Math Master

প্রশ্ন: ১০০ থেকে ২০০ পর্যন্ত মোট কয়টি মৌলিক সংখ্যা আছে? 

সমাধান: 
মৌলিক সংখ্যা (Prime Number): ১ থেকে বড় যে সকল সংখ্যাকে ১ এবং ঐ সংখ্যা ব্যতীত অন্য কোন সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না এবং শুধুমাত্র দুটি উৎপাদক থাকবে তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে।

এখন, 
১০০ থেকে ২০০ পর্যন্ত মোট মৌলিক সংখ্যা আছে ২১টি। যথা
১০১, ১০৩, ১০৭, ১০৯, ১১৩, ১২৭, ১৩১, ১৩৭, ১৩৯, ১৪৯, ১৫১, ১৫৭, ১৬৩, ১৬৭, ১৭৩, ১৭৯, ১৮১, ১৯১, ১৯৩, ১৯৭, ১৯৯

প্রশ্ন: ২৫ এর কত শতাংশ ৬৫ হবে?

সমাধান:
মনে করি, 
২৫ এর ক% = ৬৫ 
⇒ ২৫ × (ক/১০০) = ৬৫ 
⇒ ২৫ক = ৬৫ × ১০০ 
⇒ ক = (৬৫ × ১০০)/২৫ 
⇒ ক = ৬৫ × ৪
∴ ক = ২৬০%

২৫ এর ৬৫ হলো ২৬০%

প্রশ্ন: ৩৪৮ এর সাথে কত যোগ করলে সংখ্যাটি ৯, ১২ এবং ১৫ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
সংখ্যাটি এমন হবে যাতে ৩৪৮ এর সাথে যোগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যা ৯, ১২ এবং ১৫ দ্বারা বিভাজ্য হয়।
অর্থাৎ ৯, ১২ এবং ১৫ এর ল.সা.গু বের করে ৩৪৮ এর সাথে তার নিকটবর্তী গুণিতকের পার্থক্য নির্ণয় করতে হবে।

এখন, ৯, ১২ এবং ১৫ এর ল.সা.গু = ১৮০

৩৪৮ কে ১৮০ দ্বারা ভাগ করলে,
১৮০ × ১ = ১৮০
∴ অবশিষ্ট = ৩৪৮ - ১৮০ = ১৬৮

যেহেতু ১৮০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য করতে হবে,
তাই যোগ করতে হবে = ১৮০ - ১৬৮ = ১২

∴ নির্ণেয় সংখ্যা = ১২

প্রশ্ন: একজন দোকানদার ১০% লাভে একটি কলম বিক্রয় করলেন। যদি বিক্রয়মূল্যের উপর লাভের হিসাব করা হতো, তবে লাভের হার কত হতো?

সমাধান: 
ধরি, কলমটির ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা।
১০% লাভে  বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ১০ = ১১০ টাকা।

∴ ১১০ টাকায় লাভ হয় = ১০ টাকা
∴ ১ টাকায় লাভ হয় = ১০/১১০ টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় = (১০ × ১০০)/১১০ = ১০০/১১ = ৯.০৯ টাকা

সুতরাং, লাভের হার ৯.০৯%। 

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৬ এবং তাদের গ.সা.গু ৮ হলে, তাদের ল.সা.গু কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
দুটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৬ এবং গ.সা.গু. = ৮

ধরি, দুটি সংখ্যা = ৫ক এবং ৬ক 
অর্থাৎ ৫ক এবং ৬ক-এর গ.সা.গু. = ক × গ.সা.গু.(৫, ৬)
= ক × ১
= ক
∴ গ.সা.গু., ক = ৮

সুতরাং, দুটি সংখ্যা হলো, 
৫ × ৮ = ৪০ এবং ৬ × ৮ = ৪৮

এখন ৪০ এবং ৪৮ এর ল.সা.গু. = ২৪০

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৪১। বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, ছোট সংখ্যাটি = ক
বড় সংখ্যাটি = ক + ১

প্রশ্নমতে,
(ক + ১)^২ - ক^২ = ৪১
⇒ ক^২ + ২ক + ১ - ক^২ = ৪১
⇒ ২ক + ১ = ৪১
⇒ ২ক = ৪১ - ১
⇒ ২ক = ৪০
⇒ ক = ৪০/২
∴ ক = ২০

∴ বড় সংখ্যাটি = ২০ + ১ = ২১ 

প্রশ্ন: করিমের বেতন মাসে ১২৫০০ টাকা থেকে বেড়ে ১৫০০০ টাকা হলো। তার বেতন শতকরা কত বেড়েছে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
প্রাথমিক বেতন = ১২৫০০ টাকা
নতুন বেতন = ১৫০০০ টাকা

∴ বেতন বৃদ্ধি = নতুন বেতন - প্রাথমিক বেতন
= ১৫০০০ - ১২৫০০ = ২৫০০ টাকা 

∴ শতকরা বৃদ্ধি = (বেতন বৃদ্ধি/প্রাথমিক বেতন​) × ১০০% 
= (২৫০০/১২৫০০) × ১০০%
= ২০% 

অতএব, করিমের বেতন ২০% বেড়েছে।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ৬০ এবং গ.সা.গু ১০। একটি সংখ্যা ৩০ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
ল.সা.গু = ৬০
গ.সা.গু = ১০
এবং একটি সংখ্যা ৩০

আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
∴ অপর সংখ্যা = (৬০ × ১০)/৩০
= ৬০০/৩০
= ২০

সুতরাং, অপর সংখ্যাটি ২০

প্রশ্ন: টাকায় ৪ টি করে লিচু ক্রয় ৫ টি করে বিক্রয় করলে শতকরা কত ক্ষতি হবে?

সমাধান: 
৪টি লিচুর ক্রয়মূল্য = ১ টাকা
∴ ১টি লিচুর ক্রয়মূল্য = ১/৪ টাকা 

আবার,
৫টি লিচুর বিক্রয়মূল্য = ১ টাকা
∴ ১টি লিচুর বিক্রয়মূল্য = ১/৫ টাকা

∴ ক্ষতি = (১/৪) - (১/৫) = (৫ - ৪)/২০
= ১/২০ টাকা 
 
∴ ১/৪ টাকায় ক্ষতি হয় = ১/২০ টাকা
∴ ১ টাকায় ক্ষতি হয় = ৪/২০ = ১/৫ টাকা
∴ ১০০ টাকায় ক্ষতি হয় = ১০০/৫ = ২০ টাকা

সুতরাং, শতকরা ২০% ক্ষতি হবে।

প্রশ্ন: ৪/৫, ৬/৭ এবং ৮/৯ এর ল.সা.গু নিচের কোনটি?
 
সমাধান:
আমরা জানি,
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লবগুলোর ল.সা.গু/হরগুলোর গ.সা.গু

এখানে,
লব ৪, ৬ ও ৮ এর ল.সা.গু = ২৪
হর ৫, ৭ ও ৯ এর গ.সা.গু = ১

অতএব, ৪/৫, ৬/৭ এবং ৮/৯ এর ল.সা.গু = ২৪/১
= ২৪

প্রশ্ন: নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?

সমাধান: 
অমূলদ সংখ্যা: যে সকল সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না সে সকল সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলে। পূর্ণবর্গ নয় এমন স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল অমূলদ সংখ্যা। যেমন, √2, √3, π ইত্যাদি। 

ক) √18 = অমূলদ সংখ্যা। কারণ 18 একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়। 
√18 = 3√2 যেখানে √2 অমূলদ।

খ) √12 = অমূলদ সংখ্যা। কারণ 12 একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়। 
√12 = 2√3 যেখানে √3 অমূলদ।

গ) e = 2.71828...... যা অমূলদ সংখ্যা। এটি কোনো ভগ্নাংশে প্রকাশ করা যায় না।

সুতরাং, সঠিক উত্তর: ঘ) সবগুলো

প্রশ্ন: মাসিক গ্যাস বিল ১,০০০ টাকা। ৬ মাস পরে গ্যাস বিল ৫% বৃদ্ধি পায়। এর আরও ৬ মাস পরে, পূর্বের বর্ধিত মূল্যের উপর আরও ৮% বিল বৃদ্ধি পায়। ১ বছর পর মাসিক গ্যাস বিল কত টাকা হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
প্রাথমিক মাসিক গ্যাস বিল = ১০০০ টাকা
৬ মাস পর ৫% বৃদ্ধি
আরও ৬ মাস পর ৮% বৃদ্ধি
 
এখন, 
প্রথম ৫% বৃদ্ধিতে,
নতুন বিল = ১০০০ + ১০০০ এর ৫%
= ১০০০ + ৫০ = ১০৫০ টাকা 

এবং আরও ৬ মাস পর ৮% বৃদ্ধিতে, 
নতুন বিল = ১০৫০ + (৮/১০০) × ১০৫০
= ১০৫০ + ৮৪ = ১১৩৪ টাকা 

সুতরাং, ১ বছর পরে মাসিক গ্যাস বিল ১১৩৪ টাকা

প্রশ্ন: চারটি ঘণ্টা একসঙ্গে বেজে উঠল এবং তারপর যথাক্রমে ১৫, ২০, ২৫ ও ৩০ সেকেন্ড অন্তর বাজতে থাকে। কতক্ষণ পর আবার সবগুলো একসঙ্গে বাজবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে সময়গুলো,
১৫, ২০, ২৫ ও ৩০ সেকেন্ড

এখন, ১৫, ২০, ২৫ ও ৩০ ল.সা.গু = ৩০০ সেকেন্ড
= ৩০০/৬০ মিনিট  ; [১ মিনিট = ৬০ সেকেন্ড] 
= ৫ মিনিট 

অতএব, ৫ মিনিট পর ঘণ্টাগুলো আবার একত্রে বাজবে।

প্রশ্ন: ক্রয়মূল্য বিক্রয়মূল্যের চারগুণ হলে শতকরা লাভ বা ক্ষতির পরিমাণ কত?

সমাধান:
ধরি,
বিক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
তাহলে ক্রয়মূল্য = বিক্রয়মূল্যের চারগুণ = ৪ × ১০০ = ৪০০ টাকা

∴ ক্ষতির পরিমাণ = ক্রয়মূল্য - বিক্রয়মূল্য = ৪০০ - ১০০ = ৩০০ টাকা

∴ ক্ষতির হার = (ক্ষতি/ক্রয়মূল্য) × ১০০%
= (৩০০/৪০০) × ১০০%
= (৩/৪) × ১০০%
= ৭৫%

সুতরাং, শতকরা ৭৫% ক্ষতি হবে।

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি তার আয়ের ১/৩ অংশ খাবারে এবং ১/৬ অংশ যাতায়াতে ব্যয় করার পর তার কাছে আরও ৩০০০ টাকা অবশিষ্ট আছে। তার মোট আয় কত?

সমাধান: 
ধরি মোট আয় = ক টাকা
খাবারে খরচ = ক/৩
এবং যাতায়াতে খরচ = ক/৬

প্রশ্নমতে, 
ক - (ক/৩ + ক/৬) = ৩০০০ 
⇒ (৬ক - ২ক - ক)/৬ = ৩০০০ 
⇒ ৩ক/৬ = ৩০০০
⇒ ক/২ = ৩০০০
⇒ ক = ৩০০০ × ২ 
∴ ক = ৬০০০ টাকা 

সুতরাং, তার মোট আয় ৬০০০ টাকা

প্রশ্ন: যদি x এবং y উভয়ই বিজোড় সংখ্যা হয়, তবে নিচের কোনটি জোড় সংখ্যা হবে?

সমাধান: 
ধরি, x = 1 এবং y = 3
তাহলে, 
ক) x + y + xy
= 1 + 3 + 1 × 3
= 4 + 3
= 7 ; বিজোড় সংখ্যা

খ) x + y 
= 1 + 3 
= 4 ; জোড় সংখ্যা

গ) x + y + 1 
= 1 + 3 + 1
= 5 ; বিজোড় সংখ্যা

ঘ) x² + y² + 1 
= (1)² + (3)² + 1
= 1 + 9 + 1
= 11 ; বিজোড় সংখ্যা

সুতরাং, সঠিক উত্তর খ) x + y

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার ৭০% থেকে ১৪০ বিয়োগ করলে ফলাফল হবে ৭০। তবে সংখ্যাটি কত? 

সমাধান:
ধরি, 
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে, 
(ক এর ৭০%) - ১৪০ = ৭০ 
⇒ ক × (৭০/১০০) = ১৪০ + ৭০ 
⇒ ৭০ক/১০০ = ২১০
⇒ ৭০ক = ২১০ × ১০০ 
⇒ ক = (২১০ × ১০০)/৭০
∴ ক = ৩০০

∴ সংখ্যাটি = ৩০০ 

প্রশ্ন: ৭২ টি কলম এবং ৯৬ টি পেন্সিল এমনভাবে বাক্সে রাখতে হবে যাতে প্রতিটি বাক্সে সমান সংখ্যক কলম ও পেন্সিল থাকে এবং কোনোটি অবশিষ্ট না থাকে। সর্বাধিক কতটি বাক্স তৈরি করা যাবে?

সমাধান: 
আমরা এমন সর্বাধিক সংখ্যক বাক্স চাই যেখানে প্রতিটি বাক্সে সমান সংখ্যা হবে।
∴ সর্বাধিক বাক্সের সংখ্যা = ৭২ এবং ৯৬ গ.সা.গু 

এখন, ৭২ এবং ৯৬ এর মৌলিক গুণনীয়ক বিশ্লেষণ করে পাই, 
৭২ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ 
৯৬ = ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ 

∴ ৭২ এবং ৯৬ গ সা গু = ২ × ২ × ২ × ৩ = ২৪ 

সুতরাং, সর্বাধিক বাক্সের সংখ্যা = ২৪

প্রশ্ন: একটি নির্বাচনে তিনজন প্রার্থী প্রতিদ্বন্দ্বিতা করলেন। 'ক' পেল ৩০% এবং 'খ' পেল ৪৫% ভোট। যদি 'গ' মোট ৯০০০ ভোট পেয়ে থাকে, তবে মোট ভোটার কতজন?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
'ক' পেল = ৩০% ভোট
'খ' পেল = ৪৫% ভোট
∴'গ' পেল = ১০০% - (৩০% + ৪৫%) = ২৫% ভোট
'গ' মোট ৯০০০ ভোট পেল এবং এটি মোট ভোটের ২৫%।

∴ মোট ভোট = (গ-এর ভোট/গ-এর শতকরা হার) × ১০০
= (৯০০০/২৫) × ১০০
= ৩৬০ × ১০০
= ৩৬০০০ জন 

সুতরাং, মোট ভোটার সংখ্যা ৩৬০০০ জন।

প্রশ্ন: যদি কোনো বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেক বাহুর পরিমাণ ৩০% বৃদ্ধি পায় তবে এর ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ১০০ একক
 ∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (১০০)^২ বর্গএকক
= ১০০০০ বর্গএকক 

আবার,
বাহুর দৈর্ঘ্য ৩০% বৃদ্ধি করা হলে,
 ∴ বাহুর নতুন দৈর্ঘ্য = (১০০ + ১০০ এর ৩০%) একক 
= [১০০ + {১০০ এর (৩০/১০০)}] একক 
= (১০০ + ৩০) একক 
= ১৩০ একক 

∴ বর্গক্ষেত্রের নতুন ক্ষেত্রফল = (১৩০)^২ = ১৬৯০০ বর্গ একক

 ∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় = (১৬৯০০ - ১০০০০) বর্গ একক = ৬৯০০ বর্গ একক 

এখন,
১০০০০ বর্গ এককে বৃদ্ধি পায় = ৬৯০০ বর্গ একক
∴ ১ বর্গ এককে বৃদ্ধি পায় = ৬৯০০/১০০০০ বর্গ একক
∴ ১০০ বর্গ এককে বৃদ্ধি পায় = {(৬৯০০ × ১০০)/১০০০০} বর্গ একক
= ৬৯ বর্গ একক 

∴ ক্ষেত্রফল শতকরা বৃদ্ধি পাবে = ৬৯%

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি ৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য?

সমাধান:
কোনো সংখ্যা ৬ দ্বারা বিভাজ্য হওয়ার জন্য সেই সংখ্যাকে ২ এবং ৩ উভয় দ্বারাই বিভাজ্য হতে হবে।
অর্থাৎ, শেষ অঙ্ক ০, ২, ৪, ৬, ৮ হবে এবং অঙ্কগুলোর যোগফল ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবে।)

(ক) ৫২৫
শেষ অঙ্ক ৫; ২ দ্বারা বিভাজ্য নয়
যা ৬ দ্বারা বিভাজ্য নয়

(খ) ২১৪
শেষ অঙ্ক ৪; ২ দ্বারা বিভাজ্য
অঙ্কের যোগফল = ২ + ১ + ৪ = ৭ ; যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়
যা ৬ দ্বারা বিভাজ্য নয়। 
 
(গ) ৪৩২
শেষ অঙ্ক ২ ; যা ২ দ্বারা বিভাজ্য
অঙ্কের যোগফল = ৪ + ৩ + ২ = ৯ ; যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য
সুতরাং ৬ দ্বারা বিভাজ্য (৪৩২ ÷ ৬ = ৭২)

(ঘ) ৭৪১
শেষ অঙ্ক ১ ; যা ২ দ্বারা বিভাজ্য নয়
৬ দ্বারা বিভাজ্য নয়

সঠিক উত্তর: (গ) ৪৩২

প্রশ্ন: একটি জিনিস নির্মাতা ১৫% লাভে এবং খুচরা বিক্রেতা ২০% লাভে বিক্রি করে। নির্মাণ খরচ ২০০ টাকা হলে, খুচরা বিক্রেতার বিক্রয়মূল্য কত?

সমাধান: 
১৫% লাভে,
নির্মাতার বিক্রয়মূল্য = ২০০ + ২০০ এর ১৫% টাকা 
= (২০০ + ৩০) টাকা 
= ২৩০ টাকা

আবার,
২০% লাভে,
খুচরা বিক্রেতার বিক্রয়মূল্য (২৩০ + ২৩০ এর ২০%)
= [২৩০ + {২৩০ এর (২০/১০০)}] টাকা
= (২৩০ + ৪৬) টাকা
= ২৭৬ টাকা

সুতরাং, খুচরা বিক্রেতার বিক্রয়মূল্য ২৭৬ টাকা। 

প্রশ্ন: একটি ক্রীড়া প্রতিযোগিতার জন্য খেলোয়াড়দের নিয়ে ৮, ১০, ১৫ এবং ১৮ জনের দল গঠন করা হলো। দেখা গেল, প্রতি ক্ষেত্রেই ২ জন খেলোয়াড় দলের বাইরে অবশিষ্ট থাকে। ঐ প্রতিযোগিতায় সর্বনিম্ন কতজন খেলোয়াড় উপস্থিত ছিল?

সমাধান: 
সংখ্যাগুলো হলো, ৮, ১০, ১৫ এবং ১৮
৮ = ২ × ২ × ২
১০ = ২ × ৫
১৫ = ৩ × ৫
১৮ = ২ × ৩ × ৩
∴ ল.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫ = ৩৬০

যেহেতু প্রতিবার ২ জন অবশিষ্ট থাকে, তাই মোট খেলোয়াড় হবে ল.সা.গু-এর চেয়ে ২ বেশি।
∴ মোট খেলোয়াড় = ৩৬০ + ২ = ৩৬২ জন

প্রশ্ন: একটি দ্রব্য ৫০০ টাকায় ক্রয় করে ১০% লাভে বিক্রয় করা হলো। দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য ১০% কম হলে কত লাভ হতো?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
ক্রয়মূল্য = ৫০০ টাকা
১০% লাভে বিক্রয়মূল্য = ৫০০ + ৫০০ এর ১০% = ৫০০ + ৫০ = ৫৫০ টাকা
এবং ১০% কমে ক্রয়মূল্য = ৫০০ - ৫০০ এর ১০% = ৫০০ - ৫০ = ৪৫০ টাকা

∴ নতুন লাভের পরিমাণ = বিক্রয়মূল্য - নতুন ক্রয়মূল্য = ৫৫০ - ৪৫০ = ১০০ টাকা

প্রশ্ন: ৭, ০, ২, ৫ দ্বারা গঠিত চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যার অন্তর কত?

সমাধান:
৭, ০, ২, ৫ দ্বারা গঠিত চার অঙ্কের,
বৃহত্তম সংখ্যা = ৭৫২০
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ২০৫৭

∴ এদের অন্তর = ৭৫২০ - ২০৫৭ = ৫৪৬৩