সহকারী থানা শিক্ষা অফিসার (ATEO)

প্রশ্ন: log₁₆x = 0.25 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
log₁₆x = 0.25
∴ x = 16^0.25
⇒ x = (2⁴)^1/4
∴ x = 2

প্রশ্ন: A ও B দুটি সসীম সেট। যদি n(A) = 20, n(B) = 28 এবং n(A ∪ B) = 36 হয়, তাহলে n(A ∩ B) =?

সমাধান:
আমরা জানি,
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B). 
∴ n(A ∩ B) = n(A) + n(B) - n(A ∪ B) 
= 20 + 28 - 36 
= 48 - 36 
= 12 

প্রশ্ন: f(x) = x² - 2x + 5 হলে, f(2) এর মান কত?

সমাধান:
f(x) = x² - 2x + 5
∴ f(2) = 2² - 2 × 2 + 5
= 4 - 4 + 5
= 5

প্রশ্ন: একটি মুদ্রা ৩ বার নিক্ষেপ করা হলে কমপক্ষে একটি হেড আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
তিন বার নিক্ষেপ করা হলে নমুনা ক্ষেত্র হবে = {HHH, HHT, HTH, THH, TTH, THT, HTT, TTT}
মোট নমুনাক্ষেত্র = ৮টি
কমপক্ষে একটি হেড আসে এমন ঘটনা ৭টি

∴ কমপক্ষে একটি হেড আসার সম্ভাবনা = ৭/৮

প্রশ্ন: যদি 5^{2x - 2} = 625 হয়, তাহলে x এর মান কত?

সমাধান:
5^{2x - 2} = 625
⇒ 5^{2x - 2} = 5⁴
⇒ 2x - 2 = 4
⇒ 2x = 6
∴ x = 3

প্রশ্ন: log₁₂1728 × log₉6561 = ?

সমাধান:
log₁₂1728 × log₉6561
= log₁₂12³ × log₉9⁴
= 3log₁₂12 × 4log₉9
= 3 × 4
= 12

প্রশ্ন: Q = {d : d = 3x, যেখানে 2 ≤ x ≤ 8 এবং x ∈ N} হলে Q এর উপাদান সংখ্যা কত?

সমাধান:
d = 3x এবং x এর মান 2 ≤ x ≤ 8 এবং x ∈ N

x = 2 হলে, d = 6
x = 3 হলে, d = 9
x = 4 হলে, d = 12
x = 5 হলে, d = 15
x = 6 হলে, d = 18
x = 7 হলে, d = 21
x = 8 হলে, d = 24

∴ Q = {6, 9, 12, 15, 18, 21, 24}
∴ Q এর উপাদান সংখ্যা 7

প্রশ্ন: f(x) = 3x + 2 হলে, f^-1(x) কী হবে?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = 3x + 2 = y
⇒ 3x = y - 2
∴ x = (y - 2)/3

যেহেতু,
f(x) = y
∴ f^{- 1}(y) = x
⇒ f^{- 1}(y) = (y - 2)/3
∴ f^{- 1}(x) = (x - 2)/3

প্রশ্ন: ৫২টি তাস থেকে ১টি তাস টানা হলে সংখ্যাযুক্ত কার্ড ওঠার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
সংখ্যাযুক্ত কার্ড (২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ৯, ১০) এর সংখ্যা = ৯ × ৪ = ৩৬টি
মোট কার্ডের সংখ্যা = ৫২টি

∴ সংখ্যাযুক্ত কার্ড ওঠার সম্ভাবনা = ৩৬/৫২ = ১৮/২৬ = ৯/১৩

প্রশ্ন: log_x3 + log_x9 + log_x27 + log_x81 = 10 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
log_x3 + log_x9 + log_x27 + log_x81 = 10
⇒ log_x(3 × 9 × 27 × 81) = 10
⇒ log_x(3 × 3² × 3³ × 3⁴) = 10
⇒ log_x3^(1+2+3+4) = 10
⇒ log_x3¹⁰ = 10
⇒ 10log_x3 = 10
⇒ log_x3 = 1
⇒ x¹ = 3
∴ x = 3

প্রশ্ন: যদি f(x) = x² এবং g(x) = x + 1 হয়, তবে f(g(x)) এর মান কী হবে?

সমাধান:
f(x) = x²
f(g(x)) = (x + 1)²

প্রশ্ন: একটি থলেতে ৫টি সবুজ ও ৭টি লাল বল রয়েছে। থলেতে পুনরায় না রেখে দুটি বল তোলা হলে ১ম বলটি সবুজ ও ২য় বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট বল আছে ৫ + ৭ = ১২টি
১ম বলটি সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা = ৫/১২
২য় বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা = ৭/১১

∴ ১ম বলটি সবুজ ও ২য় বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা = ৫/১২ × ৭/১১ = ৩৫/১৩২

প্রশ্ন: যদি 17^x = 4913 হয়, তাহলে 2^{2x - 1} এর মান কত?

সমাধান:
17^x = 4913
⇒ 17^x = 17³
∴ x = 3

2^{2x - 1}
= 2^{2 × 3 - 1}
= 2^{6 - 1}
= 2⁵
= 32

প্রশ্ন: যদি log(a + 3) + log(a - 3) = 1 হয়, তাহলে a = কত?

সমাধান:
log(a + 3) + log(a - 3) = 1
⇒ log{(a + 3)(a - 3)} = 1
⇒ log(a² - 3²) = 1
⇒ log(a² - 9) = log10
⇒ a² - 9 = 10
⇒ a² = 19
∴ a = √19

প্রশ্ন: একটি শ্রেণির ৩০ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে ১৮ জন ফ্রেঞ্চ ভাষা শিখে। ৮ জন ফ্রেঞ্চ ও স্প্যানিশ ভাষা উভয়টিই শিখে। যদি প্রত্যেক শিক্ষার্থীই দুটি ভাষার কোন একটি ভাষা শিখে তাহলে মোট কতজন স্প্যানিশ ভাষা শিখছে?

সমাধান:
মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা n(S) = ৩০ জন
দুটি ভাষাই শিখে n(F ∩ S) = ৮ জন
শুধু মাত্র ফ্রেঞ্চ ভাষা শিখে n(F) = ১৮ - ৮ = ১০ জন

∴ মোট স্প্যানিশ ভাষা শিখে = ৩০ - ১০ জন
= ২০ জন

প্রশ্ন: f(x) = x² - 4x + 3 হলে, f(1) + f(3) এর মান কত?

সমাধান:
f(x) = x² - 4x + 3
∴ f(1) = 1 - 4 + 3 = 4 - 4 = 0
∴ f(3) = 3² - 4 × 3 + 3 = 9 - 12 + 3 = 12 - 12 = 0

∴ f(1) + f(3) = 0 + 0 = 0

প্রশ্ন: সম্ভাবনার সর্বোচ্চ মান কত?

সমাধান:
সম্ভাবনার সংজ্ঞা:
কোন ঘটনা ঘটা বা না ঘটা সম্পর্কে নিশ্চিত না হলেই সম্ভাবনা ব্যবহার করা হয়। সাধারণভাবে কোন ঘটনা ঘটবে কি ঘটবে না তার পরিমাপই সম্ভাবনা। কোন দৈব পরীক্ষণের একটি ঘটনার অনুকূল ফলাফল সংখ্যা এবং মোট ফলাফল সংখ্যার অনুপাতকে ঐ ঘটনার সম্ভাবনা বলে।
অর্থাৎ, সম্ভাবনা = কোন ঘটনার অনুকূল ফলাফল সংখ্যা/ পরীক্ষণের মোট ফলাফল সংখ্যা

যদি কোন পরীক্ষণের মোট ফলাফল সংখ্যা n এবং কোন ঘটনা A এর অনুকূল ফলাফল সংখ্যা m হয় তাহলে,
A ঘটনাটি ঘটার সম্ভাবনা, P(A) = m/n

•স্বত: সিদ্ধ সম্ভাবনা:
এটা সম্ভাবনার সবচেয়ে আধুনিক সংজ্ঞা এবং এর প্রবক্তা হলেন রাশিয়ান গণিতবিদ A. N. Kolmogorov. এক্ষেত্রে সম্ভাবনার বিস্তারিত সংজ্ঞার পরিবর্তে কিছু স্বত: সিদ্ধ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। তাই একে স্বত: সিদ্ধ সম্ভাবনা বলে। স্বত: সিদ্ধসমূহ হলো:
ক. কোন ঘটনার সম্ভাবনা শূন্য হতে একের মধ্যে থাকবে। অর্থাৎ 0 ≤ P(A) ≤ 1
খ. নমুনা ক্ষেত্রের মোট সম্ভাবনা, P(S) = 1
গ. যদি A ও B পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা হয় তবে P(AUB) = P(A) + P(B) হবে।

প্রশ্ন: x⁰ = 1 সত্য হবে না, যখন-

সমাধান:
x ≠ 0 হলে,
x⁰ = 1, x ^{- n} = 1/xⁿ হবে।

∴ x = 0 হলে, x⁰ = 1 সত্য হবে না।

প্রশ্ন: log27 = 1.431 হলে, log9 এর মান কত?

সমাধান:
log27 = 1.431
⇒ log3³ = 1.431
⇒ 3log3 = 1.431
⇒ log3 = 1.431/3
∴ log3 = 0.477

log9
= log3²
= 2log3
= 2 × 0.477
= 0.954

প্রশ্ন: A = {3, 4, 5}, B = {4, 5, 6} হলে, n(A ∩ B) = কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {3, 4, 5}
B = {4, 5, 6}
A ∩ B = {3, 4, 5} ∩ {4, 5, 6} = {4, 5}

∴ A ∩ B এর উপাদান সংখ্যা n(A ∩ B) = 2

প্রশ্ন: ফাংশনের ডোমেইন কী নির্দেশ করে?

সমাধান:
• একটি ফাংশনের ডোমেইন হল সমস্ত সম্ভাব্য ইনপুট মানগুলির সেট (প্রায়শই ডোমেইনকে x দ্বারা উপস্থাপন করা হয়) যার জন্য ফাংশন সংজ্ঞায়িত করা হয়।
- f(x) একটি ফাংশন হলে, x এর যেসকল বাস্তব মানের জন্য f(x) এর বাস্তব মান পাওয়া যাবে, x এর ঐসকল মানকে ডোমেন বলে।

প্রশ্ন: বাংলা স্বরবর্ণগুলো থেকে মাত্রাহীন বর্ণ পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
- বাংলা বর্ণমালায় স্বরবর্ণ ১১টি।
- বাংলা বর্ণমালায় মাত্রাহীন স্বরবর্ণ ৪টি এ, ঐ, ও, ঔ

∴ বাংলা স্বরবর্ণগুলো থেকে মাত্রাহীন বর্ণ পাওয়ার সম্ভাবনা ৪/১১

প্রশ্ন: log₁₀2 = 0.301 হলে, log₂10 এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
log_ab = 1/log_ba

∴ log₂10
= 1/ log₁₀2
= 1/0.3010
= (1 × 1000)/301
= 1000/301

প্রশ্ন: A ∪ ∅ = কী হবে?

সমাধান:
A ∪ ∅ সেট দ্বারা বুঝায় সেটের সকল উপাদান A সেটে থাকবে অথবা ফাঁকা সেটে থাকবে।
আমরা জানি, ফাঁকা সেটের কোন উপাদান নেই।
সুতরাং, সেটের সকল উপাদান A সেটেই থাকবে।

∴ A ∪ ∅ = A

প্রশ্ন: F = {(0, 1), (1, 2), (2, 3)} এর রেঞ্জ কত?

সমাধান:
সাধারণত কোনো অন্বয়ের জোড়গুলোর ২য় উপাদানগুলোকে রেঞ্জ বলে, তাই এখানে রেঞ্জ হবে F = {1, 2, 3}

প্রশ্ন: ১ থেকে ২১০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর একটি দৈবচয়ন পদ্ধতিতে নেওয়া হলে, সংখ্যাটি বর্গসংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
১ থেকে ২২০ পর্যন্ত মোট নমুনাবিন্দু = ২১০
পূর্ণ বর্গসংখ্যার অনুকূলে নমুনাবিন্দু - {১, ৪, ৯, ১৬, ২৫, ৩৬, ৪৯, ৬৪, ৮১, ১০০, ১২১, ১৪৪, ১৬৯, ১৯৬} = মোট ১৪টি

∴ এক্ষেত্রে সম্ভাবনা = ১৪/২১০
= ১/১৫