প্রাইমারি শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি [লং কোর্স]

প্রশ্ন: সেট A = {x ∈ N : x² > 6 এবং x³ < 30} হলে, A = কত?

সমাধান:
এখানে,
x² > 6; এই শর্তে x এর মানের সেট P হলে, P = {3, 4, 5 .......}
x³ < 30; এই শর্তে x এর মানের সেট Q হলে, Q = {1, 2, 3}

উভয় শর্তে x এর মানের সেট, A = P ∩ Q
= {3, 4, 5 .......} ∩ {1, 2, 3}
= {3}

প্রশ্ন: 2025 সালের জুলাই মাসের ৩য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে মোট 4 দিন। ঐ সপ্তাহে রবিবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
এক সপ্তাহে আছে = 7 দিন
বৃষ্টি হয়েছে = 4 দিন

∴ যেকোনো একদিন বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = 4/7
তাহলে, রবিবার বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = 4/7

∴ সোমবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা= 1 - (4/7)
= (7 - 4)/7
= 3/7

প্রশ্ন: FRIEND শব্দের স্বরবর্ণগুলো বেজোড় স্থানে রেখে মোট কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
FRIEND শব্দটিতে মোট ৬টি বর্ণ আছে।
যেখানে স্বরবর্ণ আছে দুটি =  E, I
বেজোড় স্থান আছে ১ম, ৩য়, ৫ম = মোট 3টি।

৩টি বেজোড় স্থানে ২টি স্বরবর্ণ সাজানো যায় ³P₂ = 6 উপায়ে
বাকি ৪টি ব্যঞ্জনবর্ণ স্বরবর্ণের স্থান বাদে বাকি ৪ ঘরে সাজানো যায় ⁴P₄ = 4! = 24 উপায়ে

∴ মোট সাজানোর উপায় = 6 × 24 = 144

প্রশ্ন: ১১ থেকে ৫৬ পর্যন্ত ৫ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?

সমাধান: 
১১ থেকে ৫৬ পর্যন্ত ৫ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো : ১৫, ২০, ২৫, ৩০, ৩৫, ৪০, ৪৫, ৫০, ৫৫
এখানে
n  = ৯, যা একটি বিজোড় সংখ্যা।

∴ মধ্যক =  (n + ১)/২ তম পদ
= (৯ + ১)/২ তম পদ
= ৫ তম পদ 
= ৩৫

প্রশ্ন: 52টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে দৈবভাবে 1টি তাস টানা হলে তাসটি সাহেব বা বিবি হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
একটি তাসের প্যাকেটে মোট তাস = 52 টি
সাহেবের সংখ্যা = 4 টি
বিবির সংখ্যা = 4 টি

∴ তাসটি সাহেব বা বিবি হওয়ার সম্ভাবনা = (4 + 4)/52
= 2/13

প্রশ্ন: বাংলাদেশ ফুটবল দলের অধিনায়ক ও সহ-অধিনায়ক অবসর নেয়ায় নতুন করে অধিনায়ক এবং সহ-অধিনায়ক নির্বাচন করা প্রয়োজন। 15 সদস্যবিশিষ্ট দলটি থেকে একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক কত উপায়ে নির্বাচন করা যাবে?

সমাধান: 
15 জন থেকে 1 জন অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ¹⁵C₁ = 15 উপায়ে

1 জন অধিনায়ক হলে সদস্য বাকি থাকে = (15 - 1) = 14 জন 

14 জন থেকে 1 জন সহ অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ¹⁴C₁ = 14 উপায়ে

∴ একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক বাছাই করা যায় = 15 × 14 = 210 উপায়ে

প্রশ্ন: 8, 10, 11, 13, 15, 17, 17, 20, 21, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 32, 33 সংখ্যাগুলোর মধ্যক ও প্রচুরক এর গুণফল কত?

সমাধান:
মোট পদ সংখ্যা আছে ১৯ টি, এর ১০ম পদ হচ্ছে মধ্যক।
∴ মধ্যক = 23

উপাত্তগুলোর মধ্যে সর্বাধিক ২ বার আছে 17 সংখ্যাটি।
∴ প্রচুরক = 17

∴ মধ্যক ও প্রচূরক এর গুণফল = 23 × 17 = 391

প্রশ্ন: A = {x : x, 24 এর গুণনীয়কসমূহ} এবং B = {x : x, 4 এর গুণিতক এবং x ≤ 24} হলে A\B = কত?

সমাধান:
এখানে, A = {x : x, 24 এর গুণনীয়কসমূহ}
24 এর গুণনীয়কসমূহ = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
∴ A = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

B = {x : x, 4 এর গুনিতক এবং x ≤ 24}
4 এর গুনিতকসমূহ = 4, 8, 12, 16, 20, 24, .........
∴ B = {4, 8, 12, 16, 20, 24}

∴ A\B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}\{4, 8, 12, 16, 20, 24}
= {1, 2, 3, 6}

প্রশ্ন: একটি থলেতে 6 টি নীল বল, 10 টি সবুজ বল এবং 11 টি কালো বল আছে। থলে থেকে দৈবভাবে একটি বল নেওয়া হলে বলটি নীল হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট বল আছে = (6 + 10 + 11) টি = 27 টি
নীল বল আছে = 6 টি

∴ বলটি নীল হওয়ার সম্ভাবনা = 6/27
= 2/9

প্রশ্ন: একটি স্কুলে ৩০ জন শিক্ষার্থী আছে। প্রত্যেক শিক্ষার্থী অন্য সকল শিক্ষার্থীকে একটি করে শুভেচ্ছা বার্তা পাঠায়। মোট কতটি শুভেচ্ছা বার্তা পাঠানো হয়েছে?

সমাধান:
স্কুলে মোট ৩০ জন শিক্ষার্থী রয়েছে।
প্রত্যেক শিক্ষার্থী অন্য সকল শিক্ষার্থীদের একটি করে শুভেচ্ছা বার্তা পাঠায়।
অর্থাৎ, নিজেকে বাদে বাকি ২৯ জনকে শুভেচ্ছা বার্তা পাঠায়।
∴ প্রত্যেক শিক্ষার্থী ২৯টি করে শুভেচ্ছা বার্তা পাঠায়।

∴ মোট শুভেচ্ছা বার্তা = ৩০ × ২৯ = ৮৭০টি 

প্রশ্ন: ৪৫, ২১, ১২, ১৭, ১৫, ৫০, ৪০ উপাত্ত গুলোর পরিসর কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রদত্ত তথ্যের সর্বনিম্ন সংখ্যা = ১২ 
প্রদত্ত তথ্যের সর্বোচ্চ সংখ্যা = ৫০ 

∴ পরিসর = (সর্বোচ্চ সংখ্যা - সর্বনিম্ন সংখ্যা) + ১
= (৫০ - ১২) + ১
= ৩৮ + ১
= ৩৯

প্রশ্ন: A = {x : x পূর্ণঘন সংখ্যা এবং x ≤ 100} হলে, সেট A-এর উপাদান সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
x পূর্ণঘন সংখ্যা হলে,
পূর্ণঘন সংখ্যার সেট = {1, 8, 27, 64, 125,.........}

x ≤ 100 হলে,
x এর মান 100 এর সমান বা ছোট সংখ্যার সেট = {1, 2, 3, 4, 5, ..., 100}

∴ A = {1, 8, 27, 64, 125,.........} ∩ {1, 2, 3, 4, 5, ..., 100}
= {1, 8, 27, 64}

∴ সেট A-এর উপাদান সংখ্যা 4 টি

প্রশ্ন: দুইটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হলে তাদের যোগফল 9 হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ছক্কা দুইবার নিক্ষেপ করলে মোট ঘটনা = (6 × 6) = 36
এবং 9 হওয়ার ঘটনা = {(6, 3), (5, 4), (4, 5), (3, 6)} = 4 টি

∴ যোগফল 9 হওয়ার সম্ভাবনা = 4/36 = 1/9

প্রশ্ন: স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে 'ORANGE' শব্দটিকে কতভাবে বিন্যস্ত করা যায়?

সমাধান:
“ORANGE" শব্দটিতে মোট 6টি বর্ণ রয়েছে যেখানে সবগুলো বর্ণ ভিন্ন ভিন্ন এবং স্বরবর্ণ 3টি। 
6টি বর্ণকে সাজানো যায় = 6! = 720

স্বরবর্ণ 3 টি একটি ধরে মোট ভিন্ন বর্ণ 4টি
4টি বর্ণকে সাজানো যায় = 4!
স্বরবর্ণ 3 টি সাজানো যায় = 3!

স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে বিন্যাস = 4! × 3!
= 24 × 6
= 144

∴ স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে বিন্যাস = 720 - 144
= 576

প্রশ্ন: একজন ক্রিকেটারের ১০ ইনিংসের রান ৪৫, ৮৪, ১১৫, ১৫, ৫৫, ৩৩, ১১, ৬, ৯২, ৯৯ ক্রিকেটারের রানের মধ্যক কত?

সমাধান:
রানগুলোকে মানের উর্ধক্রমে সাজিয়ে পাই,
৬, ১১, ১৫, ৩৩, ৪৫, ৫৫, ৮৪, ৯২, ৯৯, ১১৫ মোট উপাত্ত আছে ১০টি যা একটি জোড় সংখ্যা

∴ মধ্যক = [(১০/২) তম পদ + {(১০/২) + ১} তম পদ]/২
= (৫ম পদ + ৬ তম পদ)/২
= (৪৫ + ৫৫)/২
= ১০০/২
= ৫০

প্রশ্ন: A সেটের প্রকৃত উপসেটের সংখ্যা 15 হলে, A সেটের উপাদান সংখ্যা কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
উপাদানের সংখ্যা n হলে প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2ⁿ - 1

প্রশ্নমতে,
2ⁿ - 1 = 15
⇒ 2ⁿ = 15 + 1
⇒ 2ⁿ = 16
⇒ 2ⁿ = 2⁴
∴ n = 4

• উপসেট: কোন সেটের উপাদান থেকে যতগুলো সেট গঠন করা যায় তাদের প্রত্যেকটি প্রদত্ত সেটের উপসেট। ফাঁকা সেট যে কোনো সেটের উপসেট।
• প্রকৃত উপসেট: কোনো সেট থেকে গঠিত উপসেটের মধ্যে যে উপসেট গুলোর উপাদান সংখ্যা প্রদত্ত সেটের উপাদান সংখ্যা অপেক্ষা কম তাদেরকে প্রকৃত উপসেট বলে।
যেমন: A = {a, b, c} সেটটি থেকে গঠিত উপসেট সমূহ: {a, b, c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a}, {b}, {c}, ∅
এখানে A উপসেট থেকে প্রাপ্ত উপসেট সমূহের মধ্যে A এর সম সংখ্যক উপাদান সমৃদ্ধ উপসেট {a, b, c} ব্যতীত বাকি সব উপসেট সমূহ হচ্ছে A এর প্রকৃত উপসেট।

প্রশ্ন: দুইটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে, একই সংখ্যার জোড়া পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
লুডুর দুইটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে মোট ঘটনা = 6 × 6
= 36

লুডুর দুইটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে, একই সংখ্যার জোড়া পাওয়ার অনুকূল ঘটনা
= {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
= 6 টি

একই সংখ্যার জোড়া পাওয়ার সম্ভাবনা = 6/36 = 1/6

প্রশ্ন: 15 টি বিন্দু ‍দিয়ে কতগুলো ত্রিভুজ গঠন করা যায়?

সমাধান:
তিনটি বিন্দু দিয়ে গঠিত হয় ত্রিভুজ।

∴ 9 টি বিন্দু ‍দিয়ে ত্রিভুজ গঠন করা যায় = ¹⁵C₃
= 15!/{(15 - 3)! × 3!}
= (15 × 14 × 13 × 12!)/(12! × 3 × 2)
= 455

প্রশ্ন: ইংরেজি বর্ণমালা থেকে যেমন খুশি টেনে একটি স্বরবর্ণ না পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ইংরেজি বর্ণমালায় বর্ণ সংখ্যা = 26 টি
ইংরেজি বর্ণমালায় স্বরবর্ণের সংখ্যা = 5 টি

∴ একটি স্বরবর্ণ পাওয়ার সম্ভাবনা = 5/26

∴ একটি স্বরবর্ণ না পাওয়ার সম্ভাবনা = 1 - (5/26)
= (26 - 5)/26
= 21/26

প্রশ্ন: P = {1, 2, 3, 4}, Q = {4, a} এবং R = P ∩ Q হলে R × Q = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P = {1, 2, 3, 4}, এবং Q = {4, a}
∴ R = P ∩ Q
= {1, 2, 3, 4} ∩ {4, a}
= {4}

∴ R × Q = {4} × {4, a}
= {(4, 4), (4, a)}

প্রশ্ন: ২০ থেকে ৪০ পর্যন্ত সংখ্যার যে কোন একটিকে ইচ্ছেমত নিলে সে সংখ্যাটি মৌলিক অথবা ১০ এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
২০ থেকে ৪০ পর্যন্ত মোট সংখ্যা = ২১ টি
২০ থেকে ৪০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭ = ৪ টি
২০ থেকে ৪০ পর্যন্ত ১০ এর গুণিতক = ২০, ৩০, ৪০ = ৩ টি

মৌলিক সংখ্যা অথবা ১০ এর গুণিতক = ৪ + ৩ = ৭ টি
∴ নির্ণেয় সম্ভাবনা = ৭/২১
= ১/৩

প্রশ্ন: 6 জন ব্যাক্তিকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক ব্যক্তিকে একটি গোল টেবিলে বসানো যাবে = (n - 1)!
6 জনকে গোল টেবিলে বসানো যাবে = (6 - 1)!
= 5!
= 120 উপায়ে

প্রশ্ন: P(A) = 1/6 এবং P(B) = 5/6; A ও B দুটি স্বাধীন ঘটনা হলে P(B/A) = কত?

সমাধান:
A ও B স্বাধীন ঘটনা,
∴ P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
= (1/6) × (5/6)
= 5/36

∴ P(B/A) = P(A ∩ B)/P(A)
= (5/36)/(1/6)
= 5/6

প্রশ্ন: দুইটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করলে সর্বোচ্চ একটি T আসার সম্ভবনা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করলে নমুনা হবে = HH, HT, TH, TT
সর্বোচ্চ একটি T আসে এমন ঘটনা = HH, HT, TH

∴ দুইটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করলে সর্বোচ্চ একটি T আসার সম্ভবনা = ৩/৪