১৪তম - ২০তম গ্রেড পরীক্ষার প্রস্তুতি

উৎস: গণিত, এসএসসি প্রোগ্রাম, উন্মুক্ত বিশ্ববিদ্যালয়।

প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজের দৈর্ঘ্য ২০ মিটার ও প্রস্থ ১৫ মিটার। চতুর্ভুজটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
চতুর্ভুজের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২(২০ + ১৫) মিটার
= ৭০ মিটার

প্রশ্ন: ∠A ও ∠B পরস্পর সম্পূরক কোণ। ∠A = 75° হলে ∠B = কত?

সমাধান:

∠A + ∠B = 180° [পরস্পর সম্পূরক কোণ]
⇒ ∠B = 180° - 75°
∴ ∠B = 105°

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও লম্ব যথাক্রমে 17 সে.মি. এবং 15 সে.মি হলে ভূমির পরিমাণ কত?

সমাধান:

পিথাগোরাসের উপপাদ্য হতে আমরা জানি,
অতিভূজ² = ভূমি² + লম্ব²
∴ 17² = ভূমি² + 15²
⇒ ভূমি² = 289 - 225
⇒ ভূমি = √64
∴ ভূমি = 8 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের একটি কোণ যদি ২য় কোণের তিনগুণ এবং ৩য় কোণ যদি ২য় কোণের চেয়ে ৩০ ডিগ্রি বড় হয় তবে ৩য় কোণটি কত ডিগ্রি?

সমাধান:
ধরি,
২য় কোণ = ক
একটি কোণ = ৩ক
৩য় কোণ = ক + ৩০°

শর্তমতে,
ক + ৩ক + ক + ৩০° = ১৮০°
⇒ ৫ক = ১৮০° - ৩০°
⇒ ক = ১৫০°/৫
∴ ক = ৩০°

∴ ৩য় কোণ = ৩০° + ৩০° = ৬০°

প্রশ্ন: রেখাংশের প্রান্তবিন্দুর সংখ্যা-

সমাধান:
রেখাংশ:
- একটি রেখার উপর দুইটি ভিন্ন বিন্দু হলে ঐ বিন্দু দুইটিসহ তাদের অন্তর্বর্তী সকল বিন্দুর সেটকে বিন্দু দুইটির সংযোজক রেখাংশ বলে।
- ভিন্ন বিন্দু দুইটিকে রেখাংশের প্রান্তবিন্দু বলে। আবার প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী সকল বিন্দু ঐ রেখাংশের উপর অবস্থিত।
- অর্থাৎ, রেখাংশ হলো রেখার একটি সসীম অংশ। তাই রেখাংশের দুইটি প্রান্তবিন্দু থাকে।

• রেখা সম্পর্কিত কিছু গুরুত্বপূর্ণ তত্ত্ব:
- রেখার কোনো প্রান্তবিন্দুর নেই।
- রশ্মির একটি প্রান্তবিন্দু আছে।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ১ : ২ : ৩ হলে, ত্রিভুজটি হবে-

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন ত্রিভুজের একটি কোণ যদি অপর দুইটি কোণের সমষ্টির সমান হয়, তবে ত্রিভুজটি সমকোণী হবে।

দেওয়া আছে,
ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ১ : ২ : ৩

এখানে,
১ + ২ = ৩
অর্থাৎ, দুইটি কোণের সমষ্টি তৃতীয় কোণের সমান।

∴ ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে।

প্রশ্ন: যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয় সেই চতুর্ভুজকে বলা হয় -

সমাধান:
সামান্তরিক: যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে সামান্তরিক বলে।
বর্গ: যে চতুর্ভুজের চারটি বাহু সমান ও বিপরীত কোণদ্বয় সমানএবং কোণগুলো সমকোণ তাকে বর্গ বলে।
আয়তক্ষেত্র: যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং কোণগুলো সমকোণ তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।

প্রবৃদ্ধ কোণ: দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলা হয়। 

পূরক কোণ: দুইটি কোণের ডিগ্রি পরিমাপের সমষ্টি এক সমকোণ বা 90° হলে, কোণ দুইটিকে পরস্পরের পূরক কোণ বলা হয়।

সম্পূরক কোণ: দুইটি কোণের ডিগ্রি পরিমাপের সমষ্টি দুই সমকোণ বা 180° হলে, কোণ দুইটিকে পরস্পরের সম্পূরক কোণ বলা হয়। 

বিপ্রতীপ কোণ: যদি দুইটি কোণের একটির বাহুদ্বয় অপরটির বাহুদ্বয়ের বিপরীত রশ্মি হয় এবং কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু একই হয়, তবে কোণ দুইটিকে বিপ্রতীপ কোণ বলে।

প্রশ্ন: রম্বসের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র কোনটি?

সমাধান:
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল 

প্রশ্ন: AC এর দৈর্ঘ্য কত?
 


সমাধান:
ধরি,
AC এর দৈর্ঘ্য = ক মিটার

পীথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী,
ক^২ = ২০^২ + ২১^২
⇒ ক^২ = ৪০০ + ৪৪১
⇒ ক^২ = ৮৪১
⇒ ক^২ = ২৯^২
∴ ক = ২৯ মিটার

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 4√3 বর্গ মিটার হলে এর পরিসীমা কত মিটার?

সমাধান:
ধরি,
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার

∴ ক্ষেত্রফল = (√3/4) a² বর্গমিটার

প্রশ্নমতে,
(√3/4) a² = 4√3
বা, a²/4 = 4
বা, a² = 16
∴ a = 4

∴ সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 3a
= 3 × 4
= 12 মিটার

প্রশ্ন: ৫৭° কোণের বিপ্রতীপ কোণ কত?

সমাধান:
বিপ্রতীপ কোণ:
যদি দুইটি কোণের একটির বাহুদ্বয় অপরটির বাহুদ্বয়ের বিপরীত রশ্মি হয় এবং কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু একই হয়, তবে কোণ দুইটিকে বিপ্রতীপ কোণ বলে।

যেহেতু, বিপ্রতীপ কোণ পরস্পর সমান।
অর্থাৎ , ৫৭° কোণের বিপ্রতীপ কোণ = ৫৭°

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে ভর কেন্দ্রের দূরত্ব 18 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির মধ্যমা কত?

সমাধান:

ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় যে বিন্দুতে মিলিত হয় থাকে ঐ ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র বলে।
∴ XE : EF = 2 : 1
⇒ 18 : EF = 2 : 1
⇒ 18/EF = 2/1
⇒ 2EF = 18
⇒ EF = 9

∴ ত্রিভুজটির মধ্যমা XF = XE + EF = 18 + 9 = 27 সে.মি.

প্রশ্ন: এই প্রতিক দ্বারা কি নির্দেসগ করা হয়?

সমাধান:

প্রশ্ন: একটি বর্গাকৃতি বাগানের ক্ষেত্রফল ১ হেক্টর। বাগানটির পরিসীমা কত মিটার?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ হেক্টর = ১০০০০ বর্গমিটার
বাগানটির এক পাশের দৈর্ঘ্য = √(১০০০০)
= ১০০ মিটার

∴ বাগানটির পরিসীমা = ৪ × এক পাশের দৈর্ঘ্য
= ৪ × ১০০
= ৪০০ মিটার

প্রশ্ন: ১৩ মিটার লম্বা একটি মই খাড়া দেয়ালের সাথে হেলান দেওয়া আছে। মইয়ের একপ্রান্ত মাটি হতে ১২ মিটার উচুতে দেয়ালকে স্পর্শ করে। মই এর অপরপ্রান্ত হতে দেয়ালের দূরত্ব কত?

সমাধান:
ধরি,
মই এর অপর প্রান্ত হতে দেওয়ালের দূরত্ব = ক মিটার
তাহলে, পীথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী,
১৩^২ = ১২^২ + ক^২
⇒ ক^২ = ১৬৯ - ১৪৪
⇒ ক^২ = ২৫
∴ ক = ৫ মিটার

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত 2 : 3 এবং ক্ষেত্রফল 75 বর্গসে.মি. হলে, কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত = 2 : 3
ধরি, কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 2a এবং 3a

প্রশ্নমতে,
(1/2) × 2a × 3a = 75
⇒ 6a2/2 = 75
⇒ 3a2 = 75
⇒ a2 = 75/3
⇒ a2 = 25
∴ a = 5

∴ রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য (2 × 5) = 10 সে.মি. এবং (3 × 5) = 15 সে.মি.

প্রশ্ন: নিচে তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য সেন্টিমিটারে দেয়া হলো। কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যে কোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।

এখানে,
ক্ষুদ্রতম দুইটি বাহুকে তৃতীয় বাহুর সাথে তুলনা করে পাই,
ক) ২ + ৫ > ৬ ;ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব
খ) ২ + ৩ < ৮ ;ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়
গ) ৬ + ৫ < ১৩ ;ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়
ঘ) ৮ + ৯ < ১৮ ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়

প্রশ্ন: সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুদ্বয় বর্ধিত করলে উৎপন্ন কোণদ্বয় হবে-

সমাধান:
ত্রিভুজ সংক্রান্ত কিছু অনুসিদ্ধান্ত:
১) ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
২) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয় বর্ধিত করলে উৎপন্ন কোণদ্বয় স্থুলকোণ হবে।
৩) সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয় পরস্পর সমান হবে

• সন্নিহিত কোণ:
- যদি সমতলে দুইটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু হয় ও তাদের একটি সাধারণ রশ্মি থাকে এবং কোণদ্বয় সাধারণ রশ্মির বিপরীত পার্শ্বে অবস্থান করে, তবে ঐ কোণদ্বয়কে সন্নিহিত কোণ বলে।
- এরূপ দুইটি কোণের একটিকে অপরটির সন্নিহিত কোণও বলা হয়।