ডেইলি কুইজ [২০০ দিন]

প্রশ্ন: 5 + 8 + 11 + 14 + ............  ধারাটির 19তম পদ কত? 

সমাধান: 
এখানে
ধারাটির প্রথম পদ a = 5
সাধারণ অন্তর d = 8 - 5 = 3  

আমরা জানি 
n তম পদ = a + (n - 1)d
19 তম পদ = a + (19 - 1)d
= a + 18d
= 5 + 18 × 3 
= 5 + 54
= 59

প্রশ্ন:
সমাধান:
2 + 6 + 10 + 14 + ..............

এখানে
১ম  পদ a = 2
সাধারণ অন্তর d =২য় পদ - ১ম পদ 
= 6 - 2 = 4

আবার 
৩য় পদ - ২য় পদ
= 10 - 6
= 4
পাশাপাশি দুটি পদের পার্থক্য = 4
2 + 6 + 10 + 14 + .............. ধারাটি সমান্তর ধারা। 

প্রশ্ন: 4 + 8 + 16 + .........গুণোত্তর ধারাটির অষ্টম পদ কত? 

সমাধান: 
ধারাটির প্রথম পদ, a = 4
ধারাটির দ্বিতীয় পদ= 8

অতএব সাধারণ অনুপাত, r = 8/4 = 2

∴ অষ্টম পদ, ar^{8 - 1}
= 4 × 2⁷
= 4 × 128
= 512
 

প্রশ্ন: 5 + 12 + 19 + 26 + ...................ধারাটির কোন পদ 488? 

সমাধান: 
এখানে
১ম পদ a = 5
সাধারণ অন্তর d =12 - 5 = 7

আমরা জানি,
 n তম পদ = a + (n - 1)d
বা, 488 = 5 +(n - 1)×(7)
বা, 488= 5 + 7n - 7
বা, 488 = 7n - 2
বা 7n = 488 + 2
বা  7n = 490
বা n = 490/7
   n  = 70

প্রশ্ন: 4 + 6 + 8 + ............... ধারাটির প্রথম ১৫টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
সমান্তর ধারার ১ম পদ a = 4
সাধারণ অন্তর d = 6 - 4 = 2

প্রথম 15 টি পদের সমষ্টি
= (15/2){2a + (15 - 1)d}
= (15/2){2 × 4 + 14 × 2)
= (15/2) (8 + 28)
= (15/2) × 36
= 15 × 18
= 270

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 5 তম পদ 11 এবং 4 তম পদ 14 হলে, ধারাটির 20 তম পদ কত?

সমাধান: 
সমান্তর ধারার প্রথম পদ a এবং 
সাধারণ অন্তর d 
দেয়া আছে
5 তম পদ = 11 
4 তম পদ = 14 
এখন 
a + (4 - 1)d = 14
a + 3d = 14.................(1)
a + 4d = 11................(2)

(2) - (1) ⇒
a + 4d  - (a + 3d) = 11 - 14 
a + 4d - a - 3d = - 3
d = - 3

(1) ⇒
a + 3d = 14
a + 3(- 3) = 14
a - 9 = 14
a = 14 + 9 
a = 23

ধারাটির 20 তম পদ = a + (20 - 1)d
= a + 19d
= 23 + 19(- 3)
= 23 - 57
= - 34 

প্রশ্ন: প্রথম 12টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি
1³ + 2³ + 3³ + ...........+ n³ ={n(n + 1)/2}²
1³ + 2³ + 3³ + ............. + 123 ={12(12 + 1)/2}²
                                               = {(12 × 13)/2}²
                                               = (78)²
                                               = 6084

প্রশ্ন: 5 + x + y + 135 একটি গুণোত্তর ধারা হলে x এর মান কত? 

সমাধান: 
এখানে,
৪র্থ পদ ar^{4 -1} = 135
বা ar³ = 135 ......... (i)

প্রথম পদ, a = 5 ....... (ii)
(i) ÷ (ii) = 
ar³/a = 135/5
r³ = 27
r³ = 3³
∴ r = 3
অর্থাৎ, সাধারণ অনুপাত, r = 3
২য় পদ x  = 5 × 3 = 15

প্রশ্ন: 2 - 5 - 12 - 19 - ................. ধারাটির সাধারণ অন্তর কত?

সমাধান: 
এখানে
১ম পদ a = 2
সাধারণ অন্তর d =- 5 - 2 = - 7 

প্রশ্ন: কোনো অনুক্রমের n তম পদ {2 - (- 1)³ⁿ}/3 হলে 11তম পদ কত?

সমাধান: 
দেয়া আছে, 
অনুক্রমের n তম পদ {2 - (- 1)³ⁿ}/3
11তম পদ {2 - (- 1)^{3 ×11}}/3
                 = {2 - (- 1)³³}/3
                 = {2 - (- 1)}/3
                 = (2 + 1)/3 
                 = 3/3
                 = 1

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার 16 তম পদ - 20 হলে, এর প্রথম 31 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
সমান্তর ধারার ১ম পদ a
সাধারণ অন্তর d

সমান্তর ধারার 16তম পদ - 20 হলে, 
a + (16 - 1)d = - 20
a + 15d = - 20

প্রথম 31 টি পদের সমষ্টি
= (31/2){2a + (31 - 1)d}
= (31/2){2a + 30d)
= (31/2) × 2(a + 15d)
= 31 × - 20
= - 620

প্রশ্ন: 1³ + 2³ + 3³ + ...........+ n³ = 225, n এর মান কত?

সমাধান: 
1³ + 2³ + 3³ +...........+n³ = 225
{n(n + 1)/2}² = 225
n(n + 1)/2 = 15
n(n + 1) = 30
n² + n - 30 = 0
n² + 6n - 5n - 30= 0
n(n + 6) - 5(n + 6) = 0
(n - 5)(n + 6) = 0

হয়                     অথবা
n - 5 = 0                   n + 6 = 0
n = 5                          n = - 6  [গ্রহণযোগ্য নয়, কেননা n এর মান ঋণাত্মক হতে পারে না]

প্রশ্ন: কোনো ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n + 1) হলে, ধারাটির প্রথম 20 টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n + 1)
প্রথম 20 টি পদের সমষ্টি = 20(20 + 1)
= 20 × 21
= 420 

প্রশ্ন: কোনো গুণোত্তর ধারার ৩য় পদ 36 এবং ৪র্থ পদ 108 হলে, ধারাটির প্রথম পদ কত? 

সমাধান:
এখানে
৩য় পদ = 36 এবং
৪র্থ পদ = 108

সাধারণ অনুপাত, r = 108/36 = 3
ধারাটির প্রথম পদ = a
৩য় পদ = ar^{3 -1} = 36
a3² = 36
9a = 36
a = 36/9
a = 4

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ 5 এবং দ্বিতীয় পদ 11 হলে ধারাটির 12তম পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
এখানে
ধারাটির প্রথম পদ a = 5
সাধারণ অন্তর d = 11 - 5 = 6


আমরা জানি,
সমান্তর ধারার 12তম পদের সমষ্টি
= (12/2){2. a + (12 - 1)d}
=6{2 × 5 + 11 × 6}
= 6(10 + 66)
= 6 × 76 
= 456

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ 3 এবং দ্বিতীয় পদ 5 হলে, ধারাটির n তম পদ কত? 

সমাধান:
প্রথম পদ a = 3 
দ্বিতীয় পদ = 5

সাধারণ অন্তর d = 5 - 3 = 2

আমরা জানি 
n তম পদ = a + (n - 1)d
= 3 + (n - 1)2
= 3 + 2n  - 2
= 2n + 1

প্রশ্ন: রশিদ তার বেতন  থেকে প্রথম মাসে 1200 টাকা সঞ্চয় করেন এবং পরবর্তী প্রতিমাসে এর পূর্ববর্তী মাসের তুলনায় 100 টাকা বেশি সঞ্চয় করেন । তিনি 18তম মাসে কত টাকা সঞ্চয় করেন?

সমাধান: 
ধারাটির প্রথম পদ a = 1200
সাধারণ অন্তর d = 100  

আমরা জানি 
n তম পদ = a + (n - 1)d
18তম পদ = a + (18 - 1)d
= 1200 + 17 × 100
= 1200 + 1700
= 2900

প্রশ্ন: 5 - 5 + 5 - 5 + ............. ধারাটির (2n + 6) সংখ্যক পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
ধরি 
১ম পদ = 5
সাধারণ অনুপাত r = - 5/5 = - 1 

গুণোত্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি a(1 - rⁿ)/(1- r)
গুণোত্তর ধারার (2n + 6) সংখ্যক পদের সমষ্টি 
= 5{1 - (- 1)^{(2n + 6)}}/{1 - (- 1)}
= 5{1 - 1}/{1 + 1}
= 5 × 0/2
= 0/2
= 0