Math Master

প্রশ্ন: একজন মাঝি স্রোতের অনুকূলে ৩ ঘণ্টায় ১৪ মাইল যায় এবং ৪ ঘণ্টায় প্রাথমিক অবস্থানে ফিরে আসে । তার ভ্রমণে প্রতি ঘন্টায় গড় গতিবেগ কত? 

সমাধান: 
মোট দূরত্ব = (১৪ + ১৪) মাইল = ২৮ মাইল
মোট সময় = (৪ + ৩) ঘণ্টা = ৭ ঘণ্টা 

∴ ঘন্টায় গড় গতিবেগ = (২৮/৭) মাইল/ঘণ্টা
= ৪ মাইল/ঘণ্টা। 

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চার আয়তন ১২ ঘন মিটার। চৌবাচ্চাটির দৈর্ঘ্য ৩ মিটার এবং প্রস্থ ২ মিটার। চৌবাচ্চার গভীরতা কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
চৌবাচ্চাটির গভীরতা = ক মিটার 
​
​প্রশ্নমতে, 
​চৌবাচ্চার আয়তন = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা) 
⇒ ১২ = (৩ × ২ × ক) 
⇒ ৬ক = ১২
​⇒ ক = ১২/৬ 
∴ ক = ২ 

∴ চৌবাচ্চাটির গভীরতা= ২ মিটার। 

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ঘণ্টায় ৩৬ কিলোমিটার বেগে চলে। ট্রেনটি ৪৫০ মিটার দীর্ঘ একটি প্লাটফর্ম ৫৫ সেকেন্ডে অতিক্রম করে। ট্রেনটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান: 
এখানে,
৩৬ কিলোমিটার = ৩৬০০০ মিটার
১ ঘণ্টা = ৩৬০০ সেকেন্ড 

৩৬০০ সেকেন্ড অতিক্রম করে = ৩৬০০০ মিটার 
∴ ১ সেকেন্ড অতিক্রম করে = ৩৬০০০/৩৬০০ মিটার 
∴ ৫৫ সেকেন্ড অতিক্রম করে = (৩৬০০০ × ৫৫)/৩৬০০ মিটার 
= ৫৫০ মিটার 

প্রশ্নমতে, 
ট্রেনের দের্ঘ্য + প্লাটফরমের দৈর্ঘ্য = ৫৫০ মিটার 
বা, ট্রেনের দৈর্ঘ্য = (৫৫০ - ৪৫০) মিটার 
​ ∴ ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ১০০ মিটার। 

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি ১০ ঘণ্টায় একটি নির্দিষ্ট দূরত্ব অতিক্রম করেন। যাত্রাপথের অর্ধেক দূরত্ব তিনি ২১ কি.মি./ঘণ্টা এবং বাকী অর্ধেক দূরত্ব ২৪ কি.মি./ঘণ্টা গতিতে চলেন। মোট দূরত্ব কত ছিল?

সমাধান: 
মনে করি, 
মোট দূরত্ব = ক মিটার 

প্রশ্নমতে, 
(ক/২)/২১ + (ক/২)/২৪ = ১০ 
বা, ক/৪২ + ক/৪৮ = ১০ 
বা, ৮ক + ৭ক = ১০ × ৩৩৬ 
বা, ১৫ক = ১০ × ৩৩৬ 
বা, ক = (১০ × ৩৩৬)/১৫ 
∴ ক = ২২৪ কি.মি. 
​
∴ ​মোট দূরত্ব = ২২৪ কি.মি. 

প্রশ্ন: ৫ জন তাঁতির ৫টি পোশাক তৈরি করতে ৫ দিন লাগলে ১০ জন তাঁতির ১০টি পোশাক তৈরি করতে কত দিন সময় লাগবে?

সমাধান: 
৫ জন তাঁতির ৫টি পোশাক তৈরি করতে সময় লাগে = ৫ দিন
∴ ১ জন তাঁতির ১টি পোশাক তৈরি করতে সময় লাগে = (৫ × ৫)/৫ দিন
∴ ১০ জন তাঁতির ১০টি পোশাক তৈরি করতে সময় লাগে = (৫ × ৫ × ১০)/(৫ × ১০) দিন
= ৫ দিন। 

প্রশ্ন: লঞ্চ ও স্রোতের গতিবেগ যথাক্রমে ঘণ্টায় ১৬ কি.মি. ও ৪ কি.মি.। নদীপথে ৬০ কি.মি. অতিক্রম করে পুনরায় ফিরে আসতে কত সময় লাগবে?

সমাধান: 
স্রোতের অনুকূলে লঞ্চের বেগ ঘন্টায় = লঞ্চের বেগ + স্রোতের বেগ 
​= (১৬ + ৪) কি.মি.
​= ২০ কি.মি.
∴ ৬০ কি.মি. যেতে সময় লাগবে = (৬০/২০) ঘণ্টা 
​= ৩ ঘণ্টা 

​​আবার, 
স্রোতের প্রতিকূলে লঞ্চের বেগ ঘণ্টায় = লঞ্চের বেগ - স্রোতের বেগ 
​= (১৬ - ৪) কি.মি. 
​= ১২ কি.মি.
∴ ৬০ কি.মি. যেতে সময় লাগবে = (৬০/১২) ঘণ্টা 
​ = ৫ ঘণ্টা 
​
∴ মোট সময় লাগবে = (৩ + ৫) ঘণ্টা 
​ = ৮ ঘণ্টা । 

প্রশ্ন: ৪০০ মিটার লম্বা একটি ট্রেন ঘণ্টায় ৯০ কিলোমিটার বেগে একটি বৈদ্যুতিক খুঁটিকে অতিক্রম করতে কত সময় লাগবে? 

সমাধান: 
নিজের দৈর্ঘ্যের সমান দূরত্ব অতিক্রম করলে ট্রেনটি খুঁটিকে অতিক্রম করবে। 
১ কিলোমিটার = ১০০০ মিটার 
∴ ​৯০ কিলোমিটার = (৯০ × ১০০০) মিটার 
​= ৯০০০০ মিটার 
​
৯০০০০ মিটার যায় = ৩৬০০ সেকেন্ডে 
​∴ ১ মিটার যায় = ৩৬০০/৯০০০০ সেকেন্ডে 
∴ ৪০০ মিটার যায় = (৩৬০০ × ৪০০)/৯০০০০ সেকেন্ডে 
= ১৬ সেকেন্ডে

∴ ট্রেনটি খুঁটিকে অতিক্রম করতে সময় লাগবে = ১৬ সেকেন্ড।

প্রশ্ন: একটি নল ১২ মিনিটে একটি খালি চৌবাচ্চা পূর্ণ করতে পারে। অপর একটি নল প্রতি মিনিটে ১৪ লিটার পানি বের করে দেয়। চৌবাচ্চাটি খালি থাকা অবস্থায় দুইটি নল একসাথে খুলে দেওয়া হলে চৌবাচ্চাটি ৯৬ মিনিটে পূর্ণ হয়। চৌবাচ্চাটিতে কত লিটার পানি ধরে? 

সমাধান: 
ধরি, 
​১ম নল দ্বারা প্রতি মিনিটে পানি প্রবেশ করে = x লিটার 
​এবং 
​চৌবাচ্চাটিতে মোট পানি ধরে = y লিটার 
​
প্রশ্নমতে, 
y = ১২x ..............(1)
এবং y = ৯৬x - ৯৬ × ১৪ ...........(2) 

(1) এর x এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, 
⇒ y = ৯৬(y/১২) - ১৩৪৪ 
⇒ y = ৮y - ১৩৪৪
∴ y = ১৩৪৪/৭ = ১৯২

∴ চৌবাচ্চাটিতে মোট পানি ধরে = ১৯২ লিটার। 

প্রশ্ন: একটি বাস কমলাপুর থেকে সকাল ৭ টায় ছেড়ে সকাল ১১ টায় কুমিল্লায় পৌঁছায়। কমলাপুর থেকে কুমিল্লার দূরত্ব ৯৬ কি.মি. হলে বাসটির গতিবেগ ঘণ্টায় কত ছিল?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
দূরত্ব = ৯৬ কি.মি. 
সময় = সকাল ৭ টা থেকে সকাল ১১ টা = ৪ ঘণ্টা 

আমরা জানি, 
বেগ = দূরত্ব/সময়
বা, বেগ = ৯৬/৪
∴ বেগ = ২৪ কি.মি./ঘণ্টা 

প্রশ্ন: একটি কাজ সম্পন্ন করতে জুয়েলের লাগে ৩০ মিনিট এবং সালমানের লাগে ২০ মিনিট। উভয়ে একত্রে কাজটি কত মিনিটে সম্পন্ন করতে পারবে?

সমাধান: 
জুয়েল ১ মিনিটে করে কাজটির = ১/৩০ অংশ 
সালমান ১ মিনিটে করে কাজটির = ১/২০ অংশ 
∴ জুয়েল ও সালমান একত্রে ১ মিনিটে করে কাজটির = {(১/৩০) + (১/২০)} অংশ
= {(২ + ৩)/৬০} অংশ 
​= ৫/৬০ অংশ 
​= ১/১২ অংশ 

জুয়েল ও সালমান ১/১২ অংশ কাজ করে = ১ মিনিটে 
∴ জুয়েল ও সালমান ১ বা সম্পূর্ণ অংশ কাজ করে = (১২ × ১)/১ মিনিটে 
= ১২ মিনিটে।

প্রশ্ন: দুটি ট্রেনের গতিবেগের অনুপাত ৫ : ৬ । যদি প্রথম ট্রেনটি ৫ ঘণ্টায় ৩৭৫ কি.মি. যায়। তাহলে, দ্বিতীয় ট্রেনের গতিবেগ কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
দুটি ট্রেনের গতিবেগের = ৫ : ৬ 

​ধরি, 
১ম ট্রেনের গতিবেগ = ৫ক 
২য় ট্রেনের গতিবেগ = ৬ক 

আবার
১ম ট্রেনের গতিবেগ = ৩৭৫/৫ কি.মি./ঘণ্টা 
= ৭৫ কি.মি./ঘণ্টা 

প্রশ্নমতে 
৫ক = ৭৫
∴ ক = ১৫ 

∴ ২য় ট্রেনের গতিবেগ = (৬ × ১৫) কি.মি./ঘণ্টা 
= ৯০ কি.মি./ঘণ্টা । 

প্রশ্ন: দুটি নল দ্বারা একটি চৌবাচ্চা যথাক্রমে ৩০ ও ৪৫ মিনিটে পানি পূর্ণ করে। নল দুটি একত্রে খোলা রাখলে চৌবাচ্চাটি কতক্ষণে পানি পূর্ণ হবে? 

সমাধান: 
১ম নল দ্বারা, 
৩০ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাটির = ১ অংশ
∴ ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার = ১/৩০ অংশ

২য় নল দ্বারা, 
৪৫ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাটির = ১ অংশ
∴ ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার = ১/৪৫ অংশ

দুইটি নল দ্বারা একত্রে ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = (১/৩০) + (১/৪৫) অংশ
=(৩ + ২)/৯০ অংশ
= ৫/৯০ অংশ
= ১/১৮ অংশ 

দুইটি নল দ্বারা, 
১/১৮ অংশ পূর্ণ হয় = ১ মিনিটে
∴ ১ অংশ বা সম্পূর্ণ পূর্ণ হয় = (১ × ১৮)/১ মিনিটে
​ = ১৮ মিনিটে । 

প্রশ্ন: ঘণ্টায় ৩ কি.মি. বেগে চললে কোনো স্থানে পৌঁছাতে যে সময় লাগে, ঘণ্টায় ৬ কি.মি. বেগে চললে তার চেয়ে ৬০ মিনিট কম লাগে। স্থানটির দূরত্ব কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
​স্থানটির দূরত্ব = ক কি.মি.
​
৩ কি.মি./ঘণ্টায় চললে কোনো স্থানে পৌছতে সময় লাগে = ক/৩ ঘণ্টা 
আবার, 
​৬ কি.মি./ঘণ্টায় চললে কো্নো স্থানে পৌছতে সময় লাগে = ক/৬ ঘণ্টা 

প্রশ্নমতে,
(ক/৩) - (ক/৬) = ১ 
বা, (২ক - ক)/৬ = ১
বা, ক/৬ = ১
∴ ক = ৬ 
​
∴ স্থানটির দূরত্ব = ৬ কি.মি.।

প্রশ্ন: একটি কাজ করতে ৫০০ জন শ্রমিকের ৪৮ দিন সময় লাগে। ৩০ দিনে কাজটি শেষ করতে কত জন অতিরিক্ত শ্রমিক লাগবে? 

সমাধান: 
৪৮ দিনে কাজটি করতে লোক লাগে = ৫০০ জন 
∴ ১ দিনে কাজটি করতে লোক লাগে = ৫০০ × ৪৮ জন 
∴ ৩০ দিনে কাজটি করতে লোক লাগে = (৫০০ × ৪৮)/৩০ জন 
= ৮০০ জন 

∴ অতিরিক্ত শ্রমিক লাগবে = (৮০০ - ৫০০) জন 
= ৩০০ জন।

প্রশ্ন: একটি পানির ট্যাঙ্ক দুই-তৃতীয়াংশ পূর্ণ আছে। পাইপ ক দ্বারা ট্যাঙ্কটি ১০ মিনিটে পূর্ণ হয়। আবার পাইপ খ দ্বারা ট্যাঙ্কটি ৬ মিনিটে খালি হয়। যদি দুইটি পাইপ একসাথে চালু থাকে তবে কত সময় পর সম্পূর্ণ ট্যাঙ্কটি খালি বা পূর্ণ হবে? 

সমাধান: 
পাইপ p দিয়ে ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = ১/১০ অংশ 
আবার, 
পাইপ q দিয়ে ১ মিনিটে খালি হয় = ১/৬ অংশ 
∴ দুটি নল খোলা থাকলে ১ মিনিটে খালি হবে = {(১/৬) - (১/১০)} 
= (৫ - ৩)/৩০ অংশ 
= ২/৩০ অংশ 
= ১/১৫ অংশ 

এখন, 
১/১৫ অংশ খালি হয় = ১ মিনিটে 
∴ ১ অংশ খালি হয় = ১৫ মিনিটে 
∴ ২/৩ অংশ খালি হয় = (১৫ × ২)/৩ মিনিটে 
= ১০ মিনিটে। 

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ১৮ সেকেন্ড ও ১৫ সেকেন্ডে যথাক্রমে ১৬২ ও ১২০ মিটার লম্বা দুটি স্টেশন অতিক্রম করে। ট্রেনটির দৈর্ঘ্য কত মিটার? 

সমাধান: 
ধরি, 
ট্রেনটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার 

প্রশ্নমতে, 
(ক + ১৬২)/১৮ = ( ক + ১২০)/১৫ 
⇒ ১৮ক + ২১৬০ = ১৫ক + ২৪৩০ 
⇒ ১৮ক - ১৫ক = ২৪৩০ - ২১৬০ 
⇒ ৩ক = ২৭০
⇒ ক = ২৭০/৩
∴ ক = ৯০ 

∴ ট্রেনটির দৈর্ঘ্য = ৯০ মিটার।

প্রশ্ন: একজন মাঝি স্রোতহীন জলে নৌকা চালিয়ে সকালে ঘাঁট থেকে বাজারের দিকে ৬ কি.মি/ঘণ্টা বেগে যান এবং বিকেলে বাজার থেকে ঘাঁটে ফেরার সময় তার নৌকার গতি হয় ৪ কি.মি/ঘণ্টা। ফেরার পথে যেতে আসার চেয়ে ১ ঘণ্টা বেশি সময় লাগে। ঘাঁট থেকে বাজারের দূরত্ব কত কি.মি? 

সমাধান: 
ধরি, 
ঘাঁট থেকে বাজারের দূরত্ব = ক কি.মি 
বাজারে যেতে সময় লাগে = ক/৬ ঘণ্টা 
আবার, 
বাজার থেকে ফিরতে সময় লাগে = ক/৪ ঘণ্টা 

প্রশ্নমতে, 
(ক/৪) - (ক/৬) = ১ 
⇒ (৬ক - ৪ক)/২৪ = ১ 
⇒ ২ক/২৪ = ১ 
⇒ ক/১২ = ১ 
∴ ক = ১২ 

∴ ঘাঁট থেকে বাজারের দূরত্ব = ১২ কি.মি। 

প্রশ্ন: চট্টগ্রাম থেকে ঢাকার দূরত্ব ২৮৫ কি.মি.। একটি বাসের বেগ ৫৭ কি.মি./ঘণ্টা হলে, ঢাকা থেকে চট্টগ্রামে যেতে বাসটির কত সময় লাগবে? 

সমাধান: 
৫৭ কি.মি. যেতে সময় লাগে = ১ ঘণ্টা
∴ ১ কি.মি. যেতে সময় লাগে = ১/৫৭ ঘণ্টা
∴ ২৮৫ কি.মি. যেতে সময় লাগে = ২৮৫/৫৭ ঘণ্টা 
= ৫ ঘণ্টা।