৪৯তম বিসিএস ⎯ জেনারেল পার্ট [Archived]

প্রশ্ন: ১ থেকে ৬০ পর্যন্ত ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?

সমাধান:
১ থেকে ৬০ পর্যন্ত ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো,
​ ৪, ৮, ১২, ১৬, ২০, ২৪, ২৮, ৩২, ৩৬, ৪০, ৪৪, ৪৮, ৫২, ৫৬, ৬০

এখানে
n = ১৫, যা একটি বিজোড় সংখ্যা।

∴ মধ্যক = (n + ১)/২ তম পদ
= (১৫ + ১)/২ তম পদ
= ৮ তম পদ
= ৩২

প্রশ্ন: 'TIGER' শব্দের স্বরবর্ণগুলো বেজোড় স্থানে রেখে মোট কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
TIGER শব্দটিতে মোট 5টি বর্ণ আছে। যেখানে স্বরবর্ণ আছে E, I দুটি।
বেজোড় স্থান আছে ১ম, ৩য়, ৫ম মোট 3টি।

3টি বেজোড় স্থানে 2টি স্বরবর্ণ সাজানো যায় ³P₂ = 6 উপায়ে
বাকি 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ স্বরবর্ণের স্থান বাদে বাকি 3 ঘরে সাজানো যায় ³P₃ = 3! = 3 × 2 × 1 = 6 উপায়ে

∴ মোট সাজানোর উপায় = 6 × 6 = 36

প্রশ্ন: ৫২ টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে দৈব্যভাবে একটি তাস নির্বাচন করা হলো, তাসটি টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
এখানে,
মোট তাস সংখ্যা = ৫২ টি
এবং টেক্কা = ৪ টি

∴ তাসটি টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা = ৪/৫২ = ১/১৩

∴ তাসটি টেক্কা না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (১/১৩) = (১৩ - ১)/১৩= ১২/১৩

প্রশ্ন: ভারত ফুটবল দলের অধিনায়ক ও সহ-অধিনায়ক অবসর নেয়ায় নতুন করে অধিনায়ক এবং সহ-অধিনায়ক নির্বাচন করা প্রয়োজন। ১৬ সদস্যবিশিষ্ট দলটি থেকে একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক কত উপায়ে নির্বাচন করা যাবে?

সমাধান:
১৬ জন থেকে ১ জন অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ^১৬C_১ = ১৬ উপায়ে

১ জন অধিনায়ক হলে সদস্য বাকি থাকে (১৬ - ১) = ১৫ জন

১৫ জন থেকে ১ জন সহ অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ^১৫C_১ = ১৫ উপায়ে

∴ একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ১৬ × ১৫ = ২৪০ উপায়ে

প্রশ্ন: P = {x, y, z, 0, 1} হলে, P এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান:
P = {x, y, z, 0, 1} সেটের উপাদান সংখ্যা 5 টি।

আমরা জানি,
প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2ⁿ - 1 ; [ n = উপাদান সংখ্যা ]
∴ P সেটের প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2⁵ - 1 = 32 - 1 = 31

প্রশ্ন: আবহাওয়া দপ্তর থেকে পাওয়া রিপোর্ট অনুযায়ী ২০২৩ সালের জুন মাসের ৩য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে ৩ দিন। ঐ সপ্তাহে বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
৩য় সপ্তাহে মোট = ৭ দিনর
৩য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে = ৩ দিন
৩য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়নি = ৭ - ৩ = ৪ দিন

∴ বৃষ্টি না হবার সম্ভাবনা = ৪/৭

প্রশ্ন: 17 + 14 + 11 + .......... - 7 = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = 17
সাধারণ অন্তর, d = 14 - 17 = - 3
n-তম পদ = - 7

আমরা জানি,
n-তম পদ = a + (n - 1)d

প্রশ্নমতে,
a + (n - 1)d = - 7
⇒ 17 + (n - 1)(- 3) = - 7
⇒ 17 - 3n + 3 = - 7
⇒ 20 - 3n = - 7
⇒ 3n = 20 + 7
⇒ 3n = 27
⇒ n = 27/3
⇒ n = 9

এখন, n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (9/2){(2 × 17) + (9 - 1)(- 3)}
= (9/2){34 - 24}
= (9/2)(10)
= (9/2) × 10
= 45

প্রশ্ন: ৩, ৯, ১৫ ও ২১ এর গাণিতিক গড়, ৮, ১০ ও ১৪ এবং নিচের কোন সংখ্যার গাণিতিক গড়ের সমান?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
(৩ + ৯ + ১৫ + ২১)/৪ = (৮ + ১০ + ১৪ + ক)/৪
⇒ ৪৮/৪ = (৩২ + ক)/৪
⇒ ১২ = (৩২ + ক)/৪
⇒ ৩২ + ক = ৪৮
⇒ ক = ৪৮ - ৩২
∴ ক = ১৬

∴ ৩, ৯, ১৫ ও ২১ এর গাণিতিক গড় = ৮, ১০, ১৪ ও ১৬ এর গাণিতিক গড়।

প্রশ্ন: একটি পার্টিতে ১৮ জন অতিথি আছে। প্রত্যেকে প্রত্যেকের সঙ্গে একবার করে করমর্দন করে। মোট করমর্দনের সংখ্যা কত?

সমাধান:
মোট করমর্দনের সংখ্যা = ^১৮C_২
= ১৮!/২!(১৮ - ২)!
= (১৮ × ১৭ × ১৬!)/(২ × ১৬!)
= ৯ × ১৭
= ১৫৩

প্রশ্ন: A = {x : x, 20 এর গুণনীয়কসমূহ} এবং B = {x : x, 2 এর গুণিতক এবং x ≤ 20} হলে, A\B কত?

সমাধান:
A = {x : x, 20 এর গুণনীয়কসমূহ}
= {1, 2, 4, 5, 10, 20}

B = {x : x, 2 এর গুণিতক এবং x ≤ 20}
= {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}

∴ A\B = {1, 2, 4, 5, 10, 20}\{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
= {1, 5}

প্রশ্ন: ১, ৪, ৮ অংকগুলো একবার ব্যবহার করে গঠিত তিন অঙ্কের সংখ্যাসমূহ থেকে ইচ্ছেমতো যেকোনো একটি সংখ্যা নিলে, সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
১, ৪, ৮ তিনটি অঙ্ক দ্বারা গঠিত মোট সংখ্যা = ৩! = ৬ টি
সেগুলো হল- ১৪৮, ১৮৪, ৪১৮, ৪৮১, ৮১৪, ৮৪১

এখন, একটি সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য হওয়ার শর্ত হল, সংখ্যাটির শেষ দুই অঙ্ক দ্বারা গঠিত সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।
৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো হল- ১৪৮ এবং ১৮৪।

​∴ মোট ২টি সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য।

∴ সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য হওয়ার সম্ভাবনা = ২/৬ = ১/৩

প্রশ্ন: 3 + 6 + 9 + ................. ধারাটির কততম পদ 96?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অন্তর, d = 6 - 3 = 3

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d

মনে করি,
n তম পদ = 96

∴ a + (n - 1)d = 96
⇒ 3 + (n - 1) × 3 = 96
⇒ 3 + 3n - 3 = 96
⇒ 3n = 96
⇒ n = 96/3
⇒ n = 32

প্রশ্ন: ৩০ এবং ৫০ সংখ্যা দু’টির গড় ব্যবধান কত?

সমাধান:
৩০, ৫০ এর গড় = (৩০ + ৫০)/২
= ৪০

∴ গড় ব্যবধান = {।৩০ - ৪০। + ।৫০ - ৪০।}/২
= (১০ + ১০)/২
= ২০/২
= ১০

প্রশ্ন: যদি ⁿP_r = 720 এবং ⁿC_r = 120 হয়, তাহলে r এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ⁿP_r = 720 এবং ⁿC_r = 120

আমরা জানি,
ⁿP_r​ = ⁿC_r​ × r!
⇒ 720 = 120 × r!
​⇒ r! = 720/120
⇒ r! = 6
⇒ r! = 3!
∴ r = 3

প্রশ্ন: P = {x ∈ N : 1 ≤ x ≤ 10}, Q = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x < 10} হলে, P ∩ Q এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P = {x ∈ N : 1 ≤ x ≤ 10}
Q = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x < 10}

P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Q = {1, 3, 5, 7, 9} 

∴ P ∩ Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ∩ {1, 3, 5, 7, 9}
= {1, 3, 5, 7, 9}

প্রশ্ন: f(x) = x² - 7x + 12 এবং f(x) = 0 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
​দেওয়া আছে,
​f(x) = x² - 7x + 12
​
​এখন,
​f(x) = 0
​x² - 7x + 12 = 0
​= x² - 3x - 4x + 12 = 0
​= x(x - 3) - (x - 3) = 0
​= (x - 3)(x - 4) = 0
∴ ​x = 3, 4

প্রশ্ন: দুটি ছক্কা একসাথে নিক্ষেপ করা হলে ছক্কা দুটির সংখ্যার গুণফল 25 হওয়ার সম্ভাবনা কত?

​সমাধান:
দুটি ছক্কা একসাথে নিক্ষেপ করলে মোট ঘটনা = 36 
​
​দুটির সংখ্যার গুনফল 25 হবে যদি উভয় ছক্কায় (5, 5) উঠে 
​
​∴ অনুকূল ঘটনা = 1
​
 ​∴ ​সম্ভাবনা = 1/36