Math Master

প্রশ্ন: চর্তুভুজের চার কোণের অনুপাত ১ : ২ : ২ : ৪ হলে বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
চর্তুভুজের চার কোণের অনুপাত ১ : ২ : ২ : ৪

ধরি,
চতুর্ভুজের চারটি কোণ  x°, ২x°, ২x°, ৪x°

আমরা জানি, চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি ৩৬০°

শর্তমতে,
x° + ২x° + ২x° + ৪x° = ৩৬০°
বা, ৯x° = ৩৬০°
বা, x° = ৪০°

∴ বৃহত্তম কোণের পরিমাণ = ৪ × ৪০° = ১৬০°

প্রশ্ন: 40a পরিসীমা বিশিষ্ট আয়তক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য 8a + 6 হলে, অপর বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের অপর বাহুর দৈর্ঘ্য = b

প্রশ্নমতে,
2(8a + 6 + b) = 40a
⇒ 8a + 6 + b = 20a
⇒ b = 20a - 8a - 6
⇒ b = 12a - 6
∴ b = 12a - 6

প্রশ্ন: PQ ও RS সরলরেখাদ্বয় 'O' বিন্দুতে ছেদ করলে নিচের কোন গাণিতিক বাক্যটি সঠিক হবে?

সমাধান: 
দুইটি সরল রেখা পরস্পর ছেদ করলে বিপ্রতীপ কোণদ্বয় পরস্পর সমান হয়।
∠POS = ∠QOR এবং ∠POR = ∠QOS

প্রশ্ন: নিচের চিত্রে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ∠QPR = 39° হলে, ∠QOR কোণের মান কত?
 

সমাধান:
আমরা জানি,
একই চাপের ওপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
চিত্রটিতে, কেন্দ্রস্থ কোণ ∠QOR, বৃত্তস্থ কোণ ∠QPR = 39°

∴ ∠QOR = (2 × 39°) = 78°

প্রশ্ন: একটি সরল রেখার উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ঐ সরলরেখার তিন ভাগের একভাগের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের কতগুণ?

সমাধান:
ধরি, সরলরেখার দৈর্ঘ্য = a
ক্ষেত্রফল = a²

আবার, সরলরেখার এক-তৃতীয়াংশের দৈর্ঘ্য = a/3
ক্ষেত্রফল = (a/3)² = a²/9

∴ a²/(a²/9) = a² ×(9/a²) = 9 গুণ।

প্রশ্ন: ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। ∠BAD ও ∠BCD এর সমষ্টি কত হবে?

সমাধান:
    
আমরা জানি 
বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ। 

ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজে  ∠BAD ও  ∠BCD পরস্পর বিপরীত কোণ।  
∠BAD ও ∠BCD এর সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০°।

প্রশ্ন: 42 ফুট ব্যাসের বৃত্তাকার ক্ষেত্রকে একই ক্ষেত্রফলের একটি বর্গক্ষেত্র করলে, বর্গক্ষেত্রের যে কোনো এক দিকের দৈর্ঘ্য কত হবে? 

সমাধান: 
বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ব্যাসার্ধ, r = 42/2 ফুট = 21 ফুট
বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = πr²
= π × 21 × 21
= 22/7 × (21 × 21)
= 1386 বর্গফুট 
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 1386 বর্গফুট 

∴ বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = √1386 = 3√154 ফুট

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্র ও একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল সমান। রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৮ মিটার ও ৯ মিটার হলে, বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল 
=  (১/২) × ৮ × ৯ 
= ৩৬ বর্গমিটার 

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৩৬ বর্গমিটার 
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √৩৬ মিটার 
= ৬ মিটার 

∴ বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা = ৬ × ৪ মিটার 
= ২৪ মিটার 

প্রশ্ন: O কেন্দ্র বিশিষ্ট একটি বৃত্তে AB একটি ব্যাস ভিন্ন জ্যা। OD, AB - এর উপর লম্ব এবং AD এর দৈর্ঘ্য 2.5 সে.মি হলে AB = ?

সমাধান:

আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে কোন জ্যা - এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যা কে সমদ্বিখন্ডিত করে।
∴ D, AB এর সমদ্বিখন্ডক বিন্দু অর্থ্যাৎ মধ্যবিন্দু।
∴ AB = 2 . AD
= 2 × 2.5 = 5 সে.মি

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ভূমি উচ্চতার 3/4 অংশ এবং উচ্চতা 22 মি. হলে সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল কত বর্গমি.?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের উচ্চতা = 22 মিটার
সামান্তরিকের ভূমি = 22 এর 3/4 = 33/2 মিটার

আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
= (33/2) × 22
= 363 বর্গমি.

প্রশ্ন: 2x + 3y + 4 = 0, রেখার ঢাল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
y = mx + c দ্বারা সরলরেখা বুঝায়। যার ঢাল m এবং y অক্ষের ছেদাংশ c.

এখন,
2x + 3y + 4 = 0
বা, 3y = - 2x - 4
বা, y = (- 2/3)x - 4/3

সমীকরণটিকে y = mx + c এর সাথে তুলনা করে পাই,
m = - 2/3
∴ প্রদত্ত রেখার ঢাল = - 2/3 

প্রশ্ন: ABCD চতুর্ভুজে AB ∥ CD, AC = BD এবং ∠A = 90° হলে সঠিক চতুর্ভুজ কোনটি?

সমাধান:
আমরা জানি,
যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান ও সমান্তরাল, কর্ণদ্বয় সমান ও একটি কোণ সমকোণ তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।
সুতরাং ABCD চতুর্ভুজে AB || CD, AC = BD এবং ∠A = 90° হলে চতুর্ভুজ একটি আয়তক্ষেত্র হবে।

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ভূমি উচ্চতার দ্বিগুণ। সামান্তরিকটির ক্ষেত্রফল ৭২ বর্গ সে.মি. হলে, এর ভূমি কত?

সমাধান:
মনে করি,
সামান্তরিকের উচ্চতা = ক
∴ ভূমি = 2ক

আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা

শর্তমতে,
ক × ২ক = ৭২
বা, ২ক^২ = ৭২
বা, ক^২ = ৩৬
∴ ক = ৬

∴ ভূমি = ২ × ৬ = ১২ সে.মি.

প্রশ্ন: 51° কোণের সম্পূরক কোণের এক-তৃতীয়াংশ কত?

সমাধান: 
দুইটি কোণের সমষ্টি 180° হলো, কোন দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
51° কোণের সম্পূরক কোণ = (180 - 51)° = 129°
129° এক-তৃতীয়াংশ = 129°/3 = 43°