ডেইলি কুইজ [২০০ দিন]

প্রশ্ন: (5x)⁰ এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি, কোনো non-zero সংখ্যার ঘাত 0 হলে তার মান হয় 1।

সুতরাং:
(5x)⁰ = 1, যদি 5x ≠ 0, অর্থাৎ x ≠ 0।

কিন্তু যদি:
x = 0 হয়, তাহলে (5 × 0)⁰ = 0⁰, যা অসংজ্ঞায়িত (undefined)।

প্রশ্ন: (1/2)^x = 1 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
(1/2)^x = 1
⇒ (1/2)^x = (1/2)⁰
∴ x = 0

প্রশ্ন: 5.2ⁿ - 4.2^{n - 2} = ?

সমাধান:
5.2ⁿ - 4.2^{n - 2}
= 5.2ⁿ - 2².2^{n - 2}
= 5.2ⁿ - 2^{2 + n - 2}
= 5.2ⁿ - 2ⁿ
= 2ⁿ (5 - 1)
= 2ⁿ . 4
= 2ⁿ . 2²
= 2^{n + 2}

প্রশ্ন: 9^x + 9^x + 9^x এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
9^x + 9^x + 9^x
= 9^x (1 + 1 + 1)
= 3. 9^x
= 3. 3^2x
= 3^{2x + 1}

প্রশ্ন: (a/b)^{x - 3} = (b/a)^{x - 5} হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
(a/b)^{x - 3} = (b/a)^{x - 5}
⇒ (a/b)^{x - 3} = (a/b)^{5 - x}
[বেস এর সংখ্যা উল্টো করে লিখলে পাওয়ার-এ মাইনাস আসে]
⇒ x - 3 = 5 - x
⇒ x + x = 5 + 3
⇒ 2x = 8
∴ x = 4

প্রশ্ন: (2x^{- 1})² ÷ x^{- 5} = কত?

সমাধান:
(2x^{- 1})² ÷ x^{- 5}
= 2² × x^{- 2} ÷ x^{- 5}
= 4 × x^{- 2 - (- 5)}
= 4 × x^{- 2 + 5}
= 4 × x³
= 4x³

প্রশ্ন: (- 3)³ × (- 1/2)² = ?

সমাধান:
(- 3)³ × (- 1/2)²
= (- 3) (- 3) (- 3) × (- 1/2) (- 1/2)
= - 27 × (1/4)
= - 27/4

প্রশ্ন: (x²)³ কে x³ দ্বারা গুণ করলে কত হবে?

সমাধান:
(x²)³ × x³
= x⁶ × x³
= x^{6 + 3}
= x⁹

প্রশ্ন: (2^{- 1} + 5^{- 1})^{- 1} = ?

সমাধান:
(2^{- 1} + 5^{- 1})^{- 1}
= {(1/2) + (1/5)}^{- 1}
= {(5 + 2)/10}^{- 1}
= (7/10)^{- 1}
= 1/(7/10)
= 1 × 10/7
= 10/7

প্রশ্ন: (3√3 × √5)⁴ = কত?

সমাধান:
(3√3 × √5)⁴
= (3√3)⁴ × (√5)⁴
= (3)⁴ × (√3)^{2 × 2} × (√5)^{2 × 2}
= 3⁴ × 3² × 5²
= 81 × 9 × 25
= 18225

প্রশ্ন: কোন শর্তে a⁰ = 1?

সমাধান:
যদি a ≠ 0, তাহলে a⁰ = 1

সূচকের নিয়ম অনুযায়ী:
a^m ÷ a^m = a^{m − m} = a⁰

কিন্তু যেহেতু a^m ÷ a^m = 1 (যেখানে a ≠ 0), তাই:

a⁰ = 1

প্রশ্ন:  এর মান কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: (8)^2/3 + (81)^1/4 = 7k হয়, তবে k এর মান কত?

সমাধান:
(8)^2/3 + (81)^1/4 = 7k
⇒ (2³)^2/3 + (3⁴)^1/4 = 7k
⇒ 2^{3 × (2/3)} + 3^{4 × (1/4)} = 7k
⇒ 4 + 3 = 7k
⇒ 7 = 7k
∴ k = 1

প্রশ্ন: log₂ log_√ee² = ?

সমাধান: 
log₂ log_√ee²
= log₂ log_√e√e^{2 × 2}
= log₂ log_√e√e⁴
= log₂ (4 log_√e√e)
= log₂ (4 × 1)
= log₂ 4
= log₂ 2²
= 2 log₂2
= 2 × 1
= 2

প্রশ্ন: log₃(1/9) = ?

সমাধান: 
log₃(1/9)
= log₃9^{- 1}
= (- 1) log₃9
= (- 1) log₃3²
= (- 1)(2) log₃3
= - 2 × 1
= - 2

প্রশ্ন: log_√3243 = ?

সমাধান: 
log_√3243
= log_√33⁵
= 5 log_√33
= 5 log_√3(√3)²
= 5 × 2 log_√3√3
= 5 × 2
= 10

প্রশ্ন: (1/5) log_x (2187√3) = 1 হলে x এর মান কত?

সমাধান: 
(1/5) log_x (2187√3) = 1
⇒ log_x (2187√3)^1/5 = 1
⇒ x = (2187√3)^1/5
⇒ x = (243 × 9 × √3)^1/5
⇒ x = (3⁵ × 3² × √3)^1/5
⇒ x = (3⁵ × √3⁴ × √3)^1/5
⇒ x = (3⁵ × √3⁵)^1/5
⇒ x = {(3√3)⁵}^1/5
∴ x = 3√3

প্রশ্ন: log_x1/9 = - 2 হলে x এর মান কত?

সমাধান: 
log_x1/9 = - 2
⇒ x^{- 2} = 1/9
⇒ x^{- 2} = (1/3)²
⇒ x^{- 2} = 3^{- 2}
⇒ x = 3

প্রশ্ন: 5 log3 - log9 = ?

সমাধান:
5 log3 - log9
= 5 log3 - log3²
= 5 log3 - 2 log3
= (5 - 2) log3
= 3 log3
= log3³
= log27

প্রশ্ন: log₁₀(x - 10) = 1 হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log₁₀(x - 10) = 1
⇒ x - 10 = 10¹
⇒ x = 10 + 10
∴ x = 20

প্রশ্ন: log_p2 = p এবং log_p5 = q হলে, logp50 = কত?

সমাধান:
log_p50 = log_p(2 × 5²)
= log_p2 + logp5²
= log_p2 + 2log_p5 
= p + 2q [যেহেতু, log_p2 = p এবং log_p5 = q] 

প্রশ্ন: কোন শর্তে log_aa = 1?

সমাধান:
log_⁡aa = 1 এই লগারিদমিক অভিব্যক্তিটির মান 1 হয় তখনই যখন ভিত্তি (base) এবং লঘুগুণনীয় (argument) একই হয় এবং উভয়েই ধনাত্মক, এবং ভিত্তি a ≠ 1 হয়।

লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী:
log⁡_aa = x
⇒ a^x = a

এখানে a^x = a হবে তখনই যখন x = 1। অর্থাৎ:
log⁡_aa = 1 যদি a > 0 এবং a ≠ 1

প্রশ্ন: log3 + log9 + log27 + ......... ধারাটির প্রথম সাতটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
log3 + log9 + log27 + ......... প্রথম সাতটি পদের সমষ্টি
= log3 + log3² + log3³ + ......... প্রথম সাতটি পদের সমষ্টি
= log3 + 2 log3 + 3 log3 + ......... প্রথম সাতটি পদের সমষ্টি
= (1 + 2 + 3 + ..................... + 7) log3
= {7(7 + 1)/2} log3
= 28 log3

প্রশ্ন: 3√3 এর 3 ভিত্তিক লগ কত?

সমাধান: 
3√3 এর 3 ভিত্তিক লগ 
= log₃3√3
= log₃3¹.3^1/2
= log₃3^3/2
= (3/2) log₃3
= (3/2) . 1
= 3/2

প্রশ্ন: x⁶ = 729 হলে, log₃x = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
x⁶ = 729
⇒ x⁶ = 3⁶
∴ x = 3

এখন,
log₃x
= log₃3
= 1