা চৌধুরী ও মেজর জেনারেল (অব.) আব্দুর রহমান খান।
- এই তত্ত্বাবধায়ক সরকার মোট ৮৬ দিন ক্ষমতায় ছিল। এই সরকার ১৯৯৬ সালের ১২ জুন জাতীয় সংসদের নির্বাচনের তারিখ ঘোষণা করেন।
- অবশেষে বিপুল উৎসাহ ও উদ্দীপনা মধ্য দিয়ে ১৯৯৬ সালের ১২ জুন তত্ত্বাবধায়ক সরকারের অধীন প্রথম সপ্তম জাতীয় সংসদ নির্বাচন অনুষ্ঠিত হয়।

উল্লেখ্য,
- ১৯৯০ সালে সেনাশাসক হুসেইন মুহম্মদ এরশাদের পতনের পর জাতীয় নির্বাচন আয়োজন পর্যন্ত দায়িত্ব পালনের জন্য গঠন করা হয়েছিল নির্দলীয় প্রথম অন্তর্বর্তীকালীন সরকার।
- প্রধান বিচারপতি শাহাবুদ্দিন আহমেদের নেতৃত্বে ঐ সরকার গঠিত হয়েছিল।

এছাড়াও,
- ৩০ জুন, ২০১১ সালে পঞ্চদশ সংশোধনীর মাধ্যমে বাংলাদেশের সংবিধান থেকে 'তত্ত্বাবধায়ক সরকার ব্যবস্থা' বাতিল করা হয়।

উৎস: ইতিহাস ২য় পত্র, এইচএসসি প্রোগ্রাম, বাংলাদেশ উন্মুক্ত বিশ্ববিদ্যালয়।

তিস্তা মহাপরিকল্পনা:
- তিস্তা মহাপরিকল্পনা বাস্তবায়নে সহায়তা করবে চীন।

⇒ তিস্তা প্রকল্পের প্রথম পর্যায় বাস্তবায়নে ব্যয় হবে ৭৫ কোটি ডলার। এর মধ্যে চীন থেকে ঋণ চাওয়া হয়েছে ৫৫ কোটি ডলার। বাকিটা করা হবে সরকারি অর্থায়নে।
- চীনের রাস্ট্রদূত জানান, তিস্তা প্রকল্পের বিষয়টিতে অর্থ মন্ত্রণালয়ের অর্থনৈতিক সম্পর্ক বিভাগের (ইআরডি) সঙ্গে তারা কাজ করছেন।
- চীনের বিশেষজ্ঞ দল তিস্তা প্রকল্পের সম্ভাবনা যাচাই শেষে অক্টোবর, ২০২৫-এর মধ্যে তিস্তা মহাপরিকল্পনার ডিজাইন চূড়ান্ত হবে।
- ২০২৬ সালে এ প্রকল্পের কাজ শুরু করে ২০২৯ সালে শেষ করার লক্ষ্যমাত্রা নির্ধারণ করা হয়েছে।
- মহাপরিকল্পনায় তিস্তা নদীর ডান-বাম উভয় তীর ঘেঁষে ২২০ কিলোমিটার উঁচু গাইড বাঁধ, রিভার ড্রাইভ, হোটেল-মোটেল-রেস্তোরাঁ, পর্যটন কেন্দ্র, ১৫০ মেগাওয়াট সৌর বিদ্যুতকেন্দ্র, শিল্প-কারখানা, ইপিজেড, ইকোনমিক জোন, কয়েক লাখ হেক্টর কৃষি জমি উদ্ধার, বনায়ন ইত্যাদি রয়েছে।
- এ প্রকল্প বাস্তবায়ন হলে তিস্তা পাড় হয়ে উঠবে পূর্ব চীনের জিয়াংসু প্রদেশের সুকিয়ান সিটির মতো সুন্দর নগরী।

উৎস: i) প্রথম আলো।
ii) দৈনিক ইনকিলাব।

ড্রাগন ফল উৎপাদন:
- কৃষি সম্প্রসারণ অধিদপ্তরের তথ্য অনুযায়ী, ড্রাগন উৎপাদনের শীর্ষে আছে ঝিনাইদহ জেলা।
- ২০২৪-২৫ অর্থবছরে উৎপাদন হয় ৩২ হাজার ৭৬৮ মেট্রিক টন ড্রাগন।

• উৎপাদনের ২য় স্থানে রয়েছে যশোর। ২০২৪-২৫ অর্থবছরে উৎপাদন হয় ১২ হাজার ৫৫৩ মেট্রিক টন ড্রাগন। আর তৃতীয় শীর্ষ জেলা রাজশাহীতে উৎপাদন হয় ৪ হাজার ৪৭৭ মেট্রিক টন ড্রাগন।

⇒ ড্রাগন ফল মূলত আমেরিকার প্রসিদ্ধ একটি ফল যা বর্তমানে আমাদের দেশেও ব্যাপক জনপ্রিয়তা অর্জন করেছে। বাংলাদেশে সর্বপ্রথম ২০০৭ সালে থাইল্যান্ড, ফ্লোরিডা ও ভিয়েতনাম থেকে এই ফলের বিভিন্ন জাত আনা হয়। ড্রাগন ফলের গাছ এক ধরনের ক্যাকটাস জাতীয় গাছ। এই গাছের কোন পাতা নেই। ড্রাগন ফলের গাছ সাধারনত ১.৫ থেকে ২.৫ মিটার পর্যন্ত লম্বা হয়ে থাকে।

⇒ বর্তমানে বাংলাদেশ কৃষি গবেষণা ইন্সিটিউট (বারি) কতৃক উদ্ভাবিত ড্রগন ফলের নতুন জাতটি হলো বারি ড্রাগন ফল-১ যা দক্ষিণ -পূর্ব এশিয়াতে জনপ্রিয় ফল। এ ফলের আকার বড়, পাকলে খোসার রং লাল হয়ে যায় ,শাঁস গাঢ় গোলাপী রঙের, লাল ও সাদা এবং রসালো প্রকৃতির । ফলের বীজগুলো ছোট ছোট কালো ও নরম । একটি ফলের ওজন ১৫০ গ্রাম থেকে ৬০০ গ্রাম পর্যন্ত হয়ে থাকে।

উৎস: i) প্রথম আলো।
ii) কৃষি বাতায়ন।

OIC:
- ইসলামিক সহযোগিতা সংস্থা OIC.
- OIC এর পূর্ণরূপ The Organisation of Islamic Cooperation.
- ইসরাইল কর্তৃক আল আকসা মসজিদে আগুন ধরিয়ে দেওয়ার প্রেক্ষাপটে OIC গঠিত হয়।
- এটি মুসলিম দেশগুলোর একটি রাজনৈতিক জোট যা রাবাত সম্মেলনের মাধ্যমে গঠিত হয়।
- প্রতিষ্ঠার স্থান: মরক্কো।
- প্রতিষ্ঠিত হয়: ২৫ সেপ্টেম্বর, ১৯৬৯ সালে।
- সদর দপ্তর: জেদ্দা, সৌদি আরব।
- বর্তমান মহাসচিব: হুসাইন ইব্রাহিম তাহা (১২ তম)। (অক্টোবর, ২০২৫)
- মহাসচিবের মেয়াদ: ৫ বছর।
- অফিসিয়াল ভাষা: তিনটি (আরবি, ইংরেজি, ফ্রেঞ্চ)।
- বর্তমান সদস্য: ৫৭টি। (অক্টোবর, ২০২৫)

⇒ দক্ষিণ আমেরিকা অঞ্চলের দুটি দেশ OIC এর সদস্য।
• গায়ানা ও
• সুরিনাম।

- ইউরোপ মহাদেশের আলবেনিয়া OIC এর সদস্য।
- বাংলাদেশ ১৯৭৪ সালের ২২-২৪ ফেব্রুয়ারি পাকিস্তানের লাহোরে অনুষ্ঠিত OIC এর দ্বিতীয় শীর্ষ সম্মেলনে সর্বপ্রথম অংশগ্রহণ করে।

তথ্যসূত্র - OIC অফিসিয়াল ওয়েবসাইট।

কার্টাগেনা প্রটোকল (Cartagena Protocol):
- কার্টাগেনা প্রোটকলের পূর্ণনাম - The Cartagena Protocol on Biosafety to the Convention on Biological Diversity.
- কার্টাগেনা প্রটোকল জৈব-নিরাপত্তা বিষয়ক একটি আন্তর্জাতিক চুক্তি।
- এই চুক্তিটি কলম্বিয়ার কার্টাগেনাতে আলোচিত হয়।
- চুক্তি অনুমোদন - ২৯ জানুয়ারি, ২০০০ সাল।
- চুক্তি কার্যকর - ১১ সেপ্টেম্বর, ২০০৩ সাল।

তথ্যসূত্র - কনভেনশন অন বায়ো-ডাইভার্সিটি (CBD) ওয়েবসাইট।

জাতিসংঘ:
- জাতিসংঘের অর্থনৈতিক ও সামাজিক কমিশন (ECOSOC) এর অধীন ৫টি আঞ্চলিক কমিশন রয়েছে।

⇒ এগুলো হলো:
- এশিয়া ও প্রশান্ত মহাসাগরীয় অর্থনৈতিক ও সামাজিক কমিশন (ESCAP),
- পশ্চিম এশীয় অর্থনৈতিক ও সামাজিক কমিশন (ESCWA),
- ল্যাটিন আমেরিকা ও ক্যারিবীয় অর্থনৈতিক কমিশন (ECLAC),
- ইউরোপিয়ান অর্থনৈতিক কমিশন (ECE),
- আফ্রিকান অর্থনৈতিক কমিশন (ECA).

তথ্যসূত্র - UN ওয়েবসাইট।

ইউরোপীয় ইউনিয়ন (EU):
- বিশ্বের সবচেয়ে বড় অর্থনৈতিক জোট ইউরোপীয় ইউনিয়ন (EU)।
- এর সদর দপ্তর বেলজিয়ামের ব্রাসেলসে অবস্থিত।
- প্রতিষ্ঠাতা সদস্য: ৬টি দেশ।
- বেলজিয়াম, ফ্রান্স, জার্মানি, ইতালি, লুক্সেমবার্গ, নেদারল্যান্ডস।
- বর্তমান সদস্য: ২৭টি দেশ। (অক্টোবর, ২০২৫)
- সর্বশেষ সদস্য: ক্রোয়েশিয়া। (অক্টোবর, ২০২৫)
- সর্বশেষ ত্যাগকারী: ব্রিটেন (৩১ জানুয়ারি, ২০২০)।
- এটি ১৯৯৩ সালের ১ নভেম্বরে মাসট্রিচট চুক্তি স্বাক্ষরের মাধ্যমে প্রতিষ্ঠিত হয়েছিল।
- তখন থেকে এটি বিশ্বের বৃহত্তম ট্রেডিং ব্লকে পরিণত হয়।

তথ্যসূত্র - EU ওয়েবসাইট।

‘অপারেশন রাইজিং লায়ন':
- ইসরায়েল কর্তৃক ইরানে চালানো সামরিক অভিযানটির নাম 'অপারেশন রাইজিং লায়ন'।
- 'রাইজিং লায়ন' নামটি বাইবেলের একটি অনুচ্ছেদে সিংহের প্রতীকী পরাক্রমকে তুলে ধরে, ইসরায়েলের যুদ্ধ প্রস্তুতি এবং আত্মবিশ্বাসের প্রতীক।
- ১৩ জুন ২০২৫-এর ভোরে ইসরায়েলি বিমান বাহিনী ও গোয়েন্দা সংস্থা মোসাদ যৌথভাবে 'অপারেশন রাইজিং লায়ন' পরিচালনা করে।
- ইসরায়েল প্রথমে 'ড্রোন' দ্বারা ইরানের আকাশ প্রতিরক্ষা ব্যবস্থা দুর্বল করা, এরপর প্রধান পারমাণবিক ও সামরিক লক্ষ্যবস্তুতে বিমান হামলা করে।

উল্লেখ্য:
- এই হামলার জবাবে ইরান পাল্টা হামলা চালায়।
- এই হামলার নাম দেয়া হয় 'অপারেশন টু প্রমিজ থ্রি’।
- ইরান পাল্টা জবাবে শতাধিক ক্ষেপণাস্ত্র ও ড্রোন ছুড়ে।

তথ্যসূত্র - পত্রিকার রিপোর্ট।

IUCN:
- বিশ্ব জীববৈচিত্র্য সংরক্ষণবাদী সংস্থা (IUCN)।
- IUCN এর পূর্ণরূপ - International Union for the Conservation of Nature.
- প্রতিষ্ঠিত হয়: ১৯৪৮ সালে।
- সদর দপ্তর: গ্লান্ড, সুইজারল্যান্ড।
- এটি নিয়ে বিশ্বের ১৭০ টির অধিক দেশ কাজ করছে।
- উদ্দেশ্য: বিশ্বব্যাপী প্রাকৃতিক সম্পদ সংরক্ষণ করা।

তথ্যসূত্র - IUCN অফিসিয়াল ওয়েবসাইট।

IMF:
- IMF এর পূর্ণরূপ The International Monetary Fund.
- এটি আন্তর্জাতিক মুদ্রা তহবিল।
- প্রতিষ্ঠিত হয়: ১৯৪৪ সাল।
- সদর দপ্তর: ওয়াশিংটন ডিসি, যুক্তরাষ্ট্র।
- প্রতিষ্ঠাতা সদস্য: ৪৪টি।
- বর্তমান সদস্য: ১৯১টি। (অক্টোবর, ২০২৫)
- সর্বশেষ সদস্য: লিচেনস্টাইন। (অক্টোবর, ২০২৫)
- বর্তমান ব্যবস্থাপনা পরিচালক: ক্রিস্টালিনা জর্জিয়েভা। (অক্টোবর, ২০২৫)
- বাংলাদেশ সদস্যপদ লাভ করে: ১৯৭২ সালে।

তথ্যসূত্র - IMF অফিসিয়াল ওয়েবসাইট।

প্রশ্ন: P হচ্ছে Q এর পিতা কিন্তু Q, P এর ছেলে নয়। তাদের সম্পর্কটা কোন ধরনের?

সমাধান:
যেহেতু, P হচ্ছে Q এর পিতা কিন্তু Q, P এর ছেলে নয় সুতরাং Q হলো মেয়ে এবং P হচ্ছে পিতা।

সুতরাং, তাদের সম্পর্কটা মেয়ে-পিতা।

প্রশ্ন: নিচের চিত্রে কয়টি ত্রিভুজ আছে?

সমাধান:

একটি করে ফাঁকা ঘর নিয়ে ত্রিভুজ আছে - 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 = ৮ টি
দুইটি করে ফাঁকা ঘর নিয়ে ত্রিভুজ আছে - 12, 34, 56, 78, 67, 58 = ৬ টি
চারটি করে ফাঁকা ঘর নিয়ে ত্রিভুজ আছে - 1267, 3456 = ২টি
সবগুলো ফাঁকা ঘর নিয়ে ত্রিভুজ আছে - 12345678 = ১ টি

সুতরাং, মোট ত্রিভুজ আছে = ৮ + ৬ + ২ + ১ = ১৭ টি

প্রশ্ন: একটি পানি ভর্তি বালতির ওজন ১৪ কেজি। বালতিটি অর্ধেক পানি পূর্ণ থাকলে তার ওজন হয় ৮ কেজি। খালি বালতির ওজন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পানি ভর্তি বালতির ওজন = ১৪ কেজি
অর্ধেক পানি ভর্তি বালতির ওজন = ৮ কেজি
​
​অর্ধেক বালতি পানির ওজন = (১৪ - ৮) কেজি = ৬ কেজি
∴ ​পূর্ণ বালতি পানির ওজন = (৬ × ২) কেজি = ১২ কেজি
​
​আবার,
​পূর্ণ বালতি পানির ওজন + খালি বালতির ওজন = ১৪ কেজি
⇒ ​খালি বালতির ওজন = ১৪ - ​পূর্ণ বালতি পানির ওজন
​⇒ ​খালি বালতির ওজন = ১৪ - ১২ = ২ কেজি

প্রশ্ন: যদি ORANGE = SVERKI হয় তবে GRAPES = ?

সমাধান:
​যদি ORANGE = SVERKI হয় তবে GRAPES = KVETIW
​
​ORANGE শব্দটির বর্ণগুলো থেকে 4 ধাপ এগিয়ে পাওয়া যায়,
O(15) + 4 → S(19)
​R(18) + 4 → V(22)
​A(1) + 4 → E(5)
​N(14) + 4 → R(18)
​G(7) + 4 → K(11)
​E(5) + 4 → I(9)

​অনুরূপভাবে,
GRAPES শব্দটির বর্ণগুলো থেকে 4 ধাপ এগিয়ে গেলে KVETIW শব্দটি পাওয়া যায়। অর্থাৎ,
​G(7) + 4 → K(11)
​R(18) +4 → V(24)
​A(1) + 4 → E(5)
​P(16) + 4 → T(20)
​E(5) + 4 → I(9)
​S(19) + 4 → W(23)
​
অর্থাৎ নির্ণেয় শব্দটি হবে KVETIW

প্রশ্ন: যদি 7 + 3 = 410, 3 + 2 = 15, 6 + 5 = 111 হয়, তবে 8 + 4 = ?

সমাধান:
এখানে
7 + 3 = 410 ⇒ 7 - 3 = 4, 7 + 3 = 10
3 + 2 = 15 ⇒ 3 - 2 = 1, 3 + 2 = 5
6 + 5 = 111 ⇒ 6 - 5 = 1, 6 + 5 = 11

একইভাবে,
8 - 4 = 4, 8 + 4 = 12
সুতরাং, 8 + 4 = 412

প্রশ্ন: A দক্ষিণ দিকে মুখ করে ৪ কি. মি. হাঁটার পর বামদিকে ঘুরল এবং ৫ কি. মি. হাঁটল। আবার ডানদিকে ঘুরে ৮ কি. মি. হাঁটল। এখন যাত্রার স্থান থেকে সরাসরি দূরত্ব কত?

সমাধান:
প্রদত্ত তথ্যগুলোকে চিত্রের মাধ্যমে সাজিয়ে পাই,

এখন, উত্তর-দক্ষিণ দিকে- শুরুতে ৪ কি.মি. দক্ষিণ + পরে আরও ৮ কি.মি. দক্ষিণ = মোট ১২ কি.মি. দক্ষিণ
পূর্ব-পশ্চিম দিকে: শুধু পূর্ব দিকে ৫ কি.মি.

∴ সরাসরি দূরত্ব = √(১২^২ + ৫^২) = √(১৪৪ + ২৫)
= √১৬৯
= ১৩ কি.মি.

প্রশ্ন: (A) চিত্রটির আয়নায় প্রতিবিম্ব কেমন হবে?

সমাধান:


সুতরাং, সঠিক উত্তর (2) নং

Lami’s theorem applies to three concurrent, coplanar forces in equilibrium. Each force is proportional to the sine of the angle between the other two:

Equilibrium means the vector sum = 0. Graphically, this is represented by a closed force polygon.

Take moments about left: R_B​⋅8=100⋅2⇒R_B​=25. Then R_A​=100−25=75.

Force triangle → Law of Sines.

A couple consists of two equal and opposite forces whose lines of action do not coincide.
Because the forces are equal and opposite, their linear effects cancel each other — the net force is zero.
However, the forces create a turning effect (torque or moment), which is independent of the reference point. This is because the torque of a couple depends only on the magnitude of the forces and the perpendicular distance between them, not on the location of the pivot.
Why other options are wrong:

A) Wrong — A couple does not produce translation (linear acceleration), only rotation.
B) Wrong — The moment of a couple is the same about any point in the plane of the forces.
D) Wrong — A couple cannot be replaced by a single force; it is inherently a pure moment.

A) Maximum potential energy → unstable equilibrium.
B) Moves further away → unstable equilibrium.
D) No change in potential energy → asymptotic or astatic/neutral equilibrium.
Key Takeaway: Stable equilibrium always has restoring forces, minimum potential energy, and resists small displacements.

No slope in PE → no restoring or disturbing force → neutral/asstatic equilibrium.

Rod is supported → slight vertical displacement → restoring force from supports → stable.

At equilibrium, virtual work = 0 for any allowed virtual displacement, not just actual motion.
Options C and D confuse virtual work with stability tendency.

Equal inclination with x and y → cosα=cosβ=1/√2​, cosγ=0.
So, F_x​=20/√2​=10√2, F_y​=20/√2​=10√2, F_z​=0.

The centroid of a solid cone is located along its axis, at a distance 3h/8 from the base

Each rod’s CG is at its midpoint. By using the weighted average (both rods have same mass per unit length), the overall CG is at (a/2,b/2).

Velocity is maximum at mean position,
acceleration is zero there;
acceleration is maximum at extremes.

Total energy E=1​/2kA² remains constant; kinetic and potential energies interchange.

ω=2π/T=2π/0.5=4π rad/s.
a_max​=ω²A=(4π)²⋅0.05= 0.8π² m/s²

Zero velocity → extremes → time between zeros = half period → full period = 2 s.

Damping reduces maximum amplitude; amplitude also depends on the driving force magnitude

At an apse, the orbiting body moves perpendicular to the radius vector, so the radial component of velocity is zero, but tangential velocity is maximum at periapsis.

Only at low Reynolds number (small spheres or slow speed), drag ∝ v and depends on viscosity and radius.

Velocity is tangent to trajectory at any instant.

The exponential behavior suits diffusion, heat, and Laplace’s equation in cylindrical geometries.

This is a fundamental property from Rodrigues’ formula.

Recurrence connects neighboring polynomials, but orthogonality still holds for m≠n, so integral is 0.

Put n=2 in

For azimuthal symmetry, the angular part of Laplace’s equation reduces to Legendre’s equation.

f(x)=x is an odd function (f(−x)=−f(x)), so its Fourier series contains only sine terms.

Dirichlet’s theorem states that these three conditions guarantee convergence. Continuity everywhere is not required; piecewise continuity is sufficient, and odd/even symmetry is optional.

Since −∣x−y∣≤0, the distance is always non-positive. This violates non-negativity.

(a) false in general, only true in Rⁿ.
(b) true in any metric space.
(c) false in general, true only in compact spaces.
(d) only true if the space is complete.

In discrete metric, distance between distinct points is 1.
So for convergence, after some point, all terms must be exactly the same → eventually constant.
(a) False: not every sequence converges (e.g. x_n​=n with distinct terms never converges).
(b) True: exactly describes the condition.
(c) False: some sequences (like constant ones) converge.

Cantor set = closed, compact, perfect, nowhere dense.
It is uncountable, not finite.

A) True, but D is more precise and harder; D explicitly mentions all accumulation points equal L, which is the formal property.
B) True for 1, but the bound “1” is arbitrary, doesn’t capture convergence fully.
C) Not necessarily true; a convergent sequence need not be monotone.
D) Correct: Every convergent sequence is bounded, and its only accumulation point is its limit. This is a more advanced understanding of convergence.

A) nsin(n) → unbounded, since ∣n sin(n)∣≤n → grows indefinitely
B) (−1)ⁿ → oscillates between -1 and 1 → bounded
C) ln(n)→∞ → unbounded
D) n²→∞ → unbounded

Sequence oscillates between values near -1 and 1 → bounded
Does not settle → not convergent → not Cauchy

• A) x²sin(1/x) → as $x\to 0$, x2sin⁡(1/x)→0, so continuous at 0 (removable discontinuity if defined properly).

• B) $|x|$ → continuous everywhere.

• C) 3/x² → undefined at x=0 discontinuous.

• D) xln⁡(1+∣x∣) as x→0, xln⁡(1+∣x∣)→continuous at 0.

• Right-hand derivative: f+′(0)=cos⁡0=1
  

• Left-hand derivative: f−′(0)=1f−′​(0)=1

• Both are equal → derivative exists, f′(0)=1

Differentiability ⇒ Continuity, but the converse is not always true (e.g., ∣x∣ is continuous but not differentiable at 0).

Along y=0, limit = 1. Along x=0, limit = –1. Different values ⇒ limit does not exist.

Treat x as constant, derivative of a^y=a^ylna

Many-valued functions (like √z​, logz) can give multiple values for the same z.
Restricting it to give only one value defines a branch.

• Along x-axis ($y=0$): zˉ2z=x2x=x→0

• Along y-axis ($x=0$): zˉ2z=(−iy)2iy=−y2iy=iy→0
  

• Limit depends on path → does not exist.

Function: f(z)=ez,  z=x+iy

Step 1: Write in terms of x and y:

ez=ex+iy=ex(cos⁡y+isin⁡y
So u=excos⁡y,  v=exsin⁡y

Step 2: Check Cauchy-Riemann equations:

ux=excos⁡y=vy,uy=−exsin⁡y=−vx
Satisfied

Solve $w=(3z+2)/(z+1)$ → $z=(w-2)/(3-w)$.

• Mobius transformations are conformal, preserving angles, but not necessarily distances or areas.

• So B is correct, others are false.

This is the Identity Theorem.

This is exactly the statement of Morera’s theorem.

• Singularities occur where denominator is zero: z2+1=0⇒z=±i.

• Taylor series around z=0 converges up to the nearest singularity, ∣z∣<1.

• Open mapping theorem applies everywhere $f$ is analytic; no violation.

• The annulus between singularities z=1 and z=3 allows a Laurent series expansion about z=1.

• Both positive and negative powers are needed (principal part handles the pole at z=1).

• Check ∣g(z)∣<∣f(z)∣ on ∣z∣=2:
  ∣g(z)∣≤3⋅23+1=25<∣f(z)∣=32
  

• So Rouche’s theorem applies.

Transcendental equation; derivative available; fast convergence using Newton-Raphson.

 Newton-Raphson works for any differentiable function, linear or nonlinear.

• For f1(x,y)=x2+y2−10:
  ∂f1∂x=2x,  ∂f1∂y=2y
  

• For f2(x,y)=xy−3:
  ∂f2∂x=y,  ∂f2∂y=x
  

• So,

J=[2x2yyx]

Non-linear system → iterative method like Newton-Raphson is needed.

• Trapezoidal rule error is O(h2)
  

• Simpson’s 1/3 rule error is O(h4)
  

• Hence, Simpson’s 1/3 rule is more accurate for the same interval partition.

Direct methods compute the exact solution (ignoring rounding errors) without iteration; Jacobi and Gauss-Seidel are iterative.

• • Central difference formula cancels out odd terms in Taylor expansion.

  • Hence, error is proportional to h2, making it more accurate than forward/backward differences (O(h).

Taylor’s method approximates y(x+h) by expanding about $x$:

y(x+h)=y(x)+hy′(x)+h22!y′′(x)+⋯where derivatives are obtained from the differential equation y′=f(x,y).

aylor → based on repeated differentiation.
Picard → based on successive integration using the function form.

Picard’s successive approximations converge to the exact solution as the iteration count → ∞ (under Lipschitz conditions).

By interpolation:

s=s1+(s2−s1)(1−0.84)1.68−0.84=1.19

Velocity changes with position → non-uniform; no time dependence → steady.

• Steady (no time dependence).

• Vorticity ∇×q⃗=0 → irrotational.

• Divergence 2+2−4=0 → incompressible.

ωx=ωy=0,ωz=∂v/∂x−∂u/∂y=1−(−1)=2

Continuity: A1q1=A2q2⇒q2=A1A2q1=0.030.01⋅4=12 m/s

• Lamb’s form splits convective term: (q⃗⋅∇)q⃗=∇(q2/2)+ω⃗×q⃗​

• Useful for rotational flow analysis.

 ψ=xy, the velocity components are:

u=∂ψ∂y=x,v=−∂ψ∂x=−y

Standard relation in 2D polar coordinates.

Sink draws fluid inward; negative radial velocity, tangential velocity zero.

A source emits fluid radially outward. The complex potential is $.$

By definition, a stagnation point is where the fluid velocity is zero.

Kelvin’s theorem applies to ideal, barotropic fluids with conservative body forces: DΓDt=0.

By Stokes’ theorem, circulation equals the surface integral of vorticity over the area bounded by the curve.