Math Master

প্রশ্ন: দুইটি ক্রমিক ঋণাত্বক জোড় পূর্ণ সংখ্যার গুণফল ২৪ হলে বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
যেহেতু, সংখ্যাদ্বয় ক্রমিক ঋণাত্বক জোড় পূর্ণ সংখ্যা, 
- ৬ × - ৪ = ২৪

এখানে, বৃহত্তম সংখ্যা - ৪

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৮, ৪১ ও ৬৬ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৪, ৫, ৬ ভাগশেষ থাকবে? 

সমাধান:
এখানে,
২৮ - ৪ = ২৪,
৪১ - ৫ = ৩৬
৬৬ - ৬ = ৬০

বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ২৪, ৩৬ এবং ৬০ এর গ.সা.গু 
এখন,
২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গ.সা.গু = ১২

∴ বৃহত্তম সংখ্যা = ১২ 

প্রশ্ন: x ও y উভয়ই জোড় সংখ্যা হলে কোনটি বিজোড় সংখ্যা হবে?

সমাধান:
দুইটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল সর্বদাই জোড় সংখ্যা হয়।

ধরি, 
বিজোড় সংখ্যা দুইটি x = 2 এবং y = 4, 
অপশন অনুসারে, 
ক) x + 2y + 1 = (2 + 2 × 4 + 1) = 11 (বিজোড় সংখ্যা)। 
খ) xy = (2 × 4) = 8 (জোড় সংখ্যা)।
গ) xy + 2 = (2 × 4) + 2 = 8 + 2 = 10 (জোড় সংখ্যা)।
ঘ) 2(x + 1) = 2(2 + 1) = 6 (জোড় সংখ্যা)।

প্রশ্ন: 2/3, 5/9, 7/27 এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর লব = 2, 5, 7
ভগ্নাংশগুলোর হর = 3, 9, 27
2, 5, 7 এর ল.সা.গু = 70
3, 9, 27 এর গ.সা.গু = 3

আমরা জানি,
নির্ণেয় ল.সা.গু = লবগুলোর ল.সা.গু/হরগুলোর গ.সা.গু
= 70/3

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪ এবং তাদের গ. সা. গু ৪ হলে সংখ্যা দুইটির ল. সা. গু. কত?

সমাধান:
মনে করি,
একটি সংখ্যা ৩ক এবং
অপর সংখ্যাটি ৪্ক

সংখ্যা দুটির গ.সা.গু = ক
ল.সা.গু = ১২ক

শর্তমতে, 
ক = ৪

∴ ল.সা.গু. = ১২ × ৪ = ৪৮

• যে সংখ্যার সর্ব ডানদিকের অঙ্ক অর্থাৎ একক স্থানীয় অঙ্ক ২ বা ৩ বা ৭ বা ৮ তা পূর্ণবর্গ নয় ।
• যে সংখ্যার শেষে বিজোড় সংখ্যক শূন্য থাকে, ঐ সংখ্যা পূর্ণবর্গ নয়।
• একক স্থানীয় অঙ্ক ১ বা ৪ বা ৫ বা ৬ বা ৯ হলে, ঐ সংখ্যা পূর্ণবর্গ হতে পারে। যেমন : ৮১, ৬৪, ২৫, ৩৬, ৪৯ ইত্যাদি বর্গসংখ্যা ।
আবার সংখ্যার ডানদিকে জোড়সংখ্যক শূন্য থাকলে ঐ সংখ্যা পূর্ণবর্গ হতে পারে। যেমন : ১০০, ৪৯০০ ইত্যাদি বর্গসংখ্যা ।

প্রশ্ন: একটি বাক্সে ২৮০টি পেন্সিল আছে। এর সাথে কমপক্ষে আরো কতগুলো পেন্সিল যোগ করলে সেগুলো ৩, ৪, অথবা ৬ জন ছাত্রের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যাবে?

সমাধান:
৩, ৪ এবং ৬ এর ল.সা.গু. = ১২
২৮০ ÷ ১২ = ভাগফল ২৩, ভাগশেষ ৪
 
অর্থাৎ, আরো ১২ - ৪ = ৮টি পেন্সিল যোগ করলে ৩, ৪, অথবা ৬ জন ছাত্রের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যাবে। 

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম পূর্ণ বর্গসংখ্যা ৯, ১৫ এবং ২৫ দ্বারা বিভাজ্য?

সমাধান: 
ক্ষুদ্রতম পূর্ণ বর্গসংখ্যাটি হবে ৯, ১৫, ২৫ এর ল.সা.গু 
৯ = ৩ × ৩
১৫ = ৩ × ৫
২৫ = ৫ × ৫

৯, ১৫, ২৫ এর ল.সা.গু = ৩ × ৩ × ৫ × ৫ = ২২৫

প্রশ্ন: ৪০ সংখ্যাটি m হতে ১১ কম। গাণিতিক আকারে প্রকাশ করলে নিচের কোনটি হবে?

সমাধান:
প্রশ্নমতে,
৪০ = m - ১১
বা, m = ৪০ + ১১

প্রশ্ন: 0.04, 0.8, 0.016 এর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
এখানে,
0.04 = 4/100 = 1/25
0.8 = 8/10 = 4/5
0.016 = 16/1000 = 2/125

এখন, 
1, 4 ও 2 এর গ.সা.গু = 1
25, 5 ও 125 এর ল.সা.গু = 125

1/25, 4/5 ও 2/125 এর গ.সা.গু = লবগুলোর গ.সা.গু./হরগুলোর ল.সা.গু.
= 1/125
= 0.008

প্র্রশ্ন: নিচের কোন ক্রমজোড়টি সহমৌলিক?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক কেবল ১ হলে, ঐ সংখ্যাগুলো পরস্পর সহমৌলিক।

এখানে,
৬ ও ১৩ ক্রমজোড়টি সহমৌলিক
৬ = ১ × ২ × ৩
১৩ = ১ × ১৩

কারণ, (৬, ১৩) ক্রমজোড়টির সাধারণ গুণনীয়ক ১,
∴ (৬, ১৩) ক্রমজোড়টি সহমৌলিক

প্রশ্ন: ১২৮ সংখ্যাটির মোট ভাজক আছে-

সমাধান:
১২৮
= ১ × ১২৮
= ২ × ৬৪
= ৪ × ৩২
= ৮ × ১৬

১২৮ এর ভাজকসমূহ: ১, ২, ৪, ৮, ১৬, ৩২, ৬৪, ১২৮

∴ মোট ভাজক সংখ্যা ৮টি।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ১৩৫ এবং গ.সা.গু ৯। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার তিন-পঞ্চমাংশ হলে ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় সংখ্যাটি = ক এবং
ছোট সংখ্যাটি = ৩ক/৫

এখন,
দুটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু x গ.সা.গু
∴ ক × (৩ক/৫) = ১৩৫ × ৯
বা, ৩ক^২/৫ = ১২১৫ 
বা, ৩ক^২ = ১২১৫ × ৫
বা, ক^২ = ৬০৭৫/৩
বা, ক২ = ২০২৫
বা, ক = √২০২৫
∴ ক = ৪৫

∴ ছোট সংখ্যাটি = (৩ × ৪৫)/৫ = ২৭

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৪৫০ থেকে যত বড় ৭২০ থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক - ৪৫০ = ৭২০ - ক
বা, ২ক = ৭২০ + ৪৫০
বা, ২ক = ১১৭০
∴ ক = ৫৮৫

∴ সংখ্যাটি = ৫৮৫

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গুণফল ২৬৪ এবং ল.সা.গু ১৩২। সংখ্যা দুটির গ.সা.গু কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু. × গ.সা.গু = সংখ্যা দুইটির গুণফল
∴ সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু = সংখ্যা দুইটির গুণফল/সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু
= ২৬৪/১৩২
= ২

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ২০, ২৫, ৩০ এবং ৩৬  দিয়ে ভাগ করলে যথাক্রমে ১৮, ২৩, ২৮ এবং ৩৪ ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান: 
এখানে, 
২০ - ১৮ = ২
২৫ - ২৩ = ২
৩০ - ২৮ = ২
৩৬ - ৩৪ = ২ 

ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি  ২০, ২৫, ৩০ এবং ৩৬ এর ল.সা.গু  থেকে ২ কম 
 ২০, ২৫, ৩০এবং ৩৬  এর ল.সা.গু  =৯০০

নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৯০০ - ২ 
= ৮৯৮

প্রশ্ন: তিনটি ভিন্ন ভিন্ন রডের দৈর্ঘ্য ২৪ সে.মি., ৭০ সে.মি. এবং ৭৫ সে.মি.। সর্বনিম্ন কী পরিমাণ কাপড়কে এই রডগুলোর যে কোন একটি দিয়ে পূর্ণসংখ্যক বার পরিমাপ করা যাবে।

সমাধান:
২৪, ৭০ ও ৭৫ এর ল.সা.গু. = ৪২০০

৪২০০ সে.মি. = ৪২০০/১০০ মিটার
= ৪২ মিটার