ডেইলি কুইজ [২০০ দিন]

প্রশ্ন: 5 জন পুরুষ এবং 3 জন মহিলার মধ্যে থেকে কমপক্ষে একজন মহিলার সমন্বয়ে 4 জনের একটি কমিটি কত পদ্ধতিতে করা যেতে পারে?

সমাধান:
5 জন পুরুষ ও 3 জন মহিলা।
ন্যূনতম 1 জন মহিলা সম্বলিত কমিটি গঠনের পদ্ধতির সংখ্যা
3 পুরুষ এবং 1 মহিলা + 2 পুরুষ এবং 2 মহিলা + 1 পুরুষ এবং 3 মহিলা
= ⁵C₃ × ³C₁ + ⁵C₂ × ³C₂ + ⁵C₁ × ³C₃
= 10 × 3 + 10 × 3 + 5 × 1
= 30 + 30 + 5
= 65

প্রশ্ন: যদি অঙ্কগুলির পুনরাবৃত্তি সম্ভব হয় তবে 5, 6, 7, 8, 9 এই অঙ্কগুলি দ্বারা কতগুলি 3 অঙ্কের বিজোড় সংখ্যা গঠিত হতে পারে?

সমাধান:
ধরি,
অঙ্ক 3 টি হল যথাক্রমে H T U (শতক, দশক, একক অঙ্ক)
3 অঙ্কের বিজোড় সংখ্যা গঠন করতে
কেবলমাত্র 5, 7, 9 কে একক অঙ্কের স্থানে ব্যবহার করা সম্ভব
শতক এবং দশকের স্থানে 5 টি অঙ্কই ব্যবহার করা সম্ভব

একক অঙ্কের জন্য সম্ভাব্য অঙ্ক = 3
দশক অঙ্কের জন্য সম্ভাব্য অঙ্ক = 5
শতক অঙ্কের জন্য সম্ভাব্য অঙ্ক = 5

3 অঙ্কের বিজোড় সংখ্যার সংখ্যা = 3 × 5 × 5 = 75
∴ 5, 6, 7, 8, 9 এই অঙ্কগুলি দ্বারা 75 টি 3 অঙ্কের বিজোড় সংখ্যা গঠিত হতে পারে, যদি অঙ্কগুলির পুনরাবৃত্তি সম্ভব হয়।

প্রশ্ন: যদি ⁿC₈ = ⁿC₂ হয়, তাহলে ⁿC₂ এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ⁿC_a = ⁿC_b হলে, a = b অথবা a + b = n হয়।

ⁿC₈ = ⁿC₂
⇒ 8 + 2 = n
∴ n = 10

ⁿC₂ = ¹⁰C₂ = 45

প্রশ্ন: অঙ্কগুলোর পুনরাবৃত্তি না করে 0, 2, 5, 6, 9 দ্বারা 4 অঙ্ক বিশিষ্ট 5 দ্বারা বিভাজ্য কতটি সংখ্যা তৈরি করা যায়?

সমাধান:
৫ দ্বারা বিভাজ্য হতে হলে শেষ অংকটি ০ বা ৫ হতে হবে।

শেষে ০ রেখে বাকি তিন ঘর গঠিত হয় ৪ × ৩ × ২ = ২৪ উপায়ে

শেষে ৫ রেখে বাকি তিন অংক গঠিত হয় ৪ × ৩ × ২ = ২৪ উপায়ে। তবে প্রথম ঘরে ০ হতে পারবে না।
প্রথমে ০ এবং শেষে ৫ রেখে বাকি দুই ঘর গঠিত হয় ৩ × ২ = ৬ উপায়ে।
∴ শেষে ৫ রেখে ৫ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা হবে (২৪ - ৬)টি = ১৮ টি

∴ মোট ৫ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা (২৪ + ১৮) টি
= ৪২ টি

প্রশ্ন: ১৫ জন খেলোয়াড় থেকে ১১ জন খেলোয়াড় বিশিষ্ট দল তৈরি করা যায় কত উপায়ে?

সমাধান:
১৫ জন খেলোয়াড় থেকে ১১ জন খেলোয়াড় বিশিষ্ট দল তৈরি করা যায় ^১৫C_১১ = ১৩৬৫ উপায়ে

প্রশ্ন: যদি ⁸P_r = 336 হয়, তাহলে r = ?

সমাধান:
⁸P_r = 336
⇒ 8!/(8 - r)! = 336
⇒ (8 - r)! = 8!/336
⇒ (8 - r)! = 120
⇒ (8 - r)! = 5!
⇒ (8 - r) = 5
⇒ r = 8 - 5 = 3

প্রশ্ন: এক ব্যক্তির 4 টি লাল পতাকা 3 টি হলুদ পতাকা 2 টি নীল পতাকা আছে। একটি সংকেত তৈরির জন্য 9 টি পতাকাকে একটি সারিতে ব্যবহার করলে কয়টি সংকেত করতে পারবে?

সমাধান:
মোট পতাকা 9 টি
যার মধ্যে, লাল 4 টি, হলুদ 3 টি, নীল 2 টি

মোট বিন্যাস সংখ্যা = 9! / (4! × 3! × 2!)
= (9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4!) / (4! × 3! × 2!)
= (9 × 8 × 7 × 6 × 5) / (3 × 2 × 2)
= 1260

প্রশ্ন: একটি কামড়ায় ৬টি চেয়ার খালি আছে। চারজন লোক কতভাবে এই ৬টি আসনে বসতে পারবে?

সমাধান:
চেয়ারের সংখ্যা ৬টি 
লোকের সংখ্যা ৪ জন 

বসার উপায় = ^৬P_৪ = ৩৬০

প্রশ্ন: POLICE শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে সবকয়টি বর্ণকে সাজানোর উপায়-

সমাধান:
শব্দটির 6টি বর্ণের মধ্যে 3টি স্বরবর্ণ।

স্বরবর্ণগুলো একত্রে ১টি ধরলে মোট বর্ণ হয় 4 টি
4 টি বর্ণ সাজানোর উপায় = 4!

আবার স্বরবর্ণ তিনটিকে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় 3! উপায়ে
∴ স্বরবর্ণগুলো একত্রে রেখে সবগুলো বর্ণ সাজানোর উপায় = 4! × 3!
= 144

প্রশ্ন: একটি হল রুমের 4টি দরজা রয়েছে। আপনি কত উপায়ে একটি দরজা দিয়ে প্রবেশ করে অন্য দরজা দিয়ে বের হতে পারবেন?
 
সমাধান:
যেহেতু অন্য দরজা দিয়ে বের হতে হবে, তাই যে দরজা দিয়ে ঢুকবে সে দরজা দিয়ে বের হতে পারবে না।
অর্থাৎ ঢুকার সময় দরজা সংখ্যা ৪টি এবং বের হওয়ার সময় দরজা সংখ্যা ৩টি।
∴ উপায় সংখ্যা ৪ × ৩ = ১২

প্রশ্ন: একটি প্রশ্নপত্রে ক বিভাগ, খ বিভাগ প্রতিটিতে 4টি করে মোট আটটি প্রশ্ন আছে। একজন পরীক্ষার্থী কোন বিভাগ থেকে 3টির বেশি প্রশ্ন না নিয়ে মোট 5টি প্রশ্ন কত উপায়ে বাছাই করতে পারবে?

সমাধান:
5টি প্রশ্ন বাছাই করার ক্ষেত্রে,
(i) ক বিভাগ হতে 2টি খ বিভাগ হতে 3টি
(ii) ক বিভাগ হতে 3টি খ বিভাগ হতে 2টি প্রশ্ন বাছাই করবে।

(i) এর ক্ষেত্রে বাছাই করার উপায় = ⁴C₂ × ⁴C₃
= 6 × 4 = 24

(ii) এর ক্ষেত্রে বাছাই করার উপায় = ⁴C₃ × ⁴C₂
= 4 × 6 = 24

∴ বাছাই করার মোট উপায় = 24 + 24 = 48

প্রশ্ন: 9 জন বন্ধু নৌকা ভ্রমণের সিদ্ধান্ত নিল, একটি নৌকায় 7 জনের বেশী এবং অন্যটিতে 4 জনের বেশী ধরে না। তারা কত উপায়ে ভ্রমণ করতে পারবে?

সমাধান:
১ম নৌকা(7)     ২য় নৌকা(4)
7                      2
6                      3
5                      4

9 জন লোকের মধ্যে সর্বোচ্চ 4 জন লোকই ২য় নৌকায় উঠতে পারবে
অর্থ্যাৎ, ১ম নৌকায় কমপক্ষে 5 জন উঠতে পারবে। এর চেয়ে কম হলে, যেমন 4 জন উঠলে 5 জন দ্বিতীয় নৌকায় উঠতে পারবে না।
তাহলে 5 জন দিয়েই শুরু করা যাক।

কিন্তু সমস্যা হলো কোন 9 জনের মধ্য থেকে কোন 5 জন প্রথম যানবাহনে উঠবে?
চলুন তাহলে 9 জনের মধ্য থেকে যেকোনো 5 জনকে বাছাই করা যাক,
⁹C₅ = 126
এখন এই 5 জনতো চলেই গেলো। বাকিরা অগত্যা ২য় নৌকাতেই উঠবে আর তাদের মধ্যে একভাবেই বাছাই করা যায়। তাই, ২য় নৌকার ক্ষেত্রে বাছাই না করলেও চলবে।

১ম নৌকায় 5, 6, 7 জন পর্যন্ত উঠতে পারে। প্রতি ক্ষেত্রের বাছাই সংখ্যাকে যোগ করে পাই,

⁹C₅ + ⁹C₆  + ⁹C₇ = 126 + 84 + 36 = 246

অর্থ্যাৎ 9 বন্ধু 246 প্রকারে ভ্রমণ করতে পারবে।

প্রশ্ন: 11টি পুস্তক থেকে 5টি কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে 2টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে?
 
সমাধান:
11 টি পুস্তক হতে সর্বদা দুইটি অন্তর্ভুক্ত রেখে 5 টি বাছাই করা যায় =  ^{(11 - 2)}C_{(5 - 2)} = ⁹C₃ = 84

প্রশ্ন: 8 জন ও 10 জন খেলোয়াড়ের দুইটি দল থেকে 11 জন খেলোয়াড়ের একটি ক্রিকেট টিম গঠন করতে হবে যাতে 8 জনের দল থেকে কমপক্ষে 7 জন খেলোয়াড় ঐ টিমে থাকবে। ক্রিকেট টিমটি কত উপায়ে গঠন করা যাবে? 

সমাধান: 
১ম দল (8 জন)  ২য় দল(10জন)
১)     8                      3
২)    7                      4 

১নং ক্ষেত্রে টিম গঠনের উপায় = ⁸C₈ × ¹⁰C₃ = 1 × 120 = 120
২নং ক্ষেত্রে টিম গঠনের উপায় = ⁸C₇ × ¹⁰C₄ = 8 × 210 = 1680

টিম গঠনের উপায় = 120 + 1680  = 1800

প্রশ্ন: একটি বাস্কেটবল টুর্নামেন্টে ৬টি দল অংশগ্রহণ করেছে, একক লীগ পদ্ধতিতে খেলা হলে মোট কতটি খেলা পরিচালনা করতে হবে?

সমাধান:
৬টি দল অংশগ্রহণ করে একক লীগ পদ্ধতিতে খেলা হলে প্রত্যেকে প্রত্যেকের সংখ্যা ১টি করে খেলা খেলবে।
তাহলে মোট খেলা হবে ^৬C_২ = ১৫টি।

প্রশ্ন: একটি অনুষ্ঠানে কিছু লোক উপস্থিত ছিল। তারা কেবল একজন মাত্র একজনের সাথে একবার করমর্দন করতে পারবে। যদি করমর্দনের সংখ্যা 105 হয়, তাহলে ঐ অনুষ্ঠানে কতজন লোক ছিল?

সমাধান: 
মনে করি,
ঐ অনুষ্ঠানে n সংখ্যক লোক উপস্থিত ছিল।
প্রশ্নানুসারে, 
ⁿC₂ = 105
⇒ n(n - 1)/2 = 105
⇒ n(n - 1) = 210
⇒ n² - n - 210= 0
⇒ n2 - 15n + 14n - 210 = 0
⇒ n(n - 15) + 14(n - 15) = 0
⇒ (n + 14)(n - 15) = 0

n = 15 কিন্তু n এর মান - 14 গ্রহণযোগ্য নয়। [কারণ n এর মান ঋণাত্মক]
সুতরাং ঐ অনুষ্ঠানে 15 জন লোক ছিল।

প্রশ্ন: 3টি শূন্য পদের জন্য 12 জন প্রার্থী আছে। একজন ভোটার 3 টির বেশি ভোট দিতে পারবেন না। তিনি কত প্রকারে ভোট দিতে পারবেন?

সমাধান:
একজন ভোটার 12 জন প্রার্থীর মধ্যে 1 জনকে বা 2 জনকে বা 3 জনকে ভোট দিতে পারবেন।

∴ নির্ণেয় ভোট দেয়ার উপায় = ¹²C₁ + ¹²C₂ + ¹²C₃
= 12 + 66 + 220
= 298

প্রশ্ন: 10টি ভিন্ন বর্ণের ফুল দিয়ে কত উপায়ে মালা তৈরি করা যাবে?

সমাধান:
মালা, তসবী ইত্যাদি গঠন করলে বিন্যাস সংখ্যা = (n - 1)!/2

বিন্যাস সংখ্যা = (10 - 1)!/2
= 9!/2
= 181440