ডেইলি কুইজ [২০০ দিন]

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে x/3, x/3 এবং 4x/3 হলে, ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণের মান কত ডিগ্রি? 

সমাধান: 
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°
বা, x/3 + x/3 + 4x/3 = 180°
বা, (x + x + 4x)/3 = 180°
বা, 6x/3 = 180°
বা, 2x = 180°
∴ x = 90°

∴ বৃহত্তম কোণটি হবে = 4x/3
= {(4 × 90)/3}°
= 120°  ।

প্রশ্ন: সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল কোনটি? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হচ্ছে - (ভূমি × উচ্চতা)। 

অন্যদিকে, 
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = বাহু^২  । 
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ  । 
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল । 

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজে কতটি সমকোণ থাকতে পারে?

সমাধান: 
- একটি ত্রিভুজে ১টি সমকোণ থাকতে পারে। 
- সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ এক সমকোণ, অন্য দুটি কোণের সমষ্টি এক সমকোণ। 
- ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি হয় দুই সমকোণ। 
- সমকোণী ত্রিভূজের সমকোণের বিপরীত বাহুকে অতিভূজ বলে, অতিভূজের বিপরীত কোণ সমকোণ। 
- সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজই বৃহত্তম বাহু।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্র ও একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা পরস্পর সমান। যদি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ তার দৈর্ঘ্যের অর্ধেক হয়, তবে বর্গক্ষেত্র ও আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অনুপাত কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ২ক একক 
∴ আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ক একক 
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(২ক + ক) একক 
= ৬ক একক 

আবার, 
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৬ক 
∴ বর্গক্ষেত্রের একবাহু = ৬ক/৪ 
= ৩ক/২ 

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (৩ক/২)^২ = (৯ক^২)/৪ 
∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (২ক × ক) = ২ক^২ 

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল : আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (৯ক^২)/৪ : (২ক^২) 
= (৯/৪) : ২ 
= (৯/৪) × ৪ : ২ × ৪ 
= ৯ : ৮ ।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থকোণ তিনটির সমষ্টি কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তা বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান। 
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180° 
∴ ∠a + ∠b + ∠c = 180° 

Δ ABC এ 
∠x = ∠a + ∠b 
∠y = ∠b + ∠c 
∠z = ∠a + ∠c 

∴ ∠x + ∠y + ∠z = ∠a + ∠b + ∠b + ∠c + ∠a + ∠c 
= 2(∠a + ∠b + ∠c) 
= 2 × 108° 
= 360° ।

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৯০০ বর্গমিটার হলে, এর পরিসীমা কত মিটার হবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৯০০ বর্গমিটার 

∴ বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য = √৯০০ মিটার 
= ৩০ মিটার 

আমরা জানি, 
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × একবাহুর দৈর্ঘ্য 
= ৪ × ৩০ মিটার 
= ১২০ মিটার 

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ১২০ মিটার।

সামান্তরিক: 
- যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোনগুলো সমকোণ নয় তাকে সামান্তরিক বলে। 

ট্রাপিজিয়াম: 
- যে চতুর্ভুজের দুটি বাহু পরস্পর সমান্তরাল কিন্তু অসমান অর্থাৎ সমান নয় তাকে ট্রাপিজিয়াম বলে। 

আয়তক্ষেত্র: 
- যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং কোণগুলো সমকোণ তাকে আয়তক্ষেত্র বলে। 

বর্গক্ষেত্র: 
- যে চতুর্ভুজের চারটি বাহুই পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং কোনগুলো সমকোণ তাকে বর্গক্ষেত্র বলে।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ১ : ১ : ২ হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের ত্রিভুজ? 

সমাধান: 
ধরি, 
কোণ তিনটি যথাক্রমে x, x এবং ২x 

প্রশ্নমতে,
x + x + ২x = ১৮০° 
বা, ৪x = ১৮০°
∴ x = ৪৫°
এবং ২x = ৯০°

সুতরাং, ত্রিভুজটি সমকোণী।

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজে প্রত্যেকটি কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রি?

সমাধান: 
- সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ ৬০°। 
- ত্রিভুজের যেকোনাে শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশকে মধ্যমা বলে। 
- সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি মধ্যমা পরস্পর সমান। 
- সমবাহু ত্রিভুজে প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্যে সমান এবং প্রতিটি কোণ পরস্পর সমান।

প্রশ্ন: আয়তাকার একটি মাঠের দৈর্ঘ্য তার প্রস্থের চেয়ে ১২ মিটার বেশি। যদি মাঠটির পরিসীমা ১৩৬ মিটার হয়, তবে এর দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান: 
ধরি, 
প্রস্থ = x মিটার 
দৈর্ঘ্য = (x + ১২) মিটার 

শর্তমতে, 
২(x + ১২ + x) = ১৩৬ 
বা, ২x + ১২ = ৬৮ 
বা, ২x = ৬৮ - ১২ 
বা, ২x = ৫৬ 
বা, x = ৫৬/২ 
∴ x = ২৮ 
অর্থাৎ, প্রস্থ = ২৮ মিটার 

∴ দৈর্ঘ্য = (২৮ + ১২) মিটার 
= ৪০ মিটার।

প্রশ্ন: কোন তিনটি বাহু দিয়ে ত্রিভুজ গঠন করা যাবে না? 

সমাধান: 
তিনটি বাহু দেয়া থাকলে তাদের দ্বারা ত্রিভুজ গঠন করার শর্ত হলো - 
"যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হতে হবে"। 

এখানে, 
অপশন ক) তে, ২ + ৪ = ৬ > ৭; যা দ্বারা ত্রিভুজ গঠন সম্ভব নয়। 
অপশন খ) তে, ৩ + ৪ = ৭ > ৬; যা দ্বারা ত্রিভুজ গঠন সম্ভব। 
অপশন গ) তে, ২ + ৪ = ৬ > ৫; যা দ্বারা ত্রিভুজ গঠন সম্ভব। 
অপশন ঘ) তে, ৪ + ৫ = ৯ < ৬; যা দ্বারা ত্রিভুজ গঠন সম্ভব।