Math Master

প্রশ্ন: 4^{x + 1} = 32 হলে, x এর মান কত?

সমাধান: 
4^{x + 1} = 32
বা, (2²)^{x + 1} = 2⁵
বা, 2x + 2 = 5
বা, 2x = 3
∴ x = 3/2

প্রশ্ন: প্রথম ১৫টি স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল = {n(n + ১)}/২
প্রথম ১৫টি স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল = {১৫(১৫ + ১)}/২
= ১২০

প্রশ্ন: log₁₀√100 এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান: 
log₁₀√100
= log₁₀√(10²)
= log₁₀10
= 1

প্রশ্ন: √2 + 1 + 1/√2 + 1/2 + ..... ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান: 
২য় পদ ÷ ১ম পদ = 1 ÷ √2 = 1/√2
৩য় পদ ÷ ২য় পদ = 1/√2 ÷ 1 = 1/√2

∴ সাধারণ অনুপাত = 1/√2

প্রশ্ন: ১ + ৪ + ৯ + ১৬ + ............ + ১২১ ধারাটির সমষ্টি কত?

সমাধান: 
১ + ৪ + ৯ + ১৬+............+১২১
= ১^২ + ২^২ + ৩^২ + ৪^২ +......+১১^২
= {১১(১১ + ১)(২× ১১ + ১)}/৬
= (১১ × ১২ × ২৩)/৬
= ৩০৩৬/৬
= ৫০৬

প্রশ্ন: প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি নির্ণয়ের সূত্র কোনটি? 

সমাধান: 

প্রশ্ন: 1 + 5 + 9 + 13 + ...... ধারাটির 15তম পদ কত?

সমাধান: 
২য় পদ - ১ম পদ = 5 - 1 = 4
৩য় পদ - ১ম পদ = 9 - 5 = 4
∴ ইহা একটি সমান্তর ধারা।
এখানে,
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 4

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - 1)d
সমান্তর ধারার 15 তম পদ = 1 + (15 - 1)× 4
= 1 + 14 × 4
= 1 + 56
= 57

প্রশ্ন: 3 + 6 + 9+ ..... ধারাটির কততম পদের মান 33?

সমাধান: 
এখানে,
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অন্তর, d = 3
ধরি,
ধারার n তম পদের মান 33
শর্তমতে,
a + (n - 1)d = 33
বা, 3 + (n - 1)3 = 33
বা, (n - 1)3 = 30
বা, n - 1 = 10
∴ n = 11

প্রশ্ন: যদি 4^{(x - y)} = 64 এবং 4^{(x + y)} = 1024 হলে, x এর মান কত?

সমাধান: 
4^{(x - y)} = 64
বা, 4^{(x - y}) = 4³
বা, x - y = 3 ........................(1)

আবার,
4^{(x + y)} = 4⁵
বা, x + y = 5 .......................(2)

(1) + (2) হতে পাই,
2x = 8
∴ x = 4

প্রশ্ন: 64 + 32 + 16 + 8 + ..... ধারাটির ৮ম পদ কত?

সমাধান: 
এখানে,
32 ÷ 64 = 1/2
16 ÷ 32 = 1/2
ইহা একটি গুণোত্তর ধারা।

প্রথম পদ, a = 64
সাধারণ অনুপাত, r = 1/2
n = 8

আমরা জানি,
n তম পদ, ar^{n -1}
∴ ৮ম পদ = 64 × (1/2)^{8 - 1}
= 64 × (1/2⁷)
= 64/128
= 1/2

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সত্য নয়?

প্রশ্ন: 

সমাধান: 
এখানে,
a = 1/4
r = 1/4 [|r| < 1]

S_∞ = a/(1 - r)
= (1/4)/{1 - (1/4)}
= (1/4)/(3/4)
= 1/3

প্রশ্ন: (5³ × 5⁵)/5⁷ এর মান কত?

সমাধান: 
(5³ × 5⁵)/5⁷
= 5^{(3 + 5)}/5⁷
= 5⁸/5⁷
= 5^{(8 - 7)}
= 5¹
= 5

প্রশ্ন: 3√3 এর 3 ভিত্তিক লগ কত?

সমাধান: 
log₃3√3
= log₃3^(1+1/2)
= log₃3^3/2
= (3/2)log₃3
= 3/2