নতুনদের বিসিএস প্রস্তুতি - ২০০ দিনে পুরো সিলেবাস

প্রশ্ন: a + b + c = 12 এবং a² + b² + c² = 50 হলে, ab + bc + ac = ?

সমাধন:
দেওয়া আছে, 
a + b + c = 12
a² + b² + c² = 50

আমরা জানি, 
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ac)
⇒ 12² = 50 + 2(ab + bc + ac)
⇒ 144 = 50 + 2(ab + bc + ac)
⇒ 2(ab + bc + ac) = 144 - 50
⇒ 2(ab + bc + ac) = 94
⇒ ab + bc + ac = 94/2 = 47
∴ ab + bc + ac = 47

প্রশ্ন: p² - 1 - q(q - 2) এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান: 
প্রদত্ত রাশি,
p² - 1 - q(q - 2)
= p² - 1 - q² + 2q
= p² - (q² - 2q + 1)
= p² - (q - 1)²
= (p - q + 1)(p + q - 1)

প্রশ্ন: (x + 5) + 8 = 4(x + 1) হলে x এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
(x + 5) + 8 = 4(x + 1)
⇒ x + 13 = 4x + 4
⇒ 4x - x = 13 - 4
⇒ 3x = 9
⇒ x = 9/3
∴ x = 3

প্রশ্ন: 5x + 3 ≥ 18 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
5x + 3 ≥ 18 
⇒ 5x + 3 - 3 ≥ 18 - 3 ; [উভয়পাশে 3 বিয়োগ করে পাই] 
⇒ 5x ≥ 15
⇒ 5x/5 ≥ 15/5 ; [উভয়পাশে 5 দ্বারা ভাগ করে পাই] 
∴ x ≥ 3

প্রশ্ন: সমাধান সেট নির্ণয় করুন: y² = √3y

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
y² = √3y
⇒ y² - √3y = 0
⇒ y(y - √3) = 0
হয়, 
∴ y = 0
অথবা, 
⇒ y - √3 = 0
∴ y = √3

সুতরাং, সমাধান সেট = {0, √3} 

প্রশ্ন: সরল করুন: (4x + 3y)² + 2(4x + 3y)(4x - 3y) + (4x - 3y)²

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
(4x + 3y)² + 2(4x + 3y)(4x - 3y) + (4x - 3y)²

ধরি, 
(4x + 3y) = a
(4x - 3y) = b

প্রদত্ত রাশি, 
a² + 2ab + b²
= (a + b)²
= [(4x + 3y) + (4x - 3y)]²
= (8x)²
= 64x²

প্রশ্ন: P(x) = x³ + 3x² + 2x হলে, P(x) এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
P(x) = x³ + 3x² + 2x
= x(x² + 3x + 2)
= x(x² + 2x + x + 2)
= x{x(x + 2) + 1(x + 2)}
∴ P(x) = x(x + 1)(x + 2) 

সুতরাং, P(x) এর একটি উৎপাদক (x + 1)। 

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার প্রথমটির তিনগুণের সাথে দ্বিতীয়টির দুইগুণ যোগ করলে 59 হয়। আবার, প্রথমটির দুইগুণ থেকে দ্বিতীয়টি বিয়োগ করলে 9 হয়। সংখ্যাদ্বয় নির্ণয় করুন। 

সমাধান: 
ধরি,
প্রথম সংখ্যা = x
দ্বিতীয় সংখ্যা = y

প্রশ্নানুসারে,
প্রথম সংখ্যার তিনগুণের সাথে দ্বিতীয় সংখ্যার দুইগুণ যোগ করলে 59
3x + 2y = 59 .........(1) 

এবং প্রথম সংখ্যার দুইগুণ থেকে দ্বিতীয় সংখ্যা বিয়োগ করলে 9
⇒ 2x - y = 9
∴ y = 2x - 9 .........(2) 

এই মান (1) নং সমীকরণে বসাই,
⇒ 3x + 2(2x - 9) = 59
⇒ 3x + 4x - 18 = 59
⇒ 7x = 59 + 18
⇒ 7x = 77
∴ x = 11

এখন x = 11 বসিয়ে y বের করি,
⇒ y = 2 × 11 - 9
⇒ y = 22 - 9
∴ y = 13

সুতরাং, সংখ্যাদ্বয় হলো 11 এবং 13।

প্রশ্ন: |3x + 2| ≤ 11 অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 |3x + 2| ≤ 11 
⇒ - 11 ≤ 3x + 2 ≤ 11
⇒ - 11 - 2 ≤ 3x + 2 - 2 ≤ 11 - 2
⇒ - 13 ≤ 3x ≤ 9
⇒ - 13/3 ≤ 3x/3 ≤ 9/3
∴ - 13/3 ≤ x ≤ 3

প্রশ্ন: 3x + 6y = 12 সমীকরণের কতটি সমাধান আছে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
3x + 6y = 12
⇒ 3(x + 2y) = 12
⇒ x + 2y = 12/3
⇒ x + 2y = 4
⇒ 2y = 4 - x
∴ y = (4 - x)/2

এখন, সমীকরণটিতে x ও y দুইটি চলক। x চলকের বিভিন্ন বাস্তব মানের জন্য y চলকের বিভিন্ন বাস্তব মান পাওয়া যাবে। 
সুতরাং, সমীকরণটির সমাধান অসীম। 
যেমন,
যদি x = 2 হয়, তবে, y = (4 - 2)/2 = 2/2 = 1
যদি x = 4 হয়, তবে, y = (4 - 4)/2 = 0/2 = 0
যদি x = - 2 হয়, তবে, y = (4 + 2)/2 = 6/2 = 3
অর্থাৎ, এভাবে অসংখ্য জোড়া মান পাওয়া যায়।

প্রশ্ন: যদি 2x + (2/x) = 6 হয়, তবে x² + 1/(x²) এর মান কত?  

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
2x + (2/x) = 6
⇒ 2{x + (1/x)} = 6
∴ x + (1/x) = 3 ……(1)

আমরা জানি,
x² + (1/x²)
= {x + (1/x)}² - 2
= 3² - 2
= 9 - 2
= 7

প্রশ্ন: a² - 5a - 6 এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a² - 5a - 6
= a² - 6a + a - 6
= a(a - 6) + 1(a - 6)
= (a - 6)(a + 1)

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি 12। সংখ্যাটি থেকে 18 বিয়োগ করলে অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করে। সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
ধরি, দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যাটি = 10x + y ; [যেখানে x = দশকের অংক, y = এককের অংক]

দেওয়া আছে, 
x + y = 12 ……(1)

আবার, 
আর সংখ্যাটি থেকে 18 বিয়োগ করলে অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করে। অর্থাৎ, 
⇒ (10x + y) - 18 = 10y + x
⇒ 10x + y - 18 = 10y + x
⇒ 10x - x + y - 10y = 18
⇒ 9x - 9y = 18
⇒ 9(x - y) = 18
∴ x - y = 2 ……(2)

এখন সমীকরণ (1) ও (2) যোগ করে পাই, 
⇒ (x + y) + (x - y) = 12 + 2
⇒ 2x = 14
∴ x = 7
তাহলে (1) থেকে পাই,
⇒ 7 + y = 12
∴ y = 5

সুতরাং, সংখ্যাটি = 10x + y = 10 × 7 + 5 = 75

প্রশ্ন: |x + 3 | < 4 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 3x + 2 < n হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
|x + 3 | < 4 
⇒ - 4 < x + 3 < 4
⇒ - 4 - 3 < x + 3 - 3 < 4 - 3 ; [উভয় পাশে 3 বিয়োগ করে]
⇒ - 7 < x < 1
⇒ - 21 < 3x < 3 ; [উভয় পাশে 3 দ্বারা গুণ করে] 
⇒ - 21 + 2 < 3x + 2 < 3 + 2 ; [উভয় পাশে 2 যোগ করে] 
∴ - 19 < 3x + 2 < 5 .......(1)

এখন, (1) নং কে  m < 3x + 2 < n এর সাথে তুলনা করে পাই, 
m = - 19, n = 5 

অতএব m = - 19 এবং n = 5

প্রশ্ন: যদি 5x - y = 9 এবং x = 2y হয়, তবে y এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
5x - y = 9 এবং x = 2y ......(1) 
⇒ 5(2y) - y = 9
⇒ 10y - y = 9
⇒ 9y = 9
⇒ y = 9/9
∴ y = 1

প্রশ্ন: a² + b² = 74 এবং ab = 35 হলে, a + b এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a² + b² = 74
ab = 35

আমরা জানি, 
a² + b² = (a + b)² - 2ab
⇒ 74 = (a + b)² - (2 × 35)
⇒ (a + b)² = 74 + 70
⇒ (a + b)² = 144
⇒ √(a + b)² = √144
∴ a + b = 12

প্রশ্ন: (9k² + 6k - 24) এবং (3k² + 11k + 6) এর সাধারণ উৎপাদক কোনটি?

সমাধান: 
প্রথম বহুপদীকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি,
9k² + 6k - 24
= 3(3k² + 2k - 8)
= 3(3k² + 6k - 4k - 8)
= 3{3k(k + 2) - 4(k + 2)}
= 3(3k - 4)(k + 2)

এবং দ্বিতীয় বহুপদীকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি,
3k² + 11k + 6
= 3k² + 9k + 2k + 6
= 3k(k + 3) + 2(k + 3)
= (3k + 2)(k + 3)

সুতরাং, কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই। 
সঠিক উত্তর: ঘ) কোনটিই নয়

প্রশ্ন: যদি x² + qx + 6 = 0 এর মূল দুইটি সমান হয় এবং q > 0 হয়, তবে q এর মান কত?

সমাধান:  
দ্বিঘাত সমীকরণ ax² + bx + c = 0-এর মূল সমান হওয়ার শর্ত হলো নিশ্চায়ক শূন্য। 
অর্থাৎ, 
q² - 4 × 1 × 6 = 0
⇒ q² = 24
⇒ q = √24 = 2√6
∴ q = 2√6

যেহেতু, q > 0 সুতরাং, q = 2√6

প্রশ্ন: - 3 < x < 5 হলে, পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ করুন।

সমাধান:
এখানে,
অসমতাটির উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমার গড় = (- 3 + 5)/2
= 2/2
= 1

এখন,
- 3 < x < 5
⇒ - 3 - 1 < x - 1 < 5 - 1 [উভয়পক্ষ থেকে 1 বিয়োগ করে]
⇒ - 4 < x - 1 < 4
⇒ |x - 1| < 4

∴ পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ: |x - 1| < 4

প্রশ্নটি হওয়া উচিত ছিল, (x - 1)² = 0 সমীকরণটির মূল কয়টি?
প্রশ্নে অসঙ্গতি থাকায় প্রশ্নটি বাতিল করা হয়েছে।

প্রশ্ন: (x - 1)² সমীকরণটির মূল কয়টি?

সমাধান: 
যেহেতু এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ (ঘাত ২), তাই এর মূল বা সমাধান সংখ্যা হবে দুইটি। মূল নির্ণয়ের জন্য আমরা উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে পারি। 
⇒ (x - 1)² = 0
⇒ x - 1 = 0
∴ x = 1
যেহেতু সমীকরণটি (x - 1) এর পূর্ণবর্গ, তাই উভয় মূলই সমান হবে। 
সুতরাং, মূল দুটি হলো 1 এবং 1

প্রশ্ন: x² - 10xy - 11y² এর উৎপাদক -

সমাধান: 
= x² - 10xy - 11y2
= x² - 11xy + xy - 11y²
= x(x - 11y) + y(x - 11y)
= (x - 11y)(x + y)

প্রশ্ন: যদি (x - y) = 4 এবং xy = 5 হয়, তাহলে, x³ - y³ + 5(x + y)² = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x - y = 4 এবং xy = 5

এখন, 
x³ - y³ = (x - y)³ + 3xy(x - y)
= 4³ + 3 × 5 × 4
= 64 + 60
= 124

এবং 
(x + y)² = (x - y)² + 4xy
= 4² + 4 × 5
= 16 + 20
= 36

প্রদত্ত রাশি, 
x³ - y³ + 5(x + y)²
=  124 + 5 × 36
= 124 + 180
= 304

প্রশ্ন: (m/3) + 3 = (2m/15) + 6 সমীকরণে m-এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
(m/3) + 3 = (2m/15) + 6
⇒ (m/3) - (2m/15) = 6 - 3
⇒ (5m - 2m)/15 = 3
⇒ 3m/15 = 3
⇒ 3m = 45
⇒ m = 45/3
∴ m = 15

প্রশ্ন: যদি x + y = 10 এবং x - y = 2 হয় , তাহলে 2x² + 2y² = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 10 এবং x - y = 2

∴ 2x² + 2y²
= 2(x² + y²)
= {(x + y)² + (x - y)²}
= (10)² + (2)²
= 100 + 4 
= 104

প্রশ্ন: একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের হর, লব অপেক্ষা 2 বেশি। ভগ্নাংশটির লব ও হরের বর্গের অন্তর 32। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরি ভগ্নাংশটি হলো,
x/(x + 2) ; [কারণ হর লব অপেক্ষা 2 বেশি]

প্রশ্নমতে,
লব ও হরের বর্গের পার্থক্য = 32
⇒ (x + 2)² - x² = 32
⇒ x² + 4x + 4 - x² = 32 
⇒ 4x + 4 = 32
⇒ 4x = 32 - 4
⇒ 4x = 28
⇒ x = 28/4
∴ x = 7
∴ লব = 7
∴ হর = x + 2 = 7 + 2 = 9

∴ ভগ্নাংশটি = 7/9​

প্রশ্ন: যদি a = 2 + √3 হয়, তবে a³ + 1/(a³) = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a = 2 + √3

এখন, 
1/a = 1/(2 + √3)
= (2 - √3)/((2 + √3)(2 - √3))
= (2 - √3)/(4 - 3)
∴ 1/a = 2 - √3

∴ a + 1/a = 2 + √3 + 2 - √3 = 4

প্রদত্ত রাশি, 
a³ + 1/(a³)
= (a + 1/a)³ - 3a(1/a)(a + 1/a)
= 4³ - 3 × 4
= 64 - 12
= 52

প্রশ্ন: (3a - 2)(a + 6) কোন রাশির উৎপাদক? 

সমাধান: 
(3a - 2)(a + 6)
= 3a × a + 3a × 6 - 2 × a - 2 × 6 
= 3a² + 18a - 2a - 12
= 3a² + 16a - 12

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার যোগফল 15 এবং তাদের বর্গের যোগফল 113 হলে, সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল কত?

সমাধান: 
ধরি, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে a এবং b
তাহলে, 
a + b = 15
a² + b² = 113

আমরা জানি,
(a + b)² = a² + 2ab + b²
⇒ 15² = 113 + 2ab
⇒ 225 = 113 + 2ab
⇒ 2ab = 225 - 113
⇒ 2ab = 112
⇒ ab = 112/2
∴ ab = 56

সুতরাং, সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল 56

প্রশ্ন: - 1 < 2x + 5 ≤ 7 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
- 1 < 2x + 5 ≤ 7
- 1 - 5 < 2x + 5 - 5 ≤ 7 - 5
- 6 < 2x ≤ 2
- 6/2 < 2x/2 ≤ 2/2
- 3 < x ≤ 1

∴ অসমতাটির সমাধান (- 3, 1]

প্রশ্ন: (6x - y, 13) = (1, 3x + 2y) হলে, (x, y) নির্ণয় করুন। 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
(6x - y, 13) = (1, 3x + 2y)
এখন, সমীকরণ তৈরি করে পাই, 
6x - y = 1
⇒ y = 6x - 1 ..........(1)
এবং 
3x + 2y = 13
⇒ 3x + 2(6x - 1) = 13 ; [y এর মান বসিয়ে পাই] 
⇒ 3x + 12x - 2 = 13
⇒ 15x - 2 = 13
⇒ 15x = 13 + 2
⇒ 15x = 15
∴ x = 1

(1) নং হতে পাই, 
⇒ y = 6(1) - 1
⇒ y = 6 - 1
∴ y = 5

সুতরাং, (x, y) = (1, 5) 

প্রশ্ন: যদি a + b = m, a² + b² = n এবং a³ + b³ = p³ হয়, তবে m³ + 2p³ = ? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a + b = m, a² + b² = n এবং a³ + b³ = p<sup>3

প্রদত্ত রাশি,</sup> 
m³ + 2p³ 
= (a + b)³ + 2(a³ + b³)
= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ + 2a³ + 2b³
= 3a³ + 3a²b + 3ab² + 3b³
= 3a²(a + b) + 3b²(a + b)
= 3(a² + b²)(a + b)
= 3mn

প্রশ্ন: x² - 3x + Q যদি (x - 4) দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে Q এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x² - 3x + Q রাশিটি (x - 4) দ্বারা বিভাজ্য।
অর্থাৎ, x = 4 হলে রাশিটির মান 0 হবে। ; [কারণ, (x - 4) একটি উৎপাদক হলে x = 4 হলো শূন্যমূল।]
সুতরাং, x = 4 বসিয়ে পাই, 
⇒ (4)² - 3(4) + Q = 0
⇒ 16 - 12 + Q = 0
⇒ 4 + Q = 0
∴ Q = - 4

সুতরাং, Q এর মান - 4

প্রশ্ন: 16x² + 9y² এর সাথে কত যোগ করলে পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান: 
আমরা জানি পূর্ণবর্গের রূপ, 
(a + b)² = a² + 2ab + b²

এখানে দেওয়া রাশি,
16x² + 9y² = (4x)² + (3y)²
= (4x)² + 2 × (4x) × (3y) + (3y)²
= 16x² + 24xy + 9y²
অর্থাৎ,
16x² + 9y² + 24xy = (4x + 3y)²

সুতরাং, পূর্ণবর্গ হওয়ার জন্য 24xy যোগ করতে হবে।

প্রশ্ন: একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় 3 এবং - 4 হলে সমীকরণটি হবে-

সমাধান:
যদি একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় α এবং β হয়, তবে সমীকরণটি হবে,
(x - α)(x - β) = 0 
⇒ (x - 3){x - (- 4)} = 0 ; [প্রদত্ত মূল: 3 এবং - 4] 
⇒ (x - 3)(x + 4) = 0
⇒ x² + 4x - 3x - 12 = 0
∴ x² + x - 12 = 0 

প্রশ্ন: a + (1/a) = 4 হলে  a⁴ + (1/a⁴) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 a + (1/a) = 4
⇒ {a + (1/a)}² = 4²
⇒ a² + 2.(a).(1/a) + (1/a)² = 16
⇒ a² + (1/a²) + 2 = 16
⇒ a² + (1/a²) = 16 - 2 = 14
⇒ {a² + (1/a²)}² = (14)²
⇒ (a²)² + 2.(a²).(1/a²) + (1/a²)² = 196
⇒ a⁴ + 2 + (1/a⁴) = 196
⇒ a⁴ + (1/a⁴) = 196 - 2
∴ a⁴ + (1/a⁴) = 194

প্রশ্ন: x² + 13x - 90 এর একটি উৎপাদক (x + 18) হলে, অপর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x² + 13x - 90
= x² + 18x - 5x - 90
= x(x + 18) - 5(x + 18)
= (x + 18)(x - 5)

সুতরাং, অপর উৎপাদক = (x - 5)

প্রশ্ন: 7x + 3y = 27 এবং 2x - y = 4 হলে y এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া সমীকরণ দুটি, 
7x + 3y = 27 ..........(1)
এবং
2x - y = 4
∴ y = 2x − 4 ……(2)

এখন y-এর মান (1) নং সমীকরণে বসাই, 
7x + 3(2x - 4) = 27
⇒ 7x + 6x - 12 = 27
⇒ 13x - 12 = 27
⇒ 13x = 27 + 12
⇒ 13x = 39
⇒ x = 39/13
∴ x = 3
এখন x = 3 কে (2) নং সমীকরণে বসাই, 
⇒ y = 2(3) - 4
⇒ y = 6 - 4
∴ y = 2

সুতরাং, y এর মান 2

প্রশ্ন: একটি কলমের দাম 5 টাকা এবং একটি ডায়েরির দাম 10 টাকা। রানা x টি কলম এবং (x + 2) টি ডায়েরি কিনল। মোট দাম অনূর্ধ্ব 80 টাকা হলে সে সর্বাধিক কয়টি কলম কিনেছে?

সমাধান: 
কলমের দাম = 5x টাকা
এবং ডায়েরির দাম = 10(x + ২)  টাকা

∴ মোট দাম = 5x + 10(x + ২)
= 5x + 10x + 20
= 15x + 20

প্রশ্নমতে, 
15x + 20 ≤ 80
⇒ 15x ≤ 80 - 20
⇒ 15x ≤ 60
⇒ x ≤ 60/15
∴ x ≤ 4

সুতরাং x-এর সর্বোচ্চ সম্ভাব্য মান 4

অতএব, সর্বাধিক 4টি কলম কিনেছে। 

প্রশ্ন: সমীকরণের সমাধান কত?

সমাধান:
 

প্রশ্ন: যদি a + b + c = 0 হয়, তবে, a³ + b³ + c³ = ? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a + b + c = 0
⇒ a + b = - c
⇒ (a + b)³ = (- c)³
⇒ a³ + b³ + 3ab(a + b) = - c³
⇒ a³ + b³ + 3ab(- c) = - c³
⇒ a³ + b³ - 3abc = - c³
∴ a³ + b³ + c³ = 3abc

প্রশ্ন: 2x³ + 5x² - 6x + 4 থেকে কত বিয়োগ করলে রাশিটি (x - 2) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
(x - 2) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হওয়ার অর্থ হলো, x = 2 বসালে রাশির মান শূন্য হতে হবে।

প্রদত্ত রাশি, f(x) = 2x³ + 5x² - 6x + 4
f(2) = 2(2)³ + 5(2)² - 6(2) + 4 ; [x = 2 বসিয়ে] 
= 2(8) + 5(4) - 12 + 4
= 16 + 20 - 12 + 4
= 36 - 12 + 4
= 28

সুতরাং, 28 বিয়োগ করলে রাশিটি (x - 2) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।

প্রশ্ন: একটি ছাত্রাবাসে প্রতিটি রুমে 4 জন করে ছাত্র থাকলে 3টি রুম খালি থাকে। আবার প্রতিটি রুমে 3 জন করে ছাত্র থাকলে 12 জন ছাত্রের থাকার জায়গা হয় না। ঐ ছাত্রাবাসে মোট ছাত্র সংখ্যা কত?

সমাধান: 
ধরি,
ছাত্রাবাসে মোট ছাত্র সংখ্যা = x জন
এবং মোট রুমের সংখ্যা = r টি

প্রথম শর্ত,
প্রতি রুমে 4 জন করে থাকলে 3টি রুম খালি থাকে। অর্থাৎ, 
⇒ x = 4 × (r - 3)
∴ x = 4r - 12 ……(1)

দ্বিতীয় শর্ত,
প্রতি রুমে 3 জন করে থাকলে 12 জনের জায়গা হয় না। অর্থাৎ,
∴ x = 3r + 12 ……(2)

এখন (1) ও (2) সমান করে পাই, 
⇒ 4r - 12 = 3r + 12
⇒ 4r - 3r = 12 + 12
∴ r = 24
এখন (2) নম্বর সমীকরণে,
x = 3 × 24 + 12
= 72 + 12
= 84

অতএব, ছাত্রাবাসে মোট ছাত্র সংখ্যা 84 জন। 

প্রশ্ন: |x - 4| ≤ 10 হলে, x এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:  
দেওয়া আছে, 
|x - 4| ≤ 10
⇒ - 10 ≤ x - 4 ≤ 10
⇒ - 10 + 4 ≤ x ≤ 10 + 4
⇒ - 6 ≤ x ≤ 14 

x এর সর্বনিম্ন মান - 6

প্রশ্ন: x² - 4x + 4 সমীকরণের মূলের প্রকৃতি কেমন?

সমাধান:
প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণ: x² - 4x + 4 = 0
যেখানে, a = 1, b = - 4, c = 4

নির্ণায়ক (D)-এর জন্য, 
D = b² - 4ac
= (- 4)² - (4 × 1 × 4)
= 16 - 16
= 0

নির্ণায়কের মান অনুযায়ী:
D > 0 হলে: মূল হবে বাস্তব ও অসমান।
D = 0 হলে: মূল হবে বাস্তব ও সমান ।
D < 0 হলে: মূল হবে কাল্পনিক।

এখানে, 
D = 0
∴ মূলগুলো হবে বাস্তব ও সমান ।

প্রশ্ন: যদি a = 2 হয়, তবে 8a³ + 60a² + 150a + 130 এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,  
a = 2

প্রদত্ত রাশি, 
8a³ + 60a² + 150a + 130
= (2a)³ + 3 × (2a)² × 5 + 3 × 2a × 5² + 5³ + 5
= (2a + 5)³ + 5
= (2 × 2 + 5)³ + 5
= 9³ + 5
= 729 + 5
= 734

প্রশ্ন: x² - 3x - 10 এর সঠিক উৎপাদক কোন দুটি?

সমাধান:    
x² - 3x - 10
= x² - 5x + 2x - 10
= x(x - 5) + 2(x - 5)
= (x - 5)(x + 2)

সুতরাং, x² - 3x - 10 এর সঠিক উৎপাদক দুটি হলো (x - 5)(x + 2)। 

প্রশ্ন: 120 টি এক টাকার মুদ্রা ও দুই টাকার মুদ্রায় মোট 180 টাকা হলে, কোন প্রকারের মুদ্রার সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
ধরি,
এক টাকার মুদ্রা = x টি
দুই টাকার মুদ্রা = y টি

শর্তমতে,
x + y = 120
x = 120 - y ……(1)

এবং 
1 × x + 2 × y = 180
⇒ x + 2y = 180
⇒ (120 - y) + 2y = 180
⇒ 120 - y + 2y = 180
⇒ 120 + y = 180
⇒ y = 180 - 120
∴ y = 60

তাহলে (1) নং হতে পাই,
⇒ x = 120 - 60
∴ x = 60

সুতরাং, এক টাকার মুদ্রা = 60 টি এবং দুই টাকার মুদ্রা = 60 টি

প্রশ্ন: একটি ছাত্রাবাসে রোজ 4x কেজি চাল এবং (x - 3) কেজি ডাল লাগে এবং চাল ও ডাল মিলে 42 কেজির বেশি লাগে না।তাহলে নিচের কোনটি সঠিক? 

সমাধান: 
দৈনিক মোট চাল + ডাল ≤ 42 কেজি
⇒ 4x + (x - 3) ≤ 42
⇒ 5x - 3 ≤ 42
⇒ 5x ≤ 45
⇒ x ≤ 9
সঠিক অসমতা x ≤ 9
​অর্থাৎ, x সর্বোচ্চ 9 হতে পারে।

প্রশ্ন: a⁴ + a²b² + b⁴ = 21 এবং a² - ab + b² = 3 হলে, a² + ab + b² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a⁴ + a²b² + b⁴ = 21
⇒ (a²)² + 2a²b² + (b²)² - a²b² = 21
⇒ (a² + b²)² - (ab)² = 21
⇒ (a² + b² + ab)(a² + b² - ab) = 21
⇒ (a² + ab + b²)(a² - ab + b²) = 21
⇒ (a² + ab+ b²). 3 = 21
⇒ a² + ab + b² = 21/3
∴ a² + ab + b² = 7