Math Master

প্রশ্ন: ঘাটে বাঁধা একটি নৌকা জোয়ারের টানে নোঙর ছিঁড়ে দুই ঘণ্টায় ৯ কি.মি. দূরে চলে গেল। পরে মাঝি জোয়াড় থাকা অবস্থায় দাঁড় টেনে নৌকাটিকে ৪ ঘণ্টায় ঘাটে ফিরিয়ে আনল। জোয়ারহীন অবস্থায় দাঁড়ের টানে নৌকার গতিবেগ কত ছিল?

সমাধান:
জোয়ারের টানে নৌকার গতিবেগ = ৯/২ কি.মি./ঘণ্টা = ৪.৫ কি.মি./ঘণ্টা
মাঝির দাঁড় টানার গতিবেগ = ৯/৪ কি.মি./ঘণ্টা = ২.২৫ কি.মি./ঘণ্টা

∴ জোয়ারহীন অবস্থায় দাঁড়ের টানে নৌকার গতিবেগ = (৪.৫ + ২.২৫) কি.মি./ঘণ্টা
= ৬.৭৫ কি.মি./ঘণ্টা

প্রশ্ন: ১৫০ মিটার লম্বা একটি ট্রেন ঘণ্টায় ৯০ কিলোমিটার বেগে একটি বৈদ্যুতিক খুঁটিকে অতিক্রম করতে কত সময় নেবে?

সমাধান: 
নিজের দৈর্ঘ্যের সমান দূরত্ব অতিক্রম করলে ট্রেনটির খুঁটিকে অতিক্রম করা হবে।

৯০ কিলোমিটার = ৯০ × ১০০০ = ৯০০০০ মিটার

৯০০০০ মিটার যায় = ৩৬০০ সেকেন্ডে
∴ ১৫০ মিটার যায় = (৩৬০০ × ১৫০)/৯০০০০ সেকেন্ডে
= ৬ সেকেন্ডে

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ঘণ্টায় ২৪ কি.মি. বেগে চলে ১৮০ মিটার দীর্ঘ একটি প্লাটফর্ম ১ মিনিটে অতিক্রম করল। ট্রেনটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
এখানে,  2৪ কি.মি. = 2৪০০০ মিটার
১ ঘণ্টা = ৩৬০০ সেকেন্ড
 
৩৬০০ সেকেন্ড অতিক্রম করে = 2৪০০০ মিটার
১ সেকেন্ড অতিক্রম করে = ২৪০০০/৩৬০০ মিটার
৬০ সেকেন্ড অতিক্রম করে = (২৪০০০ × ৬০)/৩৬০০ মিটার
= ৪০০ মিটার

প্রশ্নমতে,
ট্রেনের দের্ঘ্য + প্লাটফরমের দৈর্ঘ্য = ৪০০ মিটার
∴ ট্রেনের দৈর্ঘ্য = (৪০০ - ১৮০) মি. = ২২০ মিটার

প্রশ্ন: কোনো স্থানে ৬ কি.মি./ঘন্টা বেগে গিয়ে এবং ৪ কি.মি./ঘন্টা বেগে ফিরে আসতে মোট সময় লাগে ১৫ ঘণ্টা। তবে যাত্রা পথের দূরত্ব কত?

সমাধান:
ধরি, যাত্রা পথের দুরত্ব = ক
৬ কি.মি. যায় ১ ঘণ্টায়
∴ ক কি.মি. যায় ক/৬ ঘণ্টায়
তাহলে, ৪ কি.মি./ঘন্টা বেগের ক্ষেত্রে সময় লাগে = ক/৪ ঘণ্টা

প্রশ্নমতে,
(ক/৬) + (ক/৪) = ১৫
বা, (২ক + ৩ক)/১২ = ১৫
বা, ৫ক = ১২ × ১৫
∴ ক = ৩৬ কি.মি.

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি দাঁড় বেয়ে স্রোতের প্রতিকূলে ঘণ্টায় ৮ কি.মি. এবং স্রোতের অনুকূলে ঘণ্টায় ১৩ কি.মি. যেতে পারে। স্রোতের বেগ কত?

সমাধান: 
দাঁড়ের গতিবেগ + স্রোতের গতিবেগ = ১৩ কি.মি./ঘণ্টা 
দাঁড়ের গতিবেগ - স্রোতের গতিবেগ = ৮ কি.মি./ঘণ্টা 
--------------------------------------------------------- 
(-) করে, ২ স্রোতের গতিবেগ = ৫ কি.মি./ঘণ্টা 
স্রোতের গতিবেগ = ৫/২ কি.মি./ঘণ্টা 
= ২.৫  কি.মি./ঘণ্টা 

∴ স্রোতের গতিবেগ = ২.৫  কি.মি./ঘণ্টা

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ঘণ্টায় ৬০ কিলোমিটার বেগে চলে। ১০০ মিটার যেতে হলে ট্রেনটির কত সময় লাগবে?

সমাধান:
১ ঘণ্টা = ৬০ মিনিট = ৩৬০০ সেকেন্ড
৬০ কিমি = (৬০ × ১০০০) মিটার
= ৬০০০০ মিটার

 ট্রেনটির ৬০০০০ মিটার যেতে সময় লাগে ৩৬০০ সেকেন্ড
ট্রেনটির ১ মিটার যেতে সময় লাগে ৩৬০০/৬০০০০ সেকেন্ড
ট্রেনটির ১০০ মিটার যেতে সময় লাগে (৩৬০০ × ১০০)/৬০০০০ সেকেন্ড
= ৬ সেকেন্ড

প্রশ্ন: একটি নৌকা A থেকে B তে যেতে এবং পুনরায় A তে ফিরে আসতে ৯ ঘণ্টা সময় লাগে। স্থির পানিতে নৌকাটির বেগ ৮ কিমি/ঘণ্টা এবং স্রোতের বেগ ৪ কিমি/ঘণ্টা। A এবং B এর মধ্যবর্তী দূরত্ব কত? 

সমাধান:
ধরি, A এবং B এর মধ্যবর্তী দূরত্ব = ক কি.মি.
প্রশ্নমতে,
(ক/১২) + (ক/৪) = ৯
⇒ (ক + ৩ক)/১২ = ৯
⇒ ৪ক = ৯ × ১২
∴ ক = ২৭ কি.মি.

প্রশ্ন: ২২০ মিটার দৈর্ঘ্যের একটি ট্রেন ২২ সেকেন্ডে একটি খুঁটি অতিক্রম করলে ৯৮০ মিটার দীর্ঘ একটি প্লাটফর্ম অতিক্রম করতে ট্রেনটির কত সময় লাগবে?

সমাধান: 
ট্রেনটির গতিবেগ = ২২০/২২ = ১০ মিটার/সেকেন্ড 
প্লাটফর্ম অতিক্রমের ক্ষেত্রে ট্রেনটি অতিক্রম করে (৯৮০ + ২২০) মিটার = ১২০০ মিটার

ট্রেনটি ১০ মিটার অতিক্রম করে = ১ সেকেন্ডে 
ট্রেনটি ১ মিটার অতিক্রম করে = ১/১০ সেকেন্ডে 
ট্রেনটি ১২০০ মিটার অতিক্রম করে = ১২০০/১০ সেকেন্ডে 
= ১২০ সেকেন্ডে
= ২ মিনিটে

প্রশ্ন: রেলপথে রসুলপুর থেকে পাহাড়তলীর দূরত্ব ৬০০ কিলোমিটার। সকাল ৭ টায় ঘণ্টায় ৯০ কিলোমিটার বেগে একটি ট্রেন পাহাড়তলীর উদ্দেশ্যে এবং ১ ঘণ্টা পর আরেকটি ট্রেন ঘন্টায় ৮০ কিলোমিটার বেগে পাহাড়তলী থেকে রসুলপুরের উদ্দেশ্যে রওনা দিল। বেলা কয়টার সময় ট্রেন দুটির মুখোমুখি দেখা হবে?

সমাধান:
আপেক্ষিক গতিবেগে ট্রেন দুটি পথ অতিক্রম করে = ৬০০ - ৯০ = ৫১০ কি.মি.
গতিবেগ = ৯০ + ৮০ = ১৭০ কি.মি.

∴ আপেক্ষিক গতিবেগে ট্রেন দুটির অতিক্রান্ত সময় হবে = ৫১০/১৭০ ঘণ্টা
= ৩ ঘণ্টা

∴ মুখোমুখি দেখা হবে = ৩ + ৮ টায়
= ১১ টায়

প্রশ্ন: দুটি ট্রেন বিপরীত দিক থেকে একটি অপরটির দিকে চলছে। যদি একটি ট্রেনের দৈর্ঘ্য ১২০ মি. হয় এবং তারা একে অপরকে ১২ সেকেন্ডে অতিক্রম করে, প্রত্যেক ট্রেনের গতিবেগ ৩৬ কি.মি./ঘণ্টা হলে অপর ট্রেনের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি, 
অপর ট্রেনের দৈর্ঘ্য = x মিটার
যেহেতু, প্রত্যেক ট্রেনের গতিবেগ ৩৬ কি.মি./ঘণ্টা
আপেক্ষিক বেগ = (৩৬ + ৩৬) কি.মি./ঘণ্টা
= (৭২ × ১০০০)/৩৬০০ মি./সেকেন্ড
= ২০ মি./সেকেন্ড

∴ মোট দূরত্ব = (x + ১২০) সেকেন্ড

আমরা জানি,
দূরত্ব = সময় × বেগ
বা, x + ১২০ = ১২ × ২০
বা, x + ১২০ = ২৪০
বা, x = ২৪০ - ১২০
∴ x = ১২০

অপর ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ১২০ মিটার।

প্রশ্ন: একটি ট্রেন কদমতলা থেকে আমতলা একটি নির্দিষ্ট বেগে ৬০ মাইল যায়। যদি ট্রেনের গতি আরও ২ মাইল/ঘন্টা বেশি হতো তবে ট্রেনটির ১ ঘণ্টা সময় কম লাগতো। ট্রেনের প্রাথমিক গতি কত ছিল?

সমাধান:
ধরি, প্রাথমিক গতি = ক মাইল/ঘণ্টা
পরিবর্তিত গতি = (ক + ২) মাইল/ঘণ্টা

প্রশ্নমতে,
(৬০/ক) - {৬০/(ক + ২)} = ১
⇒ (৬০ক + ১২০ - ৬০ক)/{ক(ক + ২)} = ১
⇒ ক^২ + ২ক = ১২০
⇒ ক^২ + ২ক - ১২০ = ০
⇒ ক^২ + ১২ক - ১০ক - ১২০ = ০
⇒ ক(ক + ১২) - ১০(ক + ১২) = ০
⇒ (ক + ১২)(ক - ১০) = ০
হয় ক + ১২ = ০ বা, ক = -১২ ; ঋণাত্মক মান গ্রহনযোগ্য নয়।
অথবা, ক - ১০ = ০ বা, ক = ১০
∴ প্রাথমিক গতি = ১০ মাইল/ঘণ্টা

প্রশ্ন: লঞ্চ ও স্রোতের গতিবেগ যথাক্রমে ঘণ্টায় ১৬ কি.মি. ও ৪ কি.মি.। নদীপথে ৬০ কি.মি. অতিক্রম করে পুনরায় ফিরে আসতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
স্রোতের অনুকূলে লঞ্চের বেগ ঘন্টায় = লঞ্চের বেগ + স্রোতের বেগ = ১৬ + ৪ = ২০ কি.মি.
∴ ৬০ কি.মি. যেতে সময় লাগবে ৬০/২০ = ৩ ঘণ্টা
স্রোতের প্রতিকূলে লঞ্চের বেগ ঘণ্টায় = লঞ্চের বেগ - স্রোতের বেগ = ১৬ - ৪ = ১২ কি.মি.
∴ ৬০ কি.মি. যেতে সময় লাগবে ৬০/১২ = ৫ ঘণ্টা
∴ মোট সময় লাগবে = ৩ + ৫ = ৮ ঘণ্টা

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ৬০ মাইল/ঘণ্টা বেগে ৮ মাইল যায়। যদি ট্রেনটির যাওয়া ও আসায় মোট ২০ মিনিট সময় লাগে তাহলে ট্রেনটির ফেরার গতিবেগ কত?  

সমাধান:
৬০ মাইল যায় = ৬০ মিনিটে
১ মাইল যায় = ৬০/৬০ মিনিটে
৮ মাইল যায় = (৬০ × ৮)/৬০ = ৮ মিনিটে

∴ ফিরে আসতে সময় লাগে = (২০ - ৮) = ১২ মিনিট

১২ মিনিটে ফিরে আসে = ৮ মাইল
১ মিনিটে ফিরে আসে = ৮/১২ মাইল
∴ ৬০ মিনিটে ফিরে আসে = (৮ × ৬০)/১২ = ৪০ মাইল/ঘণ্টা

প্রশ্ন: স্রোতের বিপরীতে একটি নৌকা ৪০ মিনিটে ১২ কিমি যেতে পারে। স্রোতের বেগ ৫ কি.মি./ঘণ্টা হলে স্থির পানিতে নৌকার বেগ কত?

সমাধান:
স্রোতের বিপরীতে নৌকার গতিবেগ = (১২ × ৬০)/৪০
= ১৮ কিমি/ঘণ্টা
স্রোতের বেগ ৫ কিমি/ঘণ্টা হলে স্থির পানিতে নৌকার বেগ = (১৮ + ৫) কি.মি./ঘণ্টা
= ২৩ কি.মি./ঘণ্টা

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ৩০ কি.মি./ঘণ্টা বেগে চলছে। একজন ব্যাক্তি একই দিকে ২৪ কি.মি./ঘণ্টা বেগে চলছে। ট্রেনটি যদি ব্যক্তিটিকে ২ মিনিটে অতিক্রম করে, তাহলে ট্রেনের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
আপেক্ষিক বেগ ঘণ্টায় = ৩০ - ২৪ = ৬ কি.মি. = ৬০০০ মিটার

∴ ৬০ মিনিটে অতিক্রম করে = ৬০০০ মিটার
∴ ২ মিনিটে অতিক্রম করে = (৬০০০ × ২)/৬০ মিটার
= ২০০ মিটার

অতএব, ট্রেনটির দৈর্ঘ্য ২০০ মিটার।