প্রাইমারি শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি [লং কোর্স]

প্রশ্ন: যদি a সংখ্যক সংখ্যার গড় m এবং b সংখ্যক সংখ্যার গড় n হয় তবে সবগুলো সংখ্যার মোট গড় কত?

সমাধান: 
a সংখ্যক সংখ্যার গড় m
a সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি = am

b সংখ্যক সংখ্যার গড় n
b সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি = bn 

∴ সবগুলো সংখ্যার মোট গড় = (am + bn)/(a + b)

প্রশ্ন: (০.৫ × ০.০৬ × ০.০০৭)/০.০০৩ = কত?

সমাধান:
(০.৫ × ০.০৬ × ০.০০৭)/০.০০৩
= ০.০০০২১/০.০০৩
= ০.০৭

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪ এবং তাদের গ.সা.গু ৪ হলে সংখ্যা দুটির ল.সা.গু কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪

মনে করি,
একটি সংখ্যা ৩ক এবং
অপর সংখ্যাটি ৪ক

সংখ্যা দুটির গ.সা.গু = ক এবং ল.সা.গু = ১২ক

শর্তমতে,
ক = ৪

সংখ্যা দুটির ল.সা.গু = ১২ক
= ১২ × ৪ = ৪৮

প্রশ্ন: ২/৫ এর লব এবং হরের সাথে কোন একই সংখ্যা যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান ৫/৬ হয়?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
(২ + ক)/(৫ + ক) = ৫/৬
⇒ ১২ + ৬ক = ২৫ + ৫ক
⇒ ৬ক - ৫ক = ২৫ - ১২
∴ ক = ১৩

প্রশ্ন: ১১টি সংখ্যার গড় ৩০। প্র্রথম পাঁচটি সংখ্যার গড় ২৫ ও শেষ পাঁচটি সংখ্যার গড় ২৮ । ষষ্ঠ সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
১১টি সংখ্যার গড় ৩০
১১টি সংখ্যার সমষ্টি = ৩০ × ১১
= ৩৩০ 

প্র্রথম পাঁচটি সংখ্যার গড় ২৫ 
প্র্রথম পাঁচটি সংখ্যার সমষ্টি = ২৫ × ৫  = ১২৫

শেষ পাঁচটি সংখ্যার গড় ২৮
শেষ পাঁচটি সংখ্যার সমষ্টি = ২৮ × ৫  = ১৪০

দশটি সংখ্যার সমষ্টি = ১২৫ + ১৪০ = ২৬৫

ষষ্ঠ সংখ্যাটি = ৩৩০ - ২৬৫
= ৬৫

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৯০ হতে যত বড় ১৫০ হতে ততো ছোট, সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি ক

∴ ক - ৯০ = ১৫০ - ক
বা, ২ক = ২৪০
∴ ক = ১২০

প্রশ্ন: কোনো ক্ষুদ্রতম সংখ্যা থেকে ৫ বিয়োগ করলে বিয়োগফল ৬ এবং ১০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
৬ = ২ × ৩
১০ = ২ × ৫

৬ ও ১০ এ ল.সা.গু. = ২ × ৩ × ৫ = ৩০

সুতরাং, নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = (৩০ + ৫) = ৩৫

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা?

সমাধান: 
মূলদ সংখ্যা: যেসব সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় যেখানে p, q স্বাভাবিক সংখ্যা এবং q ≠ 0 তাদেরকে মূলদ সংখ্যা বলে।

- শূণ্য, সব স্বাভাবিক সংখ্যা ও ভগ্নাংশ মূলদ সংখ্যা।
- সব পূর্ণসংখ্যা মূলদ সংখ্যা।
- সব পূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল মূলদ সংখ্যা। যেমন: √16, √36.
- সব পূর্ণ ঘন সংখ্যার ঘনমূল মূলদ সংখ্যা।
- দশমিকের পরের অঙ্কগুলো যদি সসীম আকারে থাকে তাহলে সংখ্যাটি মূলদ সংখ্যা। যেমন: 5.66, 7.75.

এখানে, 7/3 কে p/q আকারে বা ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই 7/3 মূলদ সংখ্যা।

অন্যদিকে,
√2/3 ≈ 0.4714045.......... অমূলদ সংখ্যা।
√3 ≈ 1.73205080756.......... অমূলদ সংখ্যা।
√2 ≈ 1.41421356237309504............. অমূলদ সংখ্যা।

প্রশ্ন: ৯ এর প্রথম পাঁচটি গুণিতকের গড় কত?

সমাধান:
৯ এর প্রথম পাঁচটি গুণিতক হল: ৯, ১৮, ২৭, ৩৬ ও ৪৫

নির্ণেয় গড় = (৯ + ১৮ + ২৭ + ৩৬ + ৪৫)/৫
= ১৩৫/৫
= ২৭

প্রশ্ন: দুটি ভগ্নাংশের গুণফল ১৫/১৬। এদের একটি ৩/৪ হলে অপর ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
দুটি ভগ্নাংশের গুণফল ১৫/১৬
একটি ভগ্নাংশ ৩/৪

অপর ভগ্নাংশটি = ভগ্নাংশ দুটির গুণফল ÷ একটি ভগ্নাংশ
∴ অপর ভগ্নাংশটি = (১৫/১৬)/(৩/৪)
= (১৫/১৬) × (৪/৩)
= ৫/৪

প্রশ্ন: ১ হতে ১০০ এর মধ্যে বিজোড় মৌলিক সংখ্যা কয়টি রয়েছে?

সমাধান:
- ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মোট মৌলিক সংখ্যা ২৫টি।
- এগুলো হলো: ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩, ৭৯, ৮৩, ৮৯, ৯৭।

- এর মধ্যে জোড় মৌলিক সংখ্যা মাত্র একটি তথা ২। 
- বাকি ২৪টি মৌলিক সংখ্যাই বিজোড়।

অতএব, ১ হতে ১০০ এর মধ্যে বিজোড় মৌলিক সংখ্যা ২৪ টি রয়েছে।

প্রশ্ন: ৪৪ টি আপেল ও ৫৬ টি আম সর্বোচ্চ কতজন বালকের মধ্যে নিঃশেষে ভাগ করে দেয়া যাবে?

সমাধান:

৪৪ ও ৫৬ এর গ.সা.গু = ৪

অতএব, সর্বোচ্চ ৪ জন বালকের মধ্যে ৪৪ টি আপেল ও ৫৬ টি আম নিঃশেষে ভাগ করে দেয়া যাবে।

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার ৭ গুণ থেকে সংখ্যাটির ১৫ গুণ ৪৮ বেশি?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
১৫ক = ৭ক + ৪৮
⇒ ১৫ক - ৭ক = ৪৮
⇒ ৮ক = ৪৮
⇒ ক = ৪৮/৮
∴ ক = ৬

∴ সংখ্যাটি = ৬

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ২ : ৩ এবং তাদের গ.সা.গু ও ল.সা.গু- এর গুণফল ৩৩৭৫০ হলে, সংখ্যা দুইটির যোগফল কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যা দুইটি = ২ক ও ৩ক
সংখ্যা দুইটির গুণফল = ৬ক^২

সংখ্যা দুইটির গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু 

শর্তমতে,
৬ক^২ = ৩৩৭৫০
⇒ ক^২ = ৫৬২৫
⇒ √ক^২ = √৫৬২৫
⇒ ক = ৭৫

∴ সংখ্যা দুইটির যোগফল = ২ক + ৩ক = ৫ক = ৫ × ৭৫ = ৩৭৫

প্রশ্ন: নিচের কোন দুইটি সংখ্যা সহমৌলিক নয়?

সমাধান:
যদি দুইটি সংখ্যার মধ্যে ১ ব্যতীত কোন সাধারণ গুননীয়ক বা উৎপাদক না থাকে, তাহলে সংখ্যা দুইটি পরস্পর সহমৌলিক।

এখানে, ৮ ও ১৫ সংখ্যা দুটির মধ্যে ১ ব্যতীত সাধারণ গুননীয়ক নেই।
অতএব ৮ ও ১৫ সংখ্যা দুইটি পরস্পর সহমৌলিক।

আবার, ২ ও ৩ সংখ্যা দুটির মধ্যে ১ ব্যতীত সাধারণ গুননীয়ক নেই।
অতএব ২ ও ৩ সংখ্যা দুইটি পরস্পর সহমৌলিক।

আবার, ১২ ও ১৭ সংখ্যা দুটির মধ্যে ১ ব্যতীত সাধারণ গুননীয়ক নেই।
অতএব ১২ ও ১৭ সংখ্যা দুইটি পরস্পর সহমৌলিক।

১৬ = ২ × ৮
= ২ × ২ × ৪ 
= ২ × ২ × ২ × ২ 

২৮ = ২ × ১৪
= ২ × ২ × ৭

এখানে, ১৬ ও ২৮ সংখ্যা দুইটিতে ১ ছাড়াও সাধারণ গুননীয়ক।
তাই, সংখ্যা দুইটি সহমৌলিক নয়।

প্রশ্ন: ১ম ৯৭ সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার গড় কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n + 1)/2

আবার, 
গড় = সংখ্যার সমষ্টি/মোট সংখ্যা

∴ n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার গড় = {n (n + 1)/2}/n
= {n(n + 1)/2} × 1/n
= (n + 1)/2

সুতরাং, ১ম ৯৭ সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার গড় = (৯৭ + ১)/২
= ৯৮/২
= ৪৯

প্রশ্ন: জাবির, নাবিল ও নকিব একত্রে ১টি করে চকলেট খাওয়ার পর ৩, ৭ ও ৯ মিনিট অন্তর অন্তর একটি চকলেট খায়। কতক্ষণ পর তারা আবার একত্রে চকলেট খাবে?

সমাধান:
৩, ৭ ও ৯ এর ল.সা.গু- ই হবে নির্ণেয় সময়।
৩, ৭ ও ৯ এর ল.সা.গু = ৬৩

অতএব, জাবির, নাবিল ও নকিব ৬৩ মিনিট বা ১ ঘণ্টা ৩ মিনিট পর পুনরায় একত্রে চকলেট খাবে।

প্রশ্ন: একটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের পার্থক্য ৮ এবং সমষ্টি ১৪ হলে, ভগ্নাংশটি কত?


সমাধান:
ধরি, ভগ্নাংশটির লব ক এবং হর খ

প্রশ্নমতে,
ক - খ = ৮ ......... (১)
এবং, ক + খ = ১৪ .........(২)


সমীকরণ দুটি যোগ করে পাই,
ক - খ + ক + খ = ৮ + ১৪
⇒ ২ক = ২২
∴  ক = ১১


অতএব, লব ১১ একক এবং হর = ১৪ - ১১ = ৩
∴ নির্ণেয় ভগ্নাংশ = ১১/৩

প্রশ্ন: ৭টি সংখ্যার গড় ১২। এর মধ্যে শেষ ৪টি সংখ্যার গড় ১৫ হলে, প্রথম ৩টি সংখ্যার গড় কত? 

সমাধান: 
৭টি সংখ্যার গড় ১২
৭টি সংখ্যার সমষ্টি (১২ × ৭) = ৮৪

শেষ ৪টি সংখ্যার গড় ১৫ 
শেষ ৪টি সংখ্যার সমষ্টি  (১৫ × ৪) = ৬০

প্রথম ৩টি সংখ্যার সমষ্টি (৮৪ - ৬০) = ২৪
প্রথম ৩টি সংখ্যার গড় (২৪ ÷ ৩) = ৮

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার এক-তৃতীয়াংশ ও এক-চতুর্থাংশের পার্থক্য ৬?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
(ক/৩) - (ক/৪) = ৬
⇒ (৪ক - ৩ক)/১২ = ৬
⇒ ক/১২ = ৬
∴ ক = ৭২

সুতরাং, সংখ্যাটি = ৭২

প্রশ্ন: ৩/৪, ৫/৬, ৬/৭ এর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
৩/৪, ৫/৬, ৬/৭ এর গ.সা.গু = লব গুলোর গ.সা.গু/হরগুলোর ল.সা.গু

৩, ৫ ও ৬ এর গ.সা.গু = ১
৪, ৬ ও ৭ এর ল.সা.গু = ৮৪

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = ১/৮৪

প্রশ্ন: √2916 = ?

সমাধান:


∴ √2916 = 54

প্রশ্ন: জুলাই মাসের দৈনিক বৃষ্টিপাতের গড় ০.৬৫ সে.মি. ছিল। ঐ মাসের মোট বৃষ্টিপাতের পরিমাণ কত?

সমাধান:
জুলাই মাস ৩১ দিনে হয়।

∴ জুলাই মাসের মোট বৃষ্টিপাতের পরিমাণ = (৩১ × ০.৬৫) সে.মি.
= ২০.১৫ সে.মি.

প্রশ্ন: নিচের কোনটি ক্ষুদ্রতম সংখ্যা? 

সমাধান: 
৫/২৭ = ০.১৮৫ (ক্ষুদ্রতম), 
৭/৩৬ = ০.১৯৪ (বৃহত্তম), 
১১/৪৫ = ০.২৪৪ (বৃহত্তম) এবং 
২/৯ = ০.২২২ (বৃহত্তম) 

∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৫/২৭।

প্রশ্ন: চারটি সংখ্যার অনুপাত ২ : ৩ : ৫ : ৭ এবং সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু ৬৩০ হলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বিয়োগফল কত?

সমাধান:
মনে করি,
চারটি সংখ্যা ২ক, ৩ক, ৫ক ও ৭ক

সংখ্যা গুলোর ল.সা.গু = ২১০ক

প্রশ্নমতে,
২১০ক = ৬৩০
⇒ ক = ৩

সুতরাং, সংখ্যাগুলো হল ২ক = ৬, ৩ক = ৯, ৫ক = ১৫ ও ৭ক = ২১

অতএব, বৃহত্তম সংখ্যা ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বিয়োগফল = ২১ - ৬ = ১৫