প্রাইমারি শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি [লং কোর্স]

প্রশ্ন: যদি P : Q = ৩ : ৫ এবং Q : R = ২ : ৭ হয়, তবে P : Q : R এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P : Q = ৩ : ৫
= (৩ × ২) : (৫ × ২)
= ৬ : ১০

এবং,
Q : R = ২ : ৭
= (২ × ৫) : (৭ × ৫)
= ১০ : ৩৫

∴ P : Q : R = ৬ : ১০ : ৩৫

প্রশ্ন: স্থির পানিতে নৌকার বেগ ৬ কি.মি/ঘণ্টা। স্রোতের অনুকূলে যেতে নৌকাটির যত সময় লাগে স্রোতের প্রতিকূলে যেতে তার তিনগুণ সময় লাগে। স্রোতের বেগ কত?

সমাধান:
ধরি,
স্রোতের বেগ = ক 

∴ স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ = নৌকার বেগ + স্রোতের বেগ = (৬ + ক) কি.মি/ঘণ্টা
∴ স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ = নৌকার বেগ - স্রোতের বেগ = (৬ - ক) কি.মি/ঘণ্টা

প্রশ্নমতে,
(৬ + ক) = ৩(৬ - ক)
⇒ ৬ + ক = ১৮ - ৩ক
⇒ ৩ক + ক = ১৮ - ৬
⇒ ৪ক = ১২
⇒ ক = ১২/৪ = ৩ 

অতএব, স্রোতের  বেগ = ৩ কি.মি/ঘণ্টা

প্রশ্ন: যদি একটি ঘড়ি প্রতিদিন ১২ মিনিট করে সময় পিছিয়ে যায়, তাহলে কতদিন পর ঘড়িটি পুনরায় সঠিক সময় দেখাবে?

 
সমাধান: 
যদি কোনো ঘড়ি সময় পিছিয়ে যায়, তাহলে সেটি পুনরায় সঠিক সময় দেখাতে হলে তাকে ১২ ঘণ্টা বা ৭২০ মিনিট পিছিয়ে যেতে হবে।

[১ ঘণ্টা = ৬০ মিনিট
⇒ ১২ ঘণ্টা = (১২ × ৬০) মিনিট
= ৭২০ মিনিট]

এখন,
ঘড়িটি প্রতিদিন ১২ মিনিট করে পিছিয়ে যায়।
অতএব, ঘড়িটি ৭২০ মিনিট পিছিয়ে যাবে = (৭২০ ÷ ১২) দিনে
= ৬০ দিন

∴ ঘড়িটি ৬০ দিন পর পুনরায় সঠিক সময় দেখাবে।

প্রশ্ন: একটি ট্রেনের দৈর্ঘ্য ৫২০ মিটার এবং এটি ৭২ কিমি/ঘন্টা গতিতে চলে ৫০ সেকেন্ডে একটি প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করে। প্ল্যাটফর্মটির দৈর্ঘ্য কত?
 
সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ৫২০ মি
সময় = ৫০ সেকেন্ড
ট্রেনের গতি = ৭২ কিমি/ঘন্টা

গতি = ৭২ × (১০০০/৩৬০০) মিটার/সেকেন্ডে
= ২০ মি/সেকেন্ড

আমরা জানি,
∴ মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব = গতি × সময়
∴ মোট দূরত্ব = ২০  × ৫০
 = ১০০০ মি

এখন,
মোট দূরত্ব = ট্রেনের দৈর্ঘ্য + প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য
⇒ প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য = ১০০০ - ৫২০
= ৪৮০ মি

∴ প্ল্যাটফর্মটির দৈর্ঘ্য ৪৮০ মি। 

প্রশ্ন: একটি ট্রাক ভর্তি অবস্থায় X থেকে Y পর্যন্ত ৬০ কি.মি./ঘন্টায় যায় এবং খালি অবস্থায় Y থেকে X পর্যন্ত ৯০ কি.মি./ঘন্টায় ফিরে আসে। ট্রাকটির গড় গতিবেগ কত কি.মি./ঘন্টা?

সমাধান:
ভর্তি অবস্থায় বেগ v₁ = ৬০ কি.মি./ঘন্টা
খালি অবস্থায় বেগ v₂ = ৯০ কি.মি./ঘন্টা

গড় গতিবেগ = {2 × (v₁ × v₂)} / (v₁ + v₂)
= {2 × (৬০ × ৯০} / (৬০ + ৯০)
= ১০৮০০ / ১৫০
= ৭২ কি.মি./ঘন্টা

∴ ট্রাকটির গড় গতিবেগ ৭২ কি.মি./ঘন্টা। 

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি গাড়িযোগে ৮০ কি.মি./ঘণ্টা বেগে কিছু পথ অতিক্রম করে এবং বাকি পথ ৪০ কি.মি./ঘণ্টা বেগে অতিক্রম করে। মোট ৪ ঘণ্টায় ২৪০ কিমি অতিক্রম করে। তাহলে প্রথম অংশের দূরত্ব কত?

সমাধান: 
ধরি,
ঘণ্টায় ৮০ কি.মি বেগে যায় = ক কি.মি 
∴ ঘণ্টায় ৪০ কি.মি বেগে যায় = (২৪০ - ক) কি.মি

প্রশ্নমতে,
(ক/৮০) + {(২৪০ - ক)/৪০} = ৪ 
⇒ {ক + ২(২৪০ - ক)}/৮০ = ৪
⇒ (ক + ৪৮০ - ২ক)/৮০ = ৪
⇒ (৪৮০ - ক)/৮০ = ৪
⇒ ৪৮০ - ক = ৩২০  
⇒ - ক = ৩২০ - ৪৮০ 
⇒ - ক = - ১৬০  
∴ ক = ১৬০

∴ প্রথম অংশের দূরত্ব ১৬০ কি.মি।

প্রশ্ন: একটি স্কুলের একটি শ্রেণিকক্ষে ছেলে ও মেয়ের অনুপাত ২ : ৪। যদি শ্রেণিকক্ষে ২ জন শিক্ষক এবং ১৮ জন পর্যবেক্ষকসহ মোট ১৪৩ জন লোক থাকে, তবে শ্রেণিকক্ষে মেয়ের সংখ্যা কতজন?

সমাধান:
ছেলে-মেয়ের অনুপাতের যোগফল = ২ + ৪ = ৬

শ্রেণিকক্ষে মোট ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা = ১৪৩ - (২ + ১৮) = ১২৩ জন

∴ শ্রেণিকক্ষে মেয়ের সংখ্যা
= ১২৩ × (৪/৬)
=  ১২৩ × (২/৩)
= ৪১ × ২ 
= ৮২ জন

∴ শ্রেণিকক্ষে মেয়ের সংখ্যা ৮২ জন।

প্রশ্ন: একটি নৌকা স্রোতের অনুকূলে যেতে যে সময় নেয়, স্রোতের প্রতিকূলে যেতে সেই সময়ের দ্বিগুণ সময় লাগে। সম্পূর্ণ যাতায়াতে মোট ১৫ ঘণ্টা সময় লাগে। স্রোতের অনুকূলে যেতে নৌকাটির কত ঘণ্টা সময় লাগে?

সমাধান:
মনে করি,
স্রোতের অনুকূলে যেতে সময় লাগে = x ঘণ্টা
∴ স্রোতের প্রতিকূলে যেতে সময় লাগে = ২x ঘণ্টা

∴ মোট যাতায়াতের সময় = x + ২x = ১৫
⇒ ৩x = ১৫
⇒ x = ১৫ ÷ ৩
∴ x = ৫ ঘণ্টা

∴ স্রোতের অনুকূলে যেতে নৌকাটির ৫ ঘণ্টা সময় লাগে।

প্রশ্ন: ২০০ মিটার দৈর্ঘ্যের একটি ট্রেন ঘণ্টায় ৩৬ কি.মি. বেগে চলে। রাস্তার পাশে দাঁড়িয়ে থাকা একজন ব্যক্তিকে অতিক্রম করতে ট্রেনটির কত সময় লাগবে?

সমাধান:
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ২০০ মি
গতি = ৩৬ কি.মি./ঘণ্টা
= ৩৬ × (১০০০/৩৬০০)
= ১০ মি/সে

∴ সময় = দূরত্ব ÷ গতি
= ২০০ ÷ ১০
= ২০ সেকেন্ড

প্রশ্ন: একজন মাঝি স্রোতের প্রতিকূলে নৌকা চালিয়ে ৫ ঘণ্টায় ৬০ কি.মি যান। যদি নদীতে স্রোতের বেগ ৩ কিমি/ঘণ্টা হয়, তাহলে স্থির পানিতে নৌকার বেগ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দূরত্ব = ৬০ কি.মি
সময় = ৫ ঘণ্টা

∴ স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ = দূরত্ব ÷ সময় = ৬০ ÷ ৫ = ১২ কি.মি/ঘন্টা

আমরা জানি,
স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ = স্থির পানিতে নৌকার বেগ - স্রোতের বেগ

∴ স্থির পানিতে নৌকার বেগ = স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ + স্রোতের বেগ
= ১২ + ৩
= ১৫ কি.মি/ঘন্টা

প্রশ্ন: ০.৩ + ০.০১ + ০.০৫ = ?

সমাধান:
০.৩ + ০.০১ + ০.০৫
= ৩/১০ + ১/১০০ + ৫/১০০
= (৩০ + ১ + ৫)/১০০ 
= (৩৬)/১০০
= ৯/২৫

প্রশ্ন: একজন দৌড়বিদ ১০ মিটার/সেকেন্ড বেগে দৌড়ালে ২ কি.মি. দৌড় সম্পূর্ণ করতে তার কত সময় লাগবে? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গতিবেগ = ১০ মিটার/সেকেন্ড
দূরত্ব = ২ কি.মি. = ২ × ১০০০ = ২০০০ মিটার

∴ সময় = দূরত্ব ÷ গতিবেগ
= ২০০০ ÷ ১০
= ২০০ সেকেন্ড

৬০ সেকেন্ড = ১ মিনিট
∴ ২০০ সেকেন্ড = ৩ মিনিট ২০ সেকেন্ড

∴ ২ কি.মি. দৌড় সম্পূর্ণ করতে তার ৩ মিনিট ২০ সেকেন্ড সময় লাগবে

প্রশ্ন: ৮০ গ্যালন অকটেন মিশ্রিত পেট্রোলে পেট্রোল ও অকটেনের অনুপাত ৭ : ১। এতে আরও কত অকটেন মিশালে পেট্রোল ও অকটেনের অনুপাত ৫ : ২ হবে?

সমাধান:
প্রাথমিক অনুপাত: পেট্রোল ∶ অকটেন = ৭ ∶ ১
অনুপাতের যোগফল = ৭ + ১ = ৮

∴ পেট্রোলের পরিমাণ = ৮০ × (৭/৮) = ৭০ গ্যালন
∴ অকটেনের পরিমাণ = ৮০ × (১/৮) = ১০ গ্যালন

ধরা যাক আরও x গ্যালন অকটেন মেশানো হবে।

নতুন অনুপাত হবে:
৭০ : (১০ + x) = ৫ : ২
⇒ ৭০ / (১০ + x) = ৫ / ২
⇒ ২ × ৭০ = ৫ × (১০ + x)
⇒ ১৪০ = ৫০ + ৫x
⇒ ৫x = ৯০
⇒ x = ১৮ গ্যালন

সুতরাং, ১৮ গ্যালন অকটেন আরও মিশালে অনুপাত ৫ : ২ হবে।

প্রশ্ন: ঢাকা ও চট্টগ্রামের দূরত্ব ৩৫৪ কিলোমিটার। চট্টগ্রাম থেকে একটি ট্রেন সকাল ৭ টায় ছেড়ে দুপুর ১ টায় ঢাকা পৌঁছায়। ট্রেনটির গড় গতিবেগ কত ছিল?

সমাধান:
ট্রেনের যাত্রার সময় = সকাল ৭ টা থেকে দুপুর ১ টা = ৬ ঘণ্টা

গড় গতিবেগ = মোট দূরত্ব ÷ মোট সময়
= ৩৫৪ ÷ ৬
= ৫৯ কিমি/ঘণ্টা

∴ ট্রেনটির গড় গতিবেগ ৫৯ কিমি/ঘণ্টা

প্রশ্ন: নৌকা ও স্রোতের বেগ ঘণ্টায় যথাক্রমে ২০ কি.মি ও ৫ কি.মি । স্রোতের অনুকূলে ৭৫ কি.মি পথ অতিক্রম করে পুনরায় স্রোতের প্রতিকূলে ফিরে আসতে নৌকাটির মোট কত সময় লাগবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
নৌকার বেগ = ২০ কি.মি/ঘণ্টা 
স্রোতের বেগ = ৫ কি.মি/ঘণ্টা 

∴ স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ = (২০ + ৫) = ২৫ কি.মি/ঘণ্টা 
∴ স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ = (২০ - ৫) = ১৫ কি.মি/ঘণ্টা 

∴ ৭৫ কি.মি পথ অতিক্রম করতে সময় লাগবে = ৭৫/২৫ = ৩ ঘণ্টা 

এবং 
৭৫ কি.মি পথ পুনরায় স্রোতের প্রতিকূলে ফিরে আসতে সময় লাগবে = ৭৫/১৫ = ৫ ঘণ্টা 

∴ মোট সময় লাগবে = ৩ + ৫ = ৮ ঘণ্টা

প্রশ্ন: একটি ক্রমিক সমানুপাতের ১ম ও ৪র্থ রাশি যথাক্রমে ২ এবং ৩২ হলে, এর মধ্য সমানুপাতী কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম রাশি = ২
৪র্থ রাশি = ৩২

আমরা জানি, তিনটি পরপর সমানুপাতের ক্ষেত্রে:
(মধ্য রাশি)^২ = ১ম রাশি × ৪র্থ রাশি
⇒ (মধ্য রাশি)^২ = ২ × ৩২ = ৬৪
⇒ মধ্য রাশি = √৬৪ = ৮

প্রশ্ন: দুটি ট্রেনের গতিবেগের অনুপাত ৭ : ৯। যদি প্রথম ট্রেনটি ৬ ঘণ্টায় ৪২০ কি.মি. যায়, তাহলে দ্বিতীয় ট্রেনের গতিবেগ কত?

সমাধান:
গতিবেগের অনুপাত = ৭ : ৯

ধরি,
প্রথম ট্রেনের গতিবেগ = ৭ ক
দ্বিতীয় ট্রেনের গতিবেগ = ৯ ক

প্রথম ট্রেনের গতিবেগ = দূরত্ব ÷ সময় = ৪২০ ÷ ৬ = ৭০ কি.মি./ঘণ্টা

∴ ৭ ক  = ৭০
∴ ক = ১০

∴ দ্বিতীয় ট্রেনের গতিবেগ = ৯ × ১০ = ৯০ কি.মি./ঘণ্টা

প্রশ্ন: দুটি রাশির অনুপাত ৭ : ১১। যদি পূর্বরাশি হয় ২১, তবে উত্তর রাশি কত?

সমাধান:
দুটি রাশির অনুপাত = ৭ : ১১

ধরি,
পূর্বরাশি = ৭ক
উত্তর রাশি = ১১ক

প্রশ্নানুসারে:
৭ক  = ২১
⇒ ক = ৩

∴ উত্তর রাশি = ১১ ক = ১১ × ৩ = ৩৩

প্রশ্ন: এক ব্যাক্তি তার স্ত্রীর চেয়ে ১০ বছরের বড়। তার স্ত্রীর বয়স ছেলের বয়সের ৫ গুণ। ৫ বছর পর ছেলের বয়স ২০ হলে বর্তমানে ঐ ব্যক্তির বয়স কত?

সমাধান:
ধরি,
ছেলের বয়স = ক বছর
স্ত্রীর বয়স = ৫ক বছর
তাহলে, ঐ ব্যক্তির বয়স = ৫ক + ১০ বছর

প্রশ্নমতে,
ক + ৫ = ২০
⇒ ক = ১৫

∴ ঐ ব্যক্তির বয়স = (৫ × ১৫) + ১০ বছর
= (৭৫ + ১০) বছর
= ৮৫ বছর

প্রশ্ন: ৪৮ কিলোগ্রাম বালি ও পাথরের মিশ্রণে বালির পরিমাণ ২৫%। মিশ্রণে বালির পরিমাণ কত কিলোগ্রাম?

সমাধান: 
বালির পরিমাণ ২৫% 

১০০ কিলোগ্রামে বালি থাকে ২৫ কিলোগ্রাম
∴ ১ কিলোগ্রামে বালি থাকে = (২৫/১০০) কিলোগ্রাম
∴ ৪৮ কিলোগ্রামের মিশ্রণে বালি থাকে = (২৫ × ৪৮)/১০০ কিলোগ্রাম 
= ৪৮/৪ 
= ১২ কিলোগ্রাম 

∴ মিশ্রণে বালির পরিমাণ ১২ কিলোগ্রাম।

প্রশ্ন: ৩৫০ মিটার ও ১০০ মিটার দীর্ঘ দুটি ট্রেন প্রতি ঘণ্টায় যথাক্রমে ৮০ কি.মি. ও ৫০ কি.মি. বেগে চলছে। তারা একই স্থানে থেকে একই দিকে চলা শুরু করলে পরস্পরকে অতিক্রম করতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
দুই ট্রেনের মোট দৈর্ঘ্য = (৩৫০ + ১০০) = ৪৫০ মিটার

ট্রেন দুটি একই দিকে চলছে,
∴ তাদের আপেক্ষিক বেগ = (৮০ - ৫০) কি.মি./ঘণ্টা
= ৩০ কিমি/ঘণ্টা

এখন,
৩০ কিমি/ঘণ্টা = (৩০ × ১০০০)/৩৬০০ মিটার/সেকেন্ড
= ২৫/৩ মিটার/সেকেন্ড

∴ সময় = দূরত্ব ÷ বেগ
= ৪৫০ ÷ (২৫/৩)
= (৪৫০ × ৩)/ ২৫ সেকেন্ড
= ৫৪ সেকেন্ড

∴ পরস্পরকে অতিক্রম করতে ৫৪ সেকেন্ড সময় লাগবে।

প্রশ্ন: একটি মিশ্রণে দুধ ও পানির অনুপাত ৫ : ৩। এই মিশ্রণে ২৪ লিটার পানি মেশালে নতুন অনুপাত হয় ৫ : ৬। প্রথম মিশ্রণে দুধের পরিমাণ কত লিটার?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম মিশ্রণে,
দুধ = ৫ক লিটার,
পানি = ৩ক লিটার
এই মিশ্রণে ২৪ লিটার পানি যোগ করলে পানি হয় = ৩ক + ২৪

প্রশ্নমতে,
৫ক/(৩ক + ২৪) = ৫/৬ 
বা, ৫ক × ৬ = ৫ × (৩ক + ২৪)
বা, ৩০ক = ১৫ক + ১২০
বা, ১৫ক = ১২০
∴ ক = ৮ 

∴ প্রথম মিশ্রণে দুধের পরিমাণ = ৫ × ৮ = ৪০ লিটার

প্রশ্ন: 

সমাধান:

প্রশ্ন: ভাই ও বোনের বর্তমান বয়সের অনুপাত ৫ : ৩। ৪ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত ৭ : ৫ হবে। তাদের বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
ধরি,
ভাই = ৫ক,
বোন = ৩ক,

প্রশ্নমতে ৪ বছর পর,
(৫ক + ৪) : (৩ক + ৪) = ৭ : ৫
⇒ ৫(৫ক + ৪) = ৭(৩ক + ৪)
⇒ ২৫ক + ২০ = ২১ক + ২৮
⇒ ২৫ক - ২১ক = ২৮ - ২০
⇒ ৪ক = ৮
∴ ক = ২

∴ ভাই এর বয়স = ৫×২ = ১০ বছর, 
এবং, বোন = ৩×২ = ৬ বছর।

প্রশ্ন: (২৪ + ৬) ÷ ৫ × ৩ - (২৮ - ৪ × ৩) = কত?

সমাধান:
(২৪ + ৬) ÷ ৫ × ৩ - (২৮ - ৪ × ৩)
= ৩০ ÷ ৫ × ৩ - (২৮ - ১২)
= ৬ × ৩ - ১৬
= ১৮ - ১৬
= ২

প্রশ্ন: ১৫০ মিটার দীর্ঘ একটি দড়িকে ৬ : ৪ : ৫ অনুপাতে ভাগ করলে শেষ টুকরাটির দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
ধরি, টুকরাগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে = ৬ক, ৪ক, ৫ক

প্রশ্নমতে,
৬ক + ৪ক + ৫ক = ১৫০
বা, ১৫ক = ১৫০
∴ ক = ১০

∴ শেষ টুকরার দৈর্ঘ্য = ৫ক
= ৫ × ১০
= ৫০ মিটার

প্রশ্ন: একটি প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য ২০০ মিটার। ৩০০ মিটার লম্বা একটি ট্রেনকে ঐ প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করতে কত দূরত্ব অতিক্রম করতে হবে?

সমাধান:
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ৩০০ মিটার
প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য = ২০০ মিটার

∴ প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করতে ট্রেনকে অতিক্রম করতে হবে = ট্রেনের দৈর্ঘ্য + প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য
= ৩০০ + ২০০ = ৫০০ মিটার।

প্রশ্ন: ৬ বছর আগে A এর বয়স B এর বয়সের এক-তৃতীয়াংশ ছিল। এখন A এর বয়স ৩২ বছর হলে, B এর বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
A এর বর্তমান বয়স = ৩২ বছর
ধরি, B এর বর্তমান বয়স = x বছর

৬ বছর আগে:
A এর বয়স = ৩২ - ৬ = ২৬
B এর বয়স = x - ৬

প্রশ্নানুসারে:
২৬ = (১/৩)(x - ৬)
⇒ ২৬ × ৩ = x - ৬
⇒ ৭৮ = x - ৬
⇒ x = ৭৮ + ৬ = ৮৪

সুতরাং, B এর বর্তমান বয়স = ৮৪ বছর

প্রশ্ন: ২ + [৭ - {৩ + (৪ - ৯ + ২)৩}] - এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
২ + [৭ - {৩ + (৪ - ৯ + ২)৩}]
= ২ + [৭ - {৩ + (-৩)৩}]
= ২ + [৭ - {৩ - ৯}]
= ২ + [৭ - (-৬)]
= ২ + (৭ + ৬)
= ২ + ১৩
= ১৫