Math Master

প্রশ্ন: ৪, ৬ ও ৮ এর ৪র্থ সমানুপাতি কোনটি?

সমাধান: 
১ম রাশি = ৪
২য় রাশি = ৬ 
৩য় রাশি = ৮
৪র্থ রাশি = ? 

আমরা জানি,
১ম রাশি × ৪র্থ রাশি = ২য় রাশি × ৩য় রাশি 
বা, ৪ × ৪র্থ রাশি = ৬ × ৮
বা, ৪র্থ রাশি = (৬ × ৮)/৪
 বা, ৪র্থ রাশি = ৪৮/৪
∴ ৪র্থ রাশি = ১২

প্রশ্ন: রমিজ সাহেব তার সম্পত্তির ১/৫ অংশ তার স্ত্রীকে, ১/৩ অংশ তার ছেলেকে বাকি অংশ তার মেয়েকে দিলেন। স্ত্রী, ছেলে এবং মেয়ের অংশের অনুপাত কত?

সমাধান:
স্ত্রী ও ছেলেকে দিলেন = (১/৫) + (১/৩) অংশ = ৮/১৫ অংশ
মেয়ে পেলেন = ১ - (৮/১৫) = ৭/১৫ অংশ

এখানে, ৩, ৫, ১৫ এর ল.সা.গু = ১৫

স্ত্রী : ছেলে : মেয়ে = ১/৫ : ১/৩ : ৭/১৫
= (১/৫) × ১৫ : (১/৩) × ১৫ : (৭/১৫) × ১৫
= ৩ : ৫ : ৭

প্রশ্ন: রাতুলের মাসিক আয়ের ও ব্যয়ের অনুপাত ২০ : ১৬ হলে, তার মাসিক সঞ্চয় তার আয়ের শতকরা কত অংশ?

সমাধান:
ধরি,
রাতুলের আয় 20x টাকা এবং ব্যয় 16x টাকা
রাতুলের সঞ্চয় (20x - 16x) = 4x টাকা।

20x টাকায় সঞ্চয় করেন 4x টাকা
∴ 100 টাকায় সঞ্চয় করেন (4x × 100)/20x টাকা
= 20%

প্রশ্ন: একটি দ্রব্য ক্রয় করে ২৮% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হল। ক্রয়মূল্যের এবং বিক্রয়মূল্যের অনুপাত কত?

সমাধান: 
ধরি,
ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা

২৮% ক্ষতিতে
বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ২৮) = ৭২ টাকা

∴ ক্রয়মূল্য এবং বিক্রয়মূল্য এর অনুপাত = ১০০ : ৭২ = ২৫ : ১৮

প্রশ্ন: a : b = 2 : 3 এবং b : c = 5 : 6 হলে a : b : c = কত?

সমাধান:
a : b = 2 : 3 = 10 : 15 [5 দ্বারা গুণ করে]
b : c = 5 : 6 = 15 : 18 [ 3 দ্বারা গুণ করে]
∴ a : b : c = 10 : 15 : 18

প্রশ্ন: একটি ভগ্নাংশের লব এবং হরের অনুপাত ২ : ৩। লব থেকে ৬ বাদ দিলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যায়, সেটি মূল ভগ্নাংশের ২/৩ গুণ হলে ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
মনেকরি,
ভগ্নাংশটির লব= ২ক 
ভগ্নাংশটির হর= ৩ক 

প্রশ্নমতে 
(২ক - ৬)/৩ক = (২ক/৩ক) × (২/৩)
বা, (২ক - ৬)/৩ক = ৪/৯
বা, ১৮ক - ৫৪ = ১২ক 
বা, ১৮ক - ১২ক = ৫৪
বা, ৬ক = ৫৪
∴ ক = ৯

ভগ্নাংশটির লব = ২ × ৯ = ১৮
ভগ্নাংশটির হর = ৩ × ৯ = ২৭

∴ নির্ণেয় ভগ্নাংশ = ১৮/২৭ 

প্রশ্ন : সজল ও জামিল  যথাক্রমে ৫০০০ টাকা ও ৪০০০ টাকা মূলধন নিয়ে একটি কারবার শুরু করল। ৩ মাস পর সজল আরও ১০০০ টাকা দিল এবং দিপু ৭০০০ টাকা মূলধন নিয়ে কারবারের নতুন অংশীদার হলো। এক বছরে ৩৯৬০ টাকা লাভ হলে, জামিল লাভের টাকা কত পাবে?

সমাধান : 
সজল মোট বিনিয়োগ করে = (৫০০০ × ১২) + (১০০০ × ৯) = ৬৯০০০ টাকা
জামিল মোট বিনিয়োগ করে = ৪০০০ × ১২ = ৪৮০০০ টাকা
দিপু মোট বিনিয়োগ করে = ৭০০০ × ৯ = ৬৩০০০ টাকা

∴ তাদের বিনিয়োগের অনুপাত = ৬৯০০০ : ৪৮০০০ : ৬৩০০০ = ২৩ : ১৬ : ২১

এখন,
জামিল পাবে = ৩৯৬০ × (১৬)/৬০ = ১০৫৬ টাকা

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি ৫/৮ থেকে ছোট?

সমাধান:
৭/৮ = ০.৮৭৫
৫/৬ = ০.৮৩
৭/৯ = ০.৭৮
৩/৫ = ০.৬০

এখানে, ৫/৮ = ০.৬২৫

সুতরাং, ৩/৫ এর মান ৫/৮ এর মানের চেয়ে ছোট।

প্রশ্ন: ৮০ মিটার দীর্ঘ একটি সূতাকে ৬ : ৪ : ১০ অনুপাতে ভাগ করলে ক্ষুদ্রতম অংশটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = ৬ + ৪ + ১০ = ২০

∴ ক্ষুদ্রতম অংশটির দৈর্ঘ্য = (৮০ × ৪)/২০ = ১৬ মিটার

প্রশ্ন: যদি x : y = y : z = 2.5 এবং z = 2 হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x : y = 2.5,
z = 2
এবং
y : z = 2.5
⇒ y/z = 2.5
⇒ y/2 = 2.5
∴ y = 5

আবার,
x : y = 2.5
⇒ x/y = 2.5
⇒ x/5 = 2.5
∴ x = 12.5

প্রশ্ন: একটি জমির ক্ষেত্রফল 312 বর্গমিটার। ঐ জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের সাথে অপর একটি জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত যথাক্রমে 3 : 4 এবং 2 : 5 হলে, ঐ জমির ক্ষেত্রফল এবং অপর জমির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি জমির দৈর্ঘ্য = 3x মিটার ও অপর জমির দৈর্ঘ্য = 4x মিটার
একটি জমির প্রস্থ = 2y মিটার ও অপর জমির প্রস্থ = 5y মিটার

একটি জমির ক্ষেত্রফল = 3x × 2y = 6xy বর্গ মিটার
এবং দ্বিতীয় জমির ক্ষেত্রফল = 4x × 5y = 20xy বর্গমিটার

প্রশ্নমতে,
6xy = 312
∴ xy = 52

∴ দ্বিতীয় জমির ক্ষেত্রফল = 20 × 52 = 1040 বর্গ মিটার।
একটি জমির ক্ষেত্রফল : দ্বিতীয় জমির ক্ষেত্রফল = 312 : 1040

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার 1/4 অংশ তার 1/5 অংশ অপেক্ষা 20 বেশি?

সমাধান: 
মনে করি,
সংখ্যাটি x

প্রশ্নমতে,
x × (1/4) = x × (1/5) + 20
⇒ x/4 = (x/5) + 20
⇒ x/4 = (x + 100)/5
⇒ 5x = 4(x + 100)
⇒ 5x = 4x + 400
⇒ 5x - 4x = 400
∴ x = 400

প্রশ্ন: ৭৫০০ টাকা ১ : ২ : ৩ : ৪ : ৫ অনুপাতে ভাগ করলে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম অংশের সমষ্টি কত?

সমাধান:
অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = ১ + ২ + ৩ + ৪ + ৫ = ১৫
অনুপাতের বৃহত্তম অংশ = ৭৫০০ এর ৫/১৫
= ২৫০০ টাকা

এবং অনুপাতের ক্ষুদ্রতম অংশ = ৭৫০০ এর ১/১৫
= ৫০০ টাকা।

∴ অনুপাতের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম অংশের সমষ্টি = (২৫০০ + ৫০০) টাকা  
= ৩০০০ টাকা 

প্রশ্ন: A : B = 1/2 : 1/3 এবং B : C = 1/4 : 1/5 হলে A + C : B + C = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A : B = 1/2 : 1/3
⇒ A : B = 3 : 2

B : C = 1/4 : 1/5
⇒ B : C = 5 : 4

এখন,
A : B = 3 : 2 = (3 × 5) : (2 × 5) = 15 : 10
B : C = 5 : 4 = (5 × 2) : (4 × 2) = 10 : 8

∴ ‍A : B : C = 15 : 10 : 8
A + C : B + C = (15 + 8) : (10 + 8)
∴ A + C : B + C  = 23 : 18

প্রশ্ন: ১০৫০ টাকা ক ও খ ১ : ৫ অনুপাতে ভাগ করে নেয়। খ এর অংশ সে এবং তার মা ও মেয়ের মধ্যে ২ : ২ : ১ অনুপাতে ভাগ করে। মেয়ে কত টাকা পাবে?

সমাধান:
ক : খ = ১ : ৫
অনুপাতের যোগফল = (১ + ৫) = ৬

∴ খ পায় = ১০৫০ এর ৫/৬ = ৮৭৫ টাকা
খ : মা : মেয়ে = ২ : ২ : ১
অনুপাতের যোগফল (২ + ১ + ১) = ৫

∴ মেয়ে পায় = ৮৭৫ এর ১/৫ = ১৭৫ টাকা।

প্রশ্ন: কোনো সম্পত্তির ৩/৪ অংশের মূল্য ৭৮৯৬ টাকা। ঐ সম্পত্তির ৭/৮ অংশের মূল্য কত টাকা?

সমাধান:
সম্পত্তির ৩/৪ অংশের মূল্য ৭৮৯৬ টাকা
সম্পত্তির ১ অংশের মূল্য (৭৮৯৬ × ৪)/৩ টাকা
সম্পত্তির ৭/৮ অংশের মূল্য (৭৮৯৬ × ৪ × ৭)/(৩ × ৮) টাকা
= ৯২১২ টাকা।

প্রশ্ন: ৩৬ : ৬৪ দ্বিভাজিত অনুপাত কোনটি?

সমাধান: 
দ্বিভাজিত অনুপাত: কোন অনুপাতের পূর্ব ও উত্তর রাশির বর্গমূলের অনুপাতকে তার দ্বিভাজিত অনুপাত বলা হয় 
৩৬ : ৬৪ দ্বিভাজিত অনুপাত =√৩৬ : √৬৪ = ৬ : ৮

প্রশ্ন: ৬৪ লিটার মিশ্রণে এসিড ও পানির অনুপাত ৩ : ১। ঐ মিশ্রণে কি পরিমাণ পানি মিশালে এসিড ও পানির অনুপাত হবে ১ : ২।

সমাধান: 
এসিড : পানি = ৩ : ১
অনুপাতের রাশির সমষ্টি = ৩ + ১ = ৪

এসিডের পরিমাণ = ৬৪ এর ৩/৪ = ৪৮ লিটার
পানির পরিমাণ = ৬৪ এর ১/৪ = ১৬ লিটার

ধরি,
ক লিটার পানি মিশালে মিশ্রণের অনুপাত ১ : ২ হবে

প্রশ্নমতে
৪৮ : ১৬ + ক = ১ : ২
বা, ৪৮/(১৬ + ক) = ১/২
বা, ১৬ + ক = ৯৬
∴ ক = ৮০

∴ পানি মিশাতে হবে ৮০ লিটার।

প্রশ্ন: কোনো পুস্তকের ১২৮ পৃষ্ঠা পড়ার পরেও তার ৫/১৩ অংশ পড়া বাকি থাকলে পুস্তকটির মোট পৃষ্ঠা সংখ্যা কত?

সমাধান:
পড়ার বাকি আছে = ৫/১৩ অংশ
∴ পড়া হইছে = ১ - ৫/১৩ = ৮/১৩ অংশ

বইয়ের ৮/১৩ অংশ = ১২৮ পৃষ্ঠা
বইয়ের ১ বা সম্পূর্ণ অংশ = (১২৮ × ১৩)/৮ পৃষ্ঠা
= ২০৮ পৃষ্ঠা

প্রশ্ন: ২০ মিটার কাপড় তিন ভাইবোন কবির, মুহিত ও চৈতির মধ্যে ৫ : ৩ : ২ অনুপাতে ভাগ করলে কবির ও মুহিতের কাপড়ের সমষ্টির পরিমাণ কত?

সমাধান:
কাপড়ের পরিমাণ = ২০ মিটার
প্রদত্ত অনুপাত = ৫ : ৩ : ২
অনুপাতের সংখ্যাগুলোর যোগফল = ৫ + ৩ + ২ = ১০

কবিরের অংশ = ২০ মিটারের ৫/১০ অংশ = ১০ মিটার
মুহিতের অংশ = ২০ মিটারের ৩/১০ অংশ = ৬ মিটার

কবির ও মুহিতের কাপড়ের সমষ্টির পরিমাণ = ১০ + ৬ = ১৬ মিটার