প্রাইমারি প্রধান শিক্ষক নিয়োগ - ২০২৫

প্রশ্ন: একই সমতলে অবস্থিত দুটি রেখা যদি কখনোই পরস্পরকে ছেদ না করে, তবে তাদের কী বলা হয়?

সমাধান:
সমান্তরাল রেখা: দুটি সরলরেখা যদি একই সমতলে থাকে এবং উভয় দিকে অনন্ত পর্যন্ত বিস্তৃত হওয়া সত্ত্বেও কখনো পরস্পর ছেদ না করে অর্থাৎ মিলিত না হয়, তাহলে তাদের সমান্তরাল রেখা বলে।

বৈশিষ্ট্য:
দুটি সমান্তরাল রেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব সর্বত্র সমান থাকে।
যদি একটি তির্যক রেখা (transversal) দুটি সমান্তরাল রেখাকে ছেদ করে, তাহলে সম্পূরক কোণ, অনুরূপ কোণ ইত্যাদি সমান হয়।

উদাহরণ:
⋅ রেললাইনের দুটি পাত (যতদূর দেখা যায়)।
⋅ খাতার সমান্তরাল রুলিং লাইন।
⋅ সড়কের দুই পাশের লেনের মাঝের লাইন (যদি সোজা হয়)।

প্রশ্ন: 130° কোণের সম্পূরক কোণের পূরক কোণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
সম্পূরক কোণ: দুটি কোণের যোগফল হল 180°
পূরক কোণ: দুটি কোণের যোগফল 90°

এখন,
130° এর সম্পূরক কোণ = 180° - 130° = 50°
এবং 50° এর পূরক কোণ = 90° - 50° = 40°

∴ 130° কোণের সম্পূরক কোণের পূরক কোণ হল 40°

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর অর্ধেক এবং সমান্তরাল। যদি তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য ১৮ সে.মি. হয়, তবে সংযোজক রেখাংশের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের মধ্যবিন্দু উপপাদ্য,
একটি ত্রিভুজের যেকোনো দুইটি বাহুর মধ্যবিন্দুকে যুক্ত করলে যে রেখাংশ পাওয়া যায়, সেটি তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং তার অর্ধেক দৈর্ঘ্যের হয়।

দেওয়া আছে,
তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য = ১৮ সে.মি.
সুতরাং, সংযোজক রেখাংশের দৈর্ঘ্য = তৃতীয় বাহুর অর্ধেক = ১৮ ÷ ২ = ৯ সে.মি. 

প্রশ্ন: ০.৫ একক ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের বৃহত্তম চাপের দৈর্ঘ্য কত একক?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
বৃত্তের বৃহত্তম চাপ হলো ঐ বৃত্তের পরিধি।

দেওয়া আছে, 
ব্যাসার্ধ, r = ০.৫ একক
∴ বৃত্তের পরিধি = ২πr = ২ × ৩.১৪১৬ × ০.৫
= ৩.১৪১৬

∴ বৃহত্তম চাপের দৈর্ঘ্য ৩.১৪১৬ একক।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত ৫ : ৩। এর ক্ষেত্রফল ৫৪০ বর্গমিটার হলে, আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা কত মিটার?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য : প্রস্থ = ৫ : ৩
ক্ষেত্রফল = ৫৪০ বর্গমিটার

ধরি, দৈর্ঘ্য = ৫ক মিটার এবং প্রস্থ = ৩ক মিটার

আমরা জানি, 
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গ একক 
⇒ ৫৪০ = ৫ক × ৩ক
⇒ ১৫ক^২ = ৫৪০
⇒ ক^২ = ৫৪০/১৫
⇒ ক^২ = ৩৬ = ৬^২
∴ ক = ৬ মিটার

∴ দৈর্ঘ্য = ৫ক = ৫ × ৬ = ৩০ মিটার
এবং প্রস্থ = ৩ক = ৩ × ৬ = ১৮ মিটার

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) মিটার
= ২(৩০ + ১৮) = ২ × ৪৮ = ৯৬ মিটার

∴ আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ৯৬ মিটার।

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ ১৫০° হলে, বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা হবে-

সমাধান:
সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ ১৫০°।
সুতরাং সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণ = ১৮০° - ১৫০°
= ৩০°
আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণের সমষ্টি = ৩৬০°
সুতরাং বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা হবে = ৩৬০°/৩০° = ১২টি 

সুতরাং, বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা ১২টি। 

প্রশ্ন: যার কেবল দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও উচ্চতা নাই, তাকে কী বলে? 

সমাধান: 
রেখা : যার কেবল দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও উচ্চতা নাই, তাকে রেখা বলে।

অন্য অপশনগুলো- 
বিন্দু : যার দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা কিছুই নাই শুধু অবস্থান আছে, তাকে বিন্দু।

বক্রতা : বক্রতা হলো একটি জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য যা কোনো বক্ররেখার মাপের সাথে সম্পর্কিত। বক্রতা ছোট হলে, বক্ররেখাটি মসৃণ হবে এবং অনেক দীর্ঘ হবে। বক্রতা বড় হলে, এটি দ্রুত বাঁকানো হয়। যেমন : একটি সোজা রেখার বক্রতা শূন্য (০) হবে, আর একটি ছোট ব্যাসার্ধের বৃত্তের বক্রতা বড় হবে।

তল : যার কেবল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, তাকে তল বলে।

প্রশ্ন: ∠A, ∠B এবং ∠C হলো একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণ এবং ∠A/4 + ∠B/4 + ∠C/5 = 41° হলে, ∠A + ∠B  এর মান নির্ণয় করুন?

সমাধান:
আমরা জানি, 
ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি 180°

দেওয়া আছে, 
∠A/4 + ∠B/4 + ∠C/5 = 41°
⇒ (5∠A + 5∠B + 4∠C)/20 = 41°
⇒ (∠A + 4∠A + ∠B + 4∠B + 4∠C)/20 = 41°
⇒ (∠A + ∠B + 4∠A + 4∠B + 4∠C)/20 = 41°
⇒ ∠A + ∠B + 4(∠A + ∠B + ∠C) = 41° × 20
⇒ ∠A + ∠B + 4 × 180° = 820°
⇒ ∠A + ∠B = 820° - 720°
∴ ∠A + ∠B = 100°

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৭, ৮ ও ৯ মিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
বাহুসমূহ, a = ৭মি., b = ৮ মি এবং c = ৯ মি.

আমরা জানি, 
অর্ধপরিসীমা, s = (a + b + c)/২
= (৭ + ৮ + ৯)/২
= ২৪/২
= ১২ মিটার।

আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = √{১২(১২ - ৭)(১২ - ৮)(১২ - ৯)} বর্গমিটার
= √{১২ × ৫ × ৪ × ৩} বর্গমিটার
= √(১৪৪ × ৫) বর্গমিটার
= ১২√৫ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে ৪৫° কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তের ব্যাস ৫৬ সে.মি. হলে, বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাস = ৫৬ সে.মি.
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = ৫৬/২ = ২৮ সে.মি.

বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, θ = ৪৫°
= π/৪ রেডিয়ান

∴ বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য, S = r × θ
= ২৮ × (π/৪)
= ৭π
= ৭ × (২২/৭)
= ২২ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য 8√2 একক হলে এর পরিসীমার অর্ধেকের এক-চতুর্থাংশের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2 [এখানে, a = বাহু]
⇒ 8√2 = a√2
∴ a = 8

∴ পরিসীমা = 4a = 4 × 8 = 32
পরিসীমার অর্ধেক = 32/2 = 16
অতএব, পরিসীমার অর্ধেকের এক-চতুর্থাংশের মান = 16/4 = 4 একক

প্রশ্ন: সপ্তভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি কত সমকোণ?

সমাধান: 
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে তার কোণগুলোর সমষ্টি (২n - ৪) সমকোণ।
সুতরাং সুষম সপ্তভুজের ৭ কোণের সমষ্টি = (২ × ৭ - ৪) সমকোণ
= (১৪ - ৪) × ৯০°
= ১০ × ৯০°

অর্থাৎ, সুষম সপ্তভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি ১০ সমকোণ।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সঠিক? 
i. যার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নেই, শুধু অবস্থান আছে তাকে বিন্দু বলে 
ii. দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুর মধ্যকার ক্ষুদ্রতম দূরত্ব হলো সরলরেখা
iii. 0° এর সম্পূরক কোণ 90° 

সমাধান:
i. যার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নেই, শুধু অবস্থান আছে তাকে বিন্দু বলে।
এটি সঠিক। গাণিতিক সংজ্ঞা অনুযায়ী, বিন্দু হলো এমন একটি জ্যামিতিক উপাদান যার মাত্রা নেই, কেবল অবস্থান আছে।

ii. দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুর মধ্যকার ক্ষুদ্রতম দূরত্ব হলো সরলরেখা।
এটি সঠিক। গাণিতিকভাবে, দুইটি বিন্দুর মধ্যে সংক্ষিপ্ততম দূরত্ব বা সরাসরি সংযোগ হলো সরলরেখা।

iii. 0° এর সম্পূরক কোণ 90° এটা ভুল। কারণ, 0° এর সম্পূরক কোণ 180°

সুতরাং, সঠিক উত্তর খ)  i ও ii

প্রশ্ন: 54° কোণের বিপ্রতীপ কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
54° কোণের বিপ্রতীপ কোণ হল সেই কোণ যা দুটি সরল রেখার মধ্যে তৈরি হয়, যখন তারা একে অপরকে ছেদ করে। বিপ্রতীপ কোণগুলি সমমান হয়ে থাকে।

অতএব, 54° কোণের বিপ্রতীপ কোণও হবে 54°।

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 4√3 সে.মি হলে এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 4√3 সে.মি.

আমরা জানি, 
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × a² বর্গ একক 
= (√3/4) × (4√3)² বর্গ সে.মি. 
= (√3/4) × (4√3) × (4√3) বর্গ সে.মি.
= 4 × √3 × √3 × √3 বর্গ সে.মি. 
= 4 × √3 × (√3)² বর্গ সে.মি.
= 12√3 বর্গ সে.মি. 

∴ নির্ণেয় ক্ষেত্রফল = 12√3 বর্গ সে.মি. ।

প্রশ্ন: 10 সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 6 সে.মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?

সমাধান: 

ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ OA = 10 সে.মি. 
কেন্দ্র হতে জ্যা এর দূরত্ব OC = 6 সে.মি.

এখন,
OAC সমকোণী ত্রিভুজে,
AC = √(OA² - OC²)
= √(10² - 6²)
= √(100 - 36)
= √64
= 8 সে.মি. 

বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন অন্য কোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
∴ জ্যা AB = 2 × AC 
= 2 × 8 সে.মি.
= 16 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুটির দৈর্ঘ্য ২০ সে.মি. এবং ৩০ সে.মি. এবং উচ্চতা ৮ সে.মি.। ট্রাপিজিয়ামটির ক্ষেত্রফল কত বর্গসে.মি.?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুটির দৈর্ঘ্য = ২০ সে.মি. ও ৩০ সে.মি.
উচ্চতা = ৮ সে.মি.

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × (সমান্তরাল বাহু দুটির সমষ্টি) × উচ্চতা
= (১/২) × (২০ + ৩০) × ৮
= (১/২) × ৫০ × ৮
= ৫০ × ৪ 
= ২০০ 

∴ ট্রাপিজিয়ামটির ক্ষেত্রফল ২০০ বর্গসে.মি.।

প্রশ্ন: একটি ষড়ভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 6 মি. হলে ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 6 মি.

আমরা জানি, 
ষড়ভুজের ক্ষেত্রফল, A = (3√3/2) × a²
= (3√3/2) × 6²
= (3√3/2)  × 36
= 54√3
= 54√3 বর্গ মি.

সুতরাং, ষড়ভুজটির ক্ষেত্রফল 54√3 বর্গ মি.

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 20 মিটার ও 24 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 120 বর্গমিটার। বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ কত?

সমাধান:

মনে করি,
ত্রিভুজ ABC এর AB = c = 20 মিটার, AC = b = 24 মিটার,
এবং Δ ক্ষেত্র ABC এর ক্ষেত্রফল = 120 বর্গমিটার।
AB ও BC বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ নির্ণয় করতে হবে।

∴ Δ ক্ষেত্র ABC ক্ষেত্রফল = (1/2) × c × b × sinθ
⇒ 120 = (1/2) × 20 × 24 × sinθ
⇒ 10 × 24 × sinθ = 120
⇒ sinθ = 120/240
⇒ sinθ = 1/2
⇒ sinθ = sin30°
⇒ θ = 30°

∴ নির্ণেয় অন্তর্ভুক্ত কোণ = 30°।

প্রশ্ন: y = 2x + 3 এবং 3x + y = 13 সরলরেখা দুটি কোন বিন্দুতে মিলিত হবে?

সমাধান:
দেওয়া রেখাদ্বয়, 
y = 2x + 3 ........(1)
3x + y = 13 .........(2)

(1) সমীকরণ থেকে y-এর মান (2) সমীকরণে বসিয়ে পাই, 
3x + (2x + 3) = 13
⇒ 5x + 3 = 13
⇒ 5x = 10
∴ x = 2
এখন x = 2 (1) সমীকরণে বসিয়ে পাই, 
⇒ y = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7
∴ y = 7

∴ সরলরেখা দুটি (2, 7) বিন্দুতে মিলিত হবে।

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য x মি। যদি প্রতিটি বাহু 1 মি. কমানো হয়, তবে ক্ষেত্রফল 2√3 মি² হ্রাস পায়। এর বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য x মিটার
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (√3/4)x²

এবং 
প্রতিটি বাহু 1 মিটার কমালে নতুন বাহু = (x - 1) মিটার।
∴ নতুন ক্ষেত্রফল = (√3/4)(x - 1)²

প্রশ্নমতে,
(√3/4)x² - (√3/4)(x - 1)² = 2√3
⇒ (√3/4)(x² - (x - 1)² = 2√3
⇒ x² - x² + 2x - 1 = 8
⇒ 2x - 1 = 8
⇒ 2x = 8 + 1
⇒ 2x = 9
⇒ x = 9/2
∴ x = 4.5 মিটার

সুতরাং, সমবাহু ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য 4.5 মিটার। 

প্রশ্ন: 40 মি পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র বৃত্তে অন্তর্লিখিত হয়েছে। বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

ABCD বর্গের পরিসীমা = 40 মিটার
ABCD বর্গের বাহু = (40/4) = 10 মিটার

যেহেতু বর্গটি অন্তর্লিখিত
∴ বৃত্তের ব্যাস = বর্গটির কর্ণ
= বাহু × √2
= 10√2 মিটার

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = (10√2)/2 = 5√2 মিটার

∴ বৃত্তটির ক্ষেত্রফল = π (5√2)² বর্গ মিটার
= (π × 25 × 2) বর্গ মিটার
= 50π বর্গ মিটার

∴ বৃত্তটির ক্ষেত্রফল 50π বর্গমিটার।

প্রশ্ন: রম্বসের কর্ণদ্বয় রম্বসটিকে কি ধরনের ত্রিভুজে বিভক্ত করে?

সমাধান:
রম্বসের প্রধান বৈশিষ্ট্যগুলি হলো:
- রম্বসের চারটি বাহু পরস্পর সমান।
- রম্বসের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সমান।
- রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে ছেদ করে।
- রম্বসের কর্ণদ্বয় রম্বসটিকে চারটি সমবাহু ত্রিভুজে বিভক্ত করে।

∴ রম্বসের কর্ণদ্বয় রম্বসটিকে সমকোণী ত্রিভুজে বিভক্ত করে।

প্রশ্ন: যদি একটি বহুভুজের বহিঃস্থ কোণ 90° হয়, তাহলে সেই বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বহিঃস্থ কোণ = 90°
∴ বহুভুজের বাহুর সংখ্যা = 360°/90°
= 4

আমরা জানি,
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে কর্ণের সংখ্যা = {n(n - 3)}/2
∴ বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা = {4(4 - 3)}/2
= (4 × 1)/2
= 4/2
= 2 টি

প্রশ্ন: যদি একটি ত্রিভুজের দুটি অন্তঃস্থ কোণ ৫৫° ও ৫০° হয়, তবে ত্রিভুজের তৃতীয় কোণের বহিঃস্থ কোণ কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি, 
ত্রিভুজের কোনো বহিঃস্থ কোণ = দুটি বিপরীত অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টির সমান।
এবং যেকোনো অন্তঃস্থ কোণ এবং তার বহিঃস্থ কোণের সমষ্টি ১৮০°।

দেওয়া অন্তঃস্থ কোণ দুটি = ৫৫° + ৫০° = ১০৫°
∴ তৃতীয় অন্তঃস্থ কোণ = ১৮০° - ১০৫° = ৭৫°
∴ তৃতীয় কোণের বহিঃস্থ কোণ = ১৮০° - ৭৫° = ১০৫°

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি মাঠের ক্ষেত্রফল ১২০ বর্গমিটার এবং মাঠটির উচ্চতা ১৫ মিটার হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ত্রিভুজাকৃতি মাঠের ক্ষেত্রফল = ১২০ বর্গমিটার
উচ্চতা = ১৫ মিটার

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
⇒ ১২০ = (১/২) × ভূমি × ১৫ 
⇒ ভূমি × ১৫ = ১২০ × ২ 
⇒ ভূমি = (১২০ × ২)/১৫ 
⇒ ভূমি = ৮ × ২
∴ ভূমি = ১৬ মিটার

∴ মাঠটির ভূমির দৈর্ঘ্য ১৬ মিটার।

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকা মিনিটে ৩০ বার ঘুরে। এক সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি অতিক্রম করে?

সমাধান:
৬০ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরে ৩০ বার
১ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরে ৩০/৬০ বার
= ১/২ বার

আমরা জানি,
গাড়ির চাকা ১ বার ঘুরে অতিক্রম করে = ৩৬০°
∴ গাড়ির চাকা ১/২ বার ঘুরে অতিক্রম করে = {৩৬০° × (১/২)}°
= ১৮০°

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২৫% বৃদ্ধি এবং প্রস্থ ২০% হ্রাস করলে এর ক্ষেত্রফল শতকরা কত পরিবর্তিত হয়?

সমাধান: 
ধরি,
মূল দৈর্ঘ্য = ক একক
মূল প্রস্থ = খ একক
মূল ক্ষেত্রফল = কখ বর্গ একক

আবার, 
দৈর্ঘ্য ২৫% বৃদ্ধি করলে নতুন দৈর্ঘ্য = ক + ক এর ২৫% = ক + ক এর ২৫/১০০ = ৫ক/৪ 
এবং প্রস্থ ২০% হ্রাস করলে নতুন প্রস্থ = খ - খ এর ২০% = খ - খ এর ২০/১০০ = ৪খ/৫ 

∴ নতুন ক্ষেত্রফল = (৫ক/৪) × (৪খ/৫) = কখ বর্গ একক

অর্থাৎ নতুন ক্ষেত্রফল = মূল ক্ষেত্রফলের সমান।
∴ ক্ষেত্রফলের পরিবর্তন = ০% অর্থাৎ অপরিবর্তিত থাকে। 

প্রশ্ন: কোন সুষম বহুভুজের অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের মানের অনুপাত ৭ : ২ হলে, বহুভুজটির বাহুসংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
অন্তঃস্থ কোণ = ৭ক
বহিঃস্থ কোণ = ২ক

প্রশ্নমতে,
৭ক + ২ক = ১৮০°
⇒ ৯ক = ১৮০°
∴ ক = ২০°

∴ বহিঃস্থ কোণ = ২ক = ২ × ২০° = ৪০°
∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = ৩৬০°/৪০°
= ৯টি

প্রশ্ন: একটি বর্গের ক্ষেত্রফল এবং এর কর্ণের উপর আঁকা বর্গের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

সমাধান:
বর্গের বাহু = ক একক
বর্গের ক্ষেত্রফল = ক^২ বর্গ একক

কর্ণ = √২ক একক
কর্ণের উপর আঁকা বর্গের ক্ষেত্রফল = (√২ক)^২ = ২ক^২ বর্গ একক

অনুপাত = ক^২ : ২ক^২ = ১ : ২

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৯ মিটার ও ১২ মিটার। ত্রিভুজটির পরিসীমা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটির দৈর্ঘ্য = ৯ মিটার ও ১২ মিটার।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
অতিভুজ^২ = লম্ব^২ + ভূমি^২
⇒ অতিভুজ^২ = ৯^২ + ১২^২ = ৮১ + ১৪৪ = ২২৫
⇒ অতিভুজ^২ = ২২৫ = ১৫^২ 
∴ অতিভুজ = ১৫ মিটার

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের পরিসীমা হলো এর তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যের যোগফল।
∴ পরিসীমা = ৯ + ১২ + ১৫ = ৩৬ মিটার

প্রশ্ন: একটি পিজ্জা বৃত্তাকার এবং এর ব্যাস 28 সে.মি.। পিজ্জাটিকে 7টি সমান অংশে ভাগ করা হলে প্রতিটি অংশের ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
পিজ্জার ব্যাস = 28 সে.মি.
∴ পিজ্জার ব্যাসার্ধ, r = 28/2 = 14 সে.মি.
পিজ্জাটি বৃত্তাকার, তাই এর মোট ক্ষেত্রফল = πr2
= π × (14)2
= (22/7) × 14 × 14
= 22 × 28
= 616 বর্গসে.মি.

এখন, পিজ্জাটিকে 7টি সমান অংশে ভাগ করা হলে,
প্রতিটি অংশের ক্ষেত্রফল = মোট ক্ষেত্রফল/7​
= 616/7 বর্গসে.মি.
= 88 বর্গসে.মি.

∴ প্রতিটি অংশের ক্ষেত্রফল 88 বর্গসে.মি.

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের একবাহু অপর একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার অর্ধেক হলে, বর্গক্ষেত্র দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম বর্গক্ষেত্রের বাহু = a
দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রের বাহু = b

প্রশ্নমতে,
প্রথম বর্গক্ষেত্রের একবাহু (a) = দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার অর্ধেক
দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4b
পরিসীমার অর্ধেক = 4b/2 = 2b

সুতরাং,
⇒ a = 2b
∴ b = a/2

এখন, প্রথম বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = a²
দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = b² = (a/2)² = a²/4

∴ ক্ষেত্রফলের অনুপাত (প্রথম : দ্বিতীয়) = a² : (a²/4) = 1 : 1/4 = 4 : 1

∴ বর্গক্ষেত্র দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত 4 : 1

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 3850 বর্গ সে.মি হলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের ব্যাস = 2r
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

প্রশ্নমতে,
πr² = 3850
⇒ r² = 3850/π
⇒ r² = 3850 × (7/22)
⇒ r² = 1225
⇒ r² = (35)²
∴ r = 35

সুতরাং, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ 35 সে.মি।