নতুনদের বিসিএস প্রস্তুতি - ২০০ দিনে পুরো সিলেবাস

প্রশ্ন: যদি p⁴ + p²q² + q⁴ = 75 এবং p² + pq + q² = 15 হয়, তবে p² - pq + q² এর মান কত?

সমাধান:
 p⁴ + p²q² + q⁴ = 75 
⇒ (p²)² + 2p²q² + (q²)² - p²q² = 75
⇒ (p² + q²)² - (pq)² = 75
⇒ (p² + pq + q²)(p² - pq + q²) = 75
⇒ 15 × (p² - pq + q²) = 75 [p² + pq + q² = 15]
⇒ (p² - pq + q²) = 75/15
∴ p² - pq + q² = 5

প্রশ্ন: x² + 10x - 144 এর একটি উৎপাদক x - 8 হলে, অপর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
x² + 10x - 144 
= x² + 18x - 8x - 144
= x(x + 18) - 8(x + 18)
= (x + 18)(x - 8)

সুতরাং, অপর উৎপাদকটি হলো (x + 18)।

প্রশ্ন: (5x/6) + 2 = (2x/3) + 4 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
(5x/6) + 2 = (2x/3) + 4
বা, (5x/6) - (2x/3) = 4 - 2
বা, (5x - 4x)/6 = 2
বা, x/6 = 2
বা, x = 2 × 6
∴ x = 12

প্রশ্ন: একটি খামারে মুরগি ও গরু একত্রে ৮০টি। কিন্তু তাদের পায়ের সংখ্যা ২২০টি। তা হলে কতটি মুরগি আছে?

সমাধান:
ধরি,
মুরগি আছে = ক টি
∴ গরু আছে = (৮০ - ক) টি
প্রশ্নমতে,
২ক + ৪(৮০ - ক) = ২২০
⇒ ২ক + ৩২০ - ৪ক = ২২০
⇒ ৩২০ - ২ক = ২২০
⇒ - ২ক = ২২০ - ৩২০
⇒ - ২ক = -১০০
⇒ ২ক = ১০০
∴ ক = ৫০

সুতরাং, মুরগি আছে ৫০টি।

প্রশ্ন: a, b, c তিনটি স্বাভাবিক সংখ্যা। যদি a > b > c এবং b < 5 হয়, তবে নিচের কোনটি অবশ্যই ভুল?

সমাধান:
a > b > c এবং b < 5 
 ধরি, a = 4, b = 3 এবং c = 2 

ক) a - b > 0
⇒ 4 - 3 > 0 ⇒ 1 > 0 ; যা সঠিক।

খ) abc > 0
⇒ 4 × 3 × 2 = 24 > 0 ; যা সঠিক।

গ) a - c < 0
⇒ 4 - 2 < 0 ⇒ 2 < 0 ; যা ভুল। যেহেতু a > c, তাই a - c এর মান সবসময় ধনাত্মক হবে। এই উক্তিটি অবশ্যই ভুল।

ঘ) a + b > c
⇒ 4 + 3 > 2 ⇒ 7 > 2 ; যা সঠিক।

প্রশ্ন: যদি 16x² - 56x এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণ বর্গ হবে?

সমাধান:
16x² - 56x 
= (4x)² - 2 × (4x) × 7 + 7² - 7²
= (4x - 7)² - 49
∴ 16x² - 56x এর সাথে 49 যোগ করলে যোগফল পূর্ণ বর্গ হবে।

প্রশ্ন: x² - y² - 2y - 1 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
x² - y² - 2y - 1
= x² - (y² + 2y + 1)
= x² - (y + 1)²
= {x + (y + 1)}{x - (y + 1)}
= (x + y + 1)(x - y - 1)

সুতরাং, অপর উৎপাদকটি হলো (x + y + 1) অথবা (x - y - 1) ।

প্রশ্ন: একটি সিনেমা হলে প্রতি সারিতে ৬ জন করে বসলে ৩টি সারি খালি থাকে। কিন্তু প্রতি সারিতে ৫ জন করে বসলে ১৫ জন দর্শকের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ সিনেমা হলে মোট দর্শক সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
সারির সংখ্যা = ক টি

প্রতি সারিতে ৬ জন করে বসলে ৩টি সারি খালি থাকে।
∴ দর্শক সংখ্যা = (ক - ৩) × ৬ জন

প্রতি সারিতে ৫ জন করে বসলে ১৫ জন দর্শকের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়।
∴ দর্শক সংখ্যা = ৫ক + ১৫ জন

প্রশ্নমতে, (ক - ৩) × ৬ = ৫ক + ১৫
⇒ ৬ক - ১৮ = ৫ক + ১৫
⇒ ৬ক - ৫ক = ১৫ + ১৮
⇒ ক = ৩৩

অতএব, সারির সংখ্যা ৩৩টি।

∴ দর্শক সংখ্যা = ৫ক + ১৫ জন
= (৫ × ৩৩) + ১৫ জন
= ১৬৫ + ১৫ জন
= ১৮০ জন

∴ ঐ সিনেমা হলে মোট দর্শক সংখ্যা হলো ১৮০ জন।

প্রশ্ন: 3x - 5 < 13 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
⇒ 3x - 5 < 13
⇒ 3x < 13 + 5
⇒ 3x < 18
⇒ x < 18/3
∴ x < 6

প্রশ্ন: a + b = 25 এবং a - b = 5 হলে, ab এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 25
a - b = 5

আমরা জানি,
4ab = (a + b)² - (a - b)²
⇒ 4ab = (25)² - (5)²
⇒ 4ab = 625 - 25
⇒ 4ab = 600
⇒ ab = 600/4
∴ ab = 150

প্রশ্ন: x² + 5x + 2 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণটি হলো x² + 5x + 2 = 0
এই সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 আদর্শ রূপের সাথে তুলনা করে পাই,
a = 1
b = 5
c = 2
এখন, সমীকরণের নিশ্চায়ক (D) নির্ণয় করি।
 নিশ্চায়ক, D = b² - 4ac
= (5)² - 4 × 1 × 2
= 25 - 8
= 17 > 0
যেহেতু, নিশ্চয়ক (D) এর মান ধনাত্মক (D > 0), তাই মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
∴ মূলদ্বয়ের প্রকৃতি হলো বাস্তব ও অসমান।

প্রশ্ন: দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা, অংকদ্বয়ের স্থান বিনিময়ের ফলে 45 বৃদ্ধি পায়। অংক দুইটির যোগফল 11 হলে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
একক স্থানীয় অংক = x
এবং দশক স্থানীয় অংক = (11 - x)
∴ সংখ্যাটি = {x + 10(11 - x)} = 110 - 9x

আবার,
অংকদ্বয়ের স্থান বিনিময়ের পর সংখ্যাটি = {10x + (11 - x)} = 9x + 11

প্রশ্নমতে,
(9x + 11) - (110 - 9x) = 45
⇒ 9x + 11 - 110 + 9x = 45
⇒ 18x - 99 = 45
⇒ 18x = 45 + 99
⇒ 18x = 144
⇒ x = 144/18
⇒ x = 8

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = 110 - (9 × 8)
= 110 - 72 = 38

প্রশ্ন: - 1 < x < 5 অসমতাটিকে পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে প্রকাশ করলে হবে-

সমাধান:
⇒ - 1 < x < 5
⇒ - 1 - 2 < x - 2 < 5 - 2
⇒ - 3 < x - 2 < 3
⇒ |x - 2| < 3

∴ সমাধান: |x - 2| < 3

প্রশ্ন: যদি x² - √8x + 1 = 0 হয়, তবে x - (1/x) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x² - √8x + 1 = 0
⇒ x² + 1 = √8x
⇒ x + (1/x) = √8 [উভয়পাশে x দ্বারা ভাগ করে]

এখন, 
{x - (1/x)}² = {x + (1/x)}² - 4 . x . (1/x)
⇒ {x - (1/x)}² = (√8)² - 4
⇒ {x - (1/x)}² = 8 - 4
⇒ {x - (1/x)}² = 4
⇒ x - (1/x) = √4
∴ x - (1/x) = 2

প্রশ্ন: এর সমাধান- 

সমাধান:

প্রশ্ন: 7 - 4x > 3x + 21 অসমতার সমাধান কোনটি?

সমাধান:
⇒ 7 - 4x > 3x + 21
⇒ - 4x - 3x > 21 - 7
⇒ - 7x > 14
⇒ x < 14/(- 7) [কোনো ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে অসমতার চিহ্নটি উল্টে যায়]
⇒ x < - 2

∴ সমাধান হলো x < - 2

প্রশ্ন: যদি a + b = 5 এবং a² + b² = 13 হয়, তবে a³ + b³ এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে, a + b = 5 এবং a² + b² = 13
এখন,
(a + b)² = a² + b² + 2ab
⇒ 5² = 13 + 2ab
⇒ 25 = 13 + 2ab
⇒ 25 - 13 = 2ab
⇒ 12 = 2ab
⇒ ab = 6

∴ a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)
⇒ a³ + b³ = (5)³ - 3(6)(5)
⇒ a³ + b³ = 125 - 90
∴ a³ + b³ = 35

প্রশ্ন: একটি পিকনিকে যতজন বন্ধু ছিল, প্রত্যেকে তার থেকে 4 টাকা বেশি করে দেওয়ায় মোট 320 টাকা উঠল। পিকনিকে বন্ধুর সংখ্যা কত ছিল?

সমাধান:
মনে করি, পিকনিকে বন্ধুর সংখ্যা = x জন
প্রত্যেকে চাঁদা দেয় = (x + 4) টাকা

প্রশ্নমতে,
⇒ x(x + 4) = 320
⇒ x² + 4x = 320
⇒ x² + 4x - 320 = 0
⇒ x² + 20x - 16x - 320 = 0
⇒ x(x + 20) - 16(x + 20) = 0
⇒ (x - 16)(x + 20) = 0

হয়, x - 16 = 0
⇒ x = 16
অথবা, x + 20 = 0
⇒ x = - 20 (বন্ধুর সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই এটি গ্রহণযোগ্য নয়)

∴ পিকনিকে বন্ধুর সংখ্যা 16 জন ছিল।

প্রশ্ন: |3x - 4| < 5 এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
⇒ |3x - 4| < 5
⇒ -5 < 3x - 4 < 5
⇒ -5 + 4 < 3x < 5 + 4
⇒ - 1 < 3x < 9
⇒ - 1/3 < x < 9/3
⇒ - 1/3 < x < 3

∴ সমাধান হলো -1/3 < x < 3

প্রশ্ন: যদি x + (1/x) = 4 হয়, তাহলে x⁴ + (1/x⁴) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + (1/x) = 4
⇒ (x + 1/x)² = 4² [উভয় পাশে বর্গ করে]
⇒ x² + 2 × x × (1/x) + 1/x² = 16
⇒ x² + (1/x²) = 16 - 2
⇒ x² + (1/x²) = 14

আবার,
⇒ {x² + (1/x²)}² = 14²
⇒ (x²)² + 2 × x² × (1/x²) + (1/x²)² = 196
⇒ x⁴ + 2 + (1/x⁴) = 196
⇒ x⁴ + (1/x⁴) = 196 - 2
∴ x⁴ + (1/x⁴) = 194

প্রশ্ন: একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল - 2 এবং 5 হলে, সমীকরণটি হবে-

সমাধান:
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল - 2 ও 5 হলে, সমীকরণটি নিম্নরুপ:
x² - (মূলদ্বয়ের যোগফল)x + মূলদ্বয়ের গুণফল = 0
⇒ x² - (- 2 + 5)x + (- 2 × 5) = 0
⇒ x² - (3)x + (- 10) = 0
⇒ x² - 3x - 10 = 0

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার ৬ গুণের সাথে ১৫ যোগ করা হলে যোগফল সংখ্যাটির ৮ গুণ অপেক্ষা ৫ কম। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = x
প্রশ্নমতে,
⇒ 6x + 15 = 8x - 5
⇒ 15 + 5 = 8x - 6x
⇒ 20 = 2x
⇒ x = 20/2
⇒ x = 10

∴ সংখ্যাটি হলো 10।

প্রশ্ন: x² + 2x - 15 > 0 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
⇒ x² + 2x - 15 > 0
⇒ x² + 5x - 3x - 15 > 0
⇒ x(x + 5) - 3(x + 5) > 0
⇒ (x + 5)(x - 3) > 0

এই অসমতার সমাধান বিন্দু দুটি হলো x = - 5 এবং x = 3।
 
(x + 5)(x - 3) > 0 এর গুণফল ধনাত্মক হয়, যখন
উভয় উৎপাদকই ধনাত্মক (অর্থাৎ x > 3) অথবা উভয় উৎপাদকই ঋণাত্মক (অর্থাৎ x < - 5)।

অর্থাৎ, x < - 5 অথবা x > 3।
ব্যবধি আকারে লিখলে হয়: (- ∞, - 5) ∪ (3, ∞)।

প্রশ্ন: x³ - 3x² + 4x - 5 কে x - 2 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

সমাধান:
ধরি, p(x) = x³ - 3x² + 4x - 5
ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী, p(x) কে (x - 2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে P(2)।
P(2) = (2)³ - 3(2)² + 4(2) - 5
= 8 - 3(4) + 8 - 5
= 8 - 12 + 8 - 5
= 16 - 17
= - 1

∴ নির্ণেয় ভাগশেষ হলো - 1।

প্রশ্ন: (3x - 4, 10) = (11, 2y + 4) হলে, (x, y) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(3x - 4, 10) = (11, 2y + 4)

অতএব,
3x - 4 = 11
⇒ 3x = 11 + 4
⇒ 3x = 15
⇒ x = 5

এবং,
10 = 2y + 4
⇒ 10 - 4 = 2y
⇒ 6 = 2y
⇒ y = 3

∴ (x, y) = (5, 3)

প্রশ্ন: একটি বাসে মোট যাত্রী সংখ্যা ৮০ জন। স্পেশাল সিটের ভাড়া সাধারণ সিটের ভাড়ার ৩ গুণ। সাধারণ সিটের ভাড়া মাথাপিছু ২৫ টাকা। মোট ভাড়া আদায় ২৪০০ টাকা হলে, সাধারণ সিটের যাত্রী সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
সাধারণ সিটের যাত্রী সংখ্যা = ক জন
∴ স্পেশাল সিটের যাত্রী সংখ্যা = ৮০ - ক জন
সাধারণ সিটের ভাড়া মাথাপিছু = ২৫ টাকা
∴ স্পেশাল সিটের ভাড়া = ২৫ × ৩ = ৭৫ টাকা
প্রশ্নমতে,
২৫ক + ৭৫(৮০ - ক) = ২৪০০
⇒ ২৫ক + ৬০০০ - ৭৫ক = ২৪০০
⇒ ৬০০০ - ৫০ক = ২৪০০
⇒ - ৫০ক = ২৪০০ - ৬০০০
⇒ - ৫০ক = - ৩৬০০
⇒ ৫০ক = ৩৬০০
⇒ ক = ৩৬০০/৫০
⇒ ক = ৭২
সুতরাং, সাধারণ সিটের যাত্রী সংখ্যা হলো ৭২ জন।

প্রশ্ন: |x - 3| ≤ 4 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m ≤ 2x - 1 ≤ n হবে?

সমাধান:
⇒ |x - 3| ≤ 4
⇒ - 4 ≤ x - 3 ≤ 4
⇒ - 4 + 3 ≤ x ≤ 4 + 3
⇒ - 1 ≤ x ≤ 7
⇒ - 1 × 2 ≤ 2x ≤ 7 × 2
⇒ - 2 ≤ 2x ≤ 14
⇒ - 2 - 1 ≤ 2x - 1 ≤ 14 - 1
⇒ - 3 ≤ 2x - 1 ≤ 13

এখন, m ≤ 2x - 1 ≤ n এর সাথে তুলনা করে পাই,
m = - 3 এবং n = 13।

প্রশ্ন: x³ - 3x² + ax - 6 বহুপদীর একটি উৎপাদক x - 2 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, f(x) = x³ - 3x² + ax - 6
যেহেতু (x - 2) রাশিটির একটি উৎপাদক, সেহেতু x = 2 হলে f(x) এর মান শূন্য হবে।

এখন, f(2) এর মান নির্ণয় করি,
f(2) = (2)³ - 3(2)² + a(2) - 6
= 8 - 3(4) + 2a - 6
= 8 - 12 + 2a - 6
= -4 + 2a - 6
= 2a - 10

শর্তমতে,
f(2) = 0
বা, 2a - 10 = 0
বা, 2a = 10
∴ a = 5

প্রশ্ন: হলে, x এর মান কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: চারটি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ১২৬ হলে, সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যা চারটি হলো যথাক্রমে ক, (ক + ১), (ক + ২) এবং (ক + ৩)।
প্রশ্নমতে,
ক + (ক + ১) + (ক + ২) + (ক + ৩) = ১২৬
⇒ ৪ক + ৬ = ১২৬
⇒ ৪ক = ১২৬ - ৬
⇒ ৪ক = ১২০
⇒ ক = ১২০/৪
⇒ ক = ৩০

∴ সবচেয়ে ছোট সংখ্যাটি হলো ৩০।
সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি = ক + ৩ = ৩০ + ৩ = ৩৩

প্রশ্ন: 8 - 3x ≥ 2x + 18 অসমতার সমাধান কোনটি?

সমাধান:
⇒ 8 - 3x ≥ 2x + 18
⇒ - 3x - 2x ≥ 18 - 8
⇒ - 5x ≥ 10
⇒ x ≤ 10/5 [কোনো ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে অসমতার চিহ্নটি উল্টে যায়]
⇒ x ≤ - 2

ব্যবধি আকারে লিখলে হয়: (- ∞, - 2]

(- ∞, - 2] বলতে বোঝায় যে, - 2 বা তার চেয়ে ছোট সব বাস্তব সংখ্যা এই সমাধানের অন্তর্ভুক্ত।

প্রশ্ন: যদি p - 1/p = √5 হয়, তাহলে (p⁶ - 1)/p³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, p - 1/p = √5
এখন,
(p⁶ - 1)/p³ 
= (p⁶/p³) - (1/p³)
= p³ - (1/p³)
= {p - (1/p)}³ + 3 × p × (1/p){(p - (1/p)}
⇒ (√5)³ + 3 × √5
⇒ 5√5 + 3√5
∴ (p⁶ - 1)/p³ = 8√5

প্রশ্ন: যদি a + b + c = 0 হয়, তাহলে a³ + b³ + c³ + 10abc এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, a + b + c = 0
আমরা জানি, 
যদি a + b + c = 0 হয়, তাহলে a³ + b³ + c³ = 3abc হয়।

প্রদত্ত রাশি = a³ + b³ + c³ + 10abc
= 3abc + 10abc
∴ a³ + b³ + c³ + 10abc = 13abc

প্রশ্ন: x⁶ - y⁶ এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
x⁶ - y⁶
= (x³)² - (y³)²
= (x³ + y³)(x³ - y³)
= (x + y)(x² - xy + y²)(x - y)(x² + xy + y²)
= (x + y)(x - y)(x² - xy + y²)(x² + xy + y²)

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার যোগফল 15 এবং গুণফল 56 হলে, তাদের বর্গের যোগফল কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যা দুটি হলো x এবং y
দেওয়া আছে, x + y = 15
এবং xy = 56

আমরা জানি,
⇒ x² + y² = (x + y)² - 2xy
⇒ x² + y² = (15)² - 2 × 56
⇒ x² + y² = 225 - 112
⇒ x² + y² = 113

∴ বর্গের যোগফল = 113

প্রশ্ন: x² - 7x + 12 < 0 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
x² - 7x + 12 < 0
⇒ x² - 3x - 4x + 12 < 0
⇒ x(x - 3) - 4(x - 3) < 0
⇒ (x - 3)(x - 4) < 0

দুটি রাশির গুণফল ঋণাত্মক (শূন্যের চেয়ে ছোট) হওয়ার জন্য একটি রাশি ধনাত্মক এবং অন্যটি ঋণাত্মক হতে হবে।

ক্ষেত্র ১: (x - 3) > 0 এবং (x - 4) < 0
⇒ x > 3 এবং x < 4
⇒ 3 < x < 4

ক্ষেত্র ২: (x - 3) < 0 এবং (x - 4) > 0
⇒ x < 3 এবং x > 4
এই সম্পর্কটি একসাথে সত্য হতে পারে না।

সুতরাং, সঠিক সমাধান হলো 3 < x < 4

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার যোগফল ২২ এবং তাদের অন্তর ৮ হলে সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি সংখ্যা = ক
অপর সংখ্যা = খ
প্রশ্নমতে,
ক + খ = ২২ ........(১)
এবং
ক - খ = ৮ ..........(২)

(১) ও (২) নং সমীকরণ দুইটি যোগ করে পাই,
২ক = ৩০
⇒ ক = ৩০/২
⇒ ক = ১৫

ক এর মান (২) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
১৫ - খ = ৮
⇒ খ = ১৫ - ৮
⇒ খ = ৭

∴ সংখ্যা দুইটি হলো ১৫ এবং ৭।

প্রশ্ন: যদি p + q = √10 এবং p - q = √6 হয়, তবে 8pq(p² + q²) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p + q = √10
p - q = √6

আমরা জানি,
8pq(p² + q²) 
= (4pq) × 2(p² + q²)
= {(p + q)² - (p - q)²} × {(p + q)² + (p - q)²}
⇒ {(√10)² - (√6)²} × {(√10)² + (√6)²}
⇒ (10 - 6) × (10 + 6)
⇒ 4 × 16
∴ 8pq(p² + q²) = 64

প্রশ্ন: (2x + 3)² - 16 এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
(2x + 3)² - 16
= (2x + 3)² - 4²
= (2x + 3 - 4)(2x + 3 + 4)
= (2x - 1)(2x + 7)

প্রশ্ন: p এর মান কত হলে, px² - 12x + 9 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় জটিল হবে?

সমাধান:
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় জটিল হওয়ার শর্ত হলো, এর নির্ণায়ক (Discriminant) শূন্য থেকে ছোট হবে।
অর্থাৎ, b² - 4ac < 0

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো,
px² - 12x + 9 = 0
এখানে, a = p, b = - 12, c = 9।

শর্তানুসারে,
b² - 4ac < 0
⇒ (- 12)² - 4(p)(9) < 0
⇒ 144 - 36p < 0
⇒ 144 < 36p
⇒ 144/36 < p
⇒ 4 < p
⇒ p > 4

সুতরাং, p এর মান 4 এর চেয়ে বেশি হলে সমীকরণের মূলদ্বয় জটিল হবে।

প্রশ্ন: যদি

সমাধান: