Math Master

প্রশ্ন: একটি কাজ আলাদাভাবে সম্পূর্ণ করতে মুনার ৪৫মিনিট এবং ইফতির ৩০ মিনিট সময় লাগে, তবে উভয়ে একত্রে ঐ কাজটি সম্পূর্ণ করতে কত মিনিট সময় লাগবে?

সমাধান:
মুনা ও ইফতি একত্র ১ মিনিটে করে কাজটির = (১/৪৫) + (১/৩০) অংশ
= (২ + ৩)/৯০
= ১/১৮ অংশ

মুনা ও ইফতি ১/১৮ অংশ কাজ করে = ১ মিনিটে
মুনা ও ইফতি ১ বা সম্পূর্ণ অংশ কাজ করে = (১৮ × ১)/১ মিনিটে
= ১৮ মিনিটে

প্রশ্ন: একটি গাড়ি 'ক' থেকে 'খ' এর দিকে ৪০ কি.মি./ঘন্টা বেগে যায়, তারপর সেখান থেকে ৬০ কি.মি./ঘণ্টা বেগে ফিরে আসে, তাহলে গাড়িটির গড় গতিবেগ কত?

সমাধান:
গড় গতিবেগ = {২ × (যাওয়ার গতিবেগ × ফিরে আসার গতিবেগ)}/(যাওয়ার গতিবেগ + ফিরে আসার গতিবেগ)
= {২(৪০ × ৬০)}/(৪০ + ৬০)
= ৪৮০০/১০০
= ৪৮ কি.মি./ ঘণ্টা

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ২৪ কি.মি./ঘন্টা বেগে চলছে। একজন ব্যাক্তি একই দিকে ১৮ কি.মি./ঘন্টা বেগে চলছে। ট্রেনটি যদি ব্যাক্তিটিকে ২ মিনিটে অতিক্রম করে, তাহলে ট্রেনটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আপেক্ষিক বেগ ঘণ্টায় = (২৪ - ১৮) = ৬ কি.মি. = ৬০০০ মিটার

∴ ৬০ মিনিটে অতিক্রম করে = ৬০০০ মিটার
∴ ২ মিনিটে অতিক্রম করে = (৬০০০ × ২)/৬০ মিটার
= ২০০ মিটার

অতএব, ট্রেনটির দৈর্ঘ্য ২০০ মিটার।

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি ঘণ্টায় ৪ কি.মি. দৌড়ে কত মিনিটে ২৮০০ মিটার পার হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ কি.মি. = ১০০০ মিটার
৪ কি.মি. = (৪ × ১০০০) মিটার
= ৪০০০ মিটার

৪০০০ মিটার পথ যায় = ৬০ মিনিটে
১ মিটার পথ যায় = ৬০/৪০০০ মিনিটে
২৮০০ মিটার পথ যায় = (৬০ × ২৮০০)/৪০০০ মিনিটে
= ৪২ মিনিটে

প্রশ্ন: স্রোতের অনুকূলে একটি নৌকা ৫ ঘণ্টায় ৩৫ কি.মি. যায়। যদি স্থির পানিতে ঐ নৌকার গতিবেগ ঘণ্টায় ৫ কি.মি. হয়, তবে নদীর স্রোতের গতিবেগ কত?

সমাধান:
স্রোতের অনুকূলে ৪ ঘণ্টায় নৌকা যায় = ৩৫ কি.মি.
স্রোতের অনুকূলে ১ ঘণ্টায় নৌকা যায় = ৩৫/৫ = ৭ কি.মি.

স্রোতের বেগ + নৌকার বেগ = ৭ কি.মি.
নৌকার বেগ = ৫ কি.মি.

∴ স্রোতের বেগ = ৭ - ৫ = ২ কি.মি./ঘণ্টা

প্রশ্ন: ৪০ কি.মি./ঘণ্টা এবং ২২ কি.মি./ঘণ্টা বেগে একই দিকে গতিশীল দুটি ট্রেন পরস্পরকে ১ মিনিটে অতিক্রম করে। প্রথম ট্রেনটির দৈর্ঘ্য ১২৫ মিটার হলে, দ্বিতীয় ট্রেনটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আপেক্ষিক গতি = ৪০ - ২২ = ১৮ কি.মি./ঘণ্টা
সময় = ১ মিনিট

∴ দূরত্ব = ১ম ট্রেনের দৈর্ঘ্য + ২য় ট্রেনের দৈর্ঘ্য
দুটি ট্রেনের মোট দৈর্ঘ্য = আপেক্ষিক গতি × সময়
= ১৮ × (৫০/৩) × ১
= ৩০০

সুতরাং, দ্বিতীয় ট্রেনের দৈর্ঘ্য = (৩০০ - ১২৫) মিটার
= ১৭৫ মিটার

প্রশ্ন: 'ক' ৫ মিনিটে ৫০০ শব্দ এবং 'খ' ৫ মিনিটে ৪০০ শব্দ টাইপ করে। দুজনে এক সাথে কাজ করে ৩৬০০ শব্দ মোট কত সময়ে টাইপ করবে?

সমাধান:
'ক' এবং 'খ' ৫ মিনিটে টাইপ করে = ( ৫০০ + ৪০০) = ৯০০ শব্দ

এখন,
৯০০ শব্দ টাইপ করে = ৫ মিনিটে
১ শব্দ টাইপ করে = ৫/৯০০ মিনিটে
৩৬০০ শব্দ টাইপ করে = (৫ × ৩৬০০)/৯০০ মিনিটে
= ২০ মিনিটে

প্রশ্ন: ৩০০ মিটার দীর্ঘ একটি ট্রেন একটি প্ল্যাটফর্মকে ৩৯ সেকেন্ডে এবং একটি সিগনাল পোস্টকে ১৮ সেকেন্ডে অতিক্রম করে। প্ল্যাটফর্মটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
প্ল্যাটফর্মটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার

∴ প্রশ্নমতে,
(৩০০ + ক)/৩৯ = ৩০০/১৮ 
⇒ ১১৭০০ = ৫৪০০ + ১৮ক
⇒ ১৮ক = ১১৭০০ - ৫৪০০
⇒ ১৮ক = ৬৩০০
∴ ক = ৩৫০ মিটার

প্রশ্ন: রাজু একটি কাজ নিলয়ের চেয়ে ৫০ দিন কম সময়ে করতে পারে। রাজুর কাজের গতি যদি নিলয়ের কাজের গতির তিনগুণ করা হয় তবে নিলয় একা ঐ কাজ কতদিনে শেষ করতে পারবে?

সমাধান:
মনে করি,
নিলয়ের কাজটি করতে লাগে = ৩ক দিন
রাজুর কাজটি করতে লাগে = ক দিন

∴ প্রশ্নমতে,
৩ক - ক = ৫০
⇒ ২ক = ৫০
∴ ক = ২৫ দিন

নিলয় একা ঐ কাজ শেষ করতে পারবে= ২৫ × ৩ = ৭৫ দিনে

প্রশ্ন: ক হতে খ এর দূরত্ব ৫৫ কি.মি.। ক ও খ এর গতিবেগ যথাক্রমে ৩ কি.মি./ঘন্টা এবং ৪ কি.মি./ঘন্টা। ক এর ২ ঘণ্টা পর খ, ক এর দিকে রওনা হলে খ কত কি.মি. গেলে ক এর দেখা পাবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ক ও খ এর গতিবেগ যথাক্রমে ৩ কি.মি./ঘন্টা ও ৪ কি.মি./ঘন্টা
ক ২ ঘণ্টায় যায় = ৩ × ২ = ৬ কি.মি.

∴ উভয়ের জন্য দূরত্ব বাকি থাকে =(৫৫ - ৬) = ৪৯ কি.মি.
উভয়ের একত্রে গতিবেগ = ৩ + ৪ = ৭ কি.মি./ঘণ্টা
বাকী দূরত্ব পার হতে লাগবে = ৪৯/৭ = ৭ ঘন্টা

যেহেতু খ এর গতিবেগ ৪ কি.মি./ঘন্টা
∴ খ ৭ ঘণ্টায় যায় ৭ × ৪ = ২৮ কি.মি.

প্রশ্ন: একটি বাস চট্টগ্রাম থেকে সকাল ৮ টায় ছেড়ে দুপুর ১২ টায় ঢাকায় পৌঁছায়। চট্টগ্রাম থেকে ঢাকার দূরত্ব ২৪০ কি.মি. হলে বাসটির গতিবেগ ঘণ্টায় কত ছিল?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দূরত্ব = ২৪০ কি.মি.
সময় = সকাল ৮ টা থেকে দুপুর ১২ টা = ৪ ঘণ্টা

আমরা জানি,
বেগ = দূরত্ব/সময়
= ২৪০ কি.মি./৪ ঘণ্টা
= ৬০ কি.মি./ঘণ্টা

অতএব, বাসটির গতিবেগ ঘণ্টায় ৬০ কি.মি./ঘণ্টা ছিল।

প্রশ্ন: একটি নল ৩ ঘণ্টায় একটি চৌবাচ্চা পূর্ণ করতে পারে। আরো দুটি নল আছে যেগুলো ৭ ঘণ্টায় এবং ২১ ঘণ্টায় চৌবাচ্চাটি খালি করতে পারে। যদি তিনটি নল একসাথে খুলে দেওয়া হয় তাহলে চৌবাচ্চাটি কত ঘণ্টায় পূর্ণ হবে?

সমাধান:
১ম নল দ্বারা ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = ১/৩ অংশ
২য় ও ৩য় নল দ্বারা ১ ঘণ্টায় খালি হয় = (১/৭) + (১/২১) অংশ
= (৩ + ১)/২১
= ৪/২১

নল তিনটি দ্বারা ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = (১/৩) - (৪/২১) অংশ
= (৭/২১) - (৪/21) অংশ
= (৭ - ৪)/২১ অংশ
= ৩/২১ অংশ
= ১/৭ অংশ

নল তিনটি দ্বারা ১/৭ অংশ পূর্ণ হয় = ১ ঘণ্টায়
∴ নল তিনটি দ্বারা ১ অংশ (সম্পূর্ণ) পূর্ণ হয় = (১ × ৭) = ৭ ঘণ্টায়