ব্যাংক নিয়োগ প্রস্তুতি ⎯ লং কোর্স

Question: If 7sin²θ + 3cos²θ = 4, then tan30° = ?

Solution:
7sin²θ + 3cos²θ = 4
⇒ 7sin²θ + 3(1 - sin²θ) = 4
⇒ 7sin²θ + 3 - 3sin²θ = 4
⇒ 4sin²θ = 1
⇒ sin²θ = 1/4
⇒ sinθ = 1/2
⇒ sinθ = sin30°
⇒ θ = 30°
⇒ tanθ = tan30°
∴ tanθ = 1/√3

Question: How many diagonals does an 8-sided polygon have?
(আট বাহু বিশিষ্ট বহুভুজের কতটি কর্ণ আছে?)

Solution:
আমরা জানি,
বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা= n(n - 3)/2

∴ আট বাহু বিশিষ্ট বহুভুজের কর্ণ আছে = 8(8 - 3)/2 = 20 টি

Question: A trapezium has two parallel sides measuring 24 cm and 40 cm. If the distance between them is 20 cm, what is its area?
(একটি ট্রাপিজিয়াম এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ২৪ সে.মি., ৪০ সে.মি. এবং এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব ২০ সে.মি. হলে এর ক্ষেত্রফল কত?)

Solution:
য়ামরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল) × উচ্চতা
= (১/২) × (২৪ + ৪০) × ২০
= (১/২) × ৬৪ × ২০
= ৬৪০ বর্গ সে.মি.

Question: The value of sec30° is:

Solution:
sec30°
= 1/cos30°
= 1/(√3/2)
= 2/√3

Question: If the diameter of a circle is three times greater, how much will its area increase?
(বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে এর ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?)

Solution:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে বৃত্তের নতুন ব্যাস = (2r + 6r) = 8r
∴ ব্যাসার্ধ =8r/2 = 4r

∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(4r)² =16πr²
ক্ষেত্রফল বেড়ে যাবে = 16πr² - πr² = 15πr²
∴ 15 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

Question: There is a 29-meter ladder resting against a tall wall. The point where it touches the wall is 21 meters above the ground. What is the horizontal distance between the base of the ladder and the wall?
(একটি 29 মিটার লম্বা মই একটি খাড়া দেয়ালের সাথে হেলান দেওয়া আছে। মইয়ের একপ্রান্ত মাটি হতে 21 মিটার উঁচুতে দেয়ালকে স্পর্শ করে। মই এর অপরপ্রান্ত হতে দেয়ালের দূরত্ব কত মিটার?)

Solution:
মনে করি,
দেয়ালের পাদদেশ হতে মইয়ের পাদদেশের দূরত্ব = x মিটার
দেয়াল মাটির সাথে সমকোণ উৎপন্ন করে।

∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
(মইয়ের উচ্চতা)² = (দেয়ালের উচ্চতা)² + (x)²
⇒ (29)² = (21)² + (x)²
⇒ 841 = 441 + (x)²
⇒ (x)² = 841 - 441
⇒ (x)² = 400
⇒ (x)² = (20)²
∴ x = 20

∴ দেয়ালের পাদদেশ হতে মইয়ের পাদদেশের দূরত্ব = 20 মিটার।

Question: Given that the diagonal of a square measures 12√2, find the area of the square in square units.
(একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 12√2 হলে ঐ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?)

Solution:
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2 × বাহু

প্রশ্নমতে,
√2 × বাহু = 12√2
⇒ বাহু = 12√2/√2 = 12

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 12²
= 144 বর্গ একক

Question: The area of a square-shaped garden is 3600 square meters. What is the total length of the fence around it?
(একটি বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ৩৬০০ বর্গমিটার। বাগানের চারদিকে বেড়া দেওয়া আছে। বেড়ার মোট দৈর্ঘ্য কত?)

Solution: 
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের বাহু = √ক্ষেত্রফল
∴ বাহু = (√৩৬০০)
= ৬০ মিটার

আবার,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × বাহু
= (৪ × ৬০) মিটার
= ২৪০ মিটার

∴ বেড়ার মোট দৈর্ঘ্য = ২৪০ মিটার।

Question: If sec A + tan A = 7/9, then sec A - tan A = ?

Solution: 
Here, 
sec A + tan A = 7/9

Now,
sec²A - tan²A = 1
⇒ (sec A + tan A)(sec A - tan A) =1
⇒ 7/9(sec A - tan A) =1
⇒ (sec A - tan A) = 9/7

Question: Calculate the angle of depression from the peak of a 20-meter high minaret to a ground point located 40 meters away.
(একটি 20 মিটার উচ্চতা বিশিষ্ট মিনারের শীর্ষ বিন্দু হতে 40 মিটার দূরের ভূতলস্থ একটি বিন্দুর অবনতি কোণ কত?)

Solution:
                
ধরি,
অবনতি কোণ θ
sinθ = 20/40
⇒ sinθ = 1/2
⇒ sinθ = sin30°
 ⇒ θ = 30°

কোন নির্দিষ্ট বিন্দুর উন্নতি কোণ ও অবনতি কোণ একান্তর প্রকৃতির। তাই তারা পরস্পর সমান।
∴ বিন্দুর অবনতি কোণ 30°

Question: In a circle, if the central angle subtended by an arc is 100°, what is the value of the inscribed angle on the same arc?
(কোন বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ ১০০° হলে, বৃত্তস্থ কোণের পরিমাণ কত?)

Solution:
আমরা জানি,
কোন বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ তার কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।

∴ বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ ১০০° হলে, বৃত্তস্থ কোণ হবে = ১০০°/২
= ৫০°

Question: An equilateral triangle has a perimeter of 24 meters. What is its area?
(সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ২৪ মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত হবে?)

Solution:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ২৪ মিটার
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ২৪/৩ মিটার = ৮ মিটার

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =(√৩/৪) × ৮^২ বর্গমিটার
= (√৩/৪) × ৬৪ বর্গমিটার
= ১৬√৩ বর্গমিটার

প্রশ্ন: What is the length of the largest chord of a circle if its radius is 7 cm?
(কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৭ সে.মি হলে বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা -এর দৈর্ঘ্য কোনটি?)

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা এবং ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ হলো ব্যাস।
∴ বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা = বৃত্তের ব্যাস 
= ২ × ব্যাসার্ধ 
= (২ × ৭) সে.মি
= ১৪ সে.মি

Question: If sin(x + 18°) = 1/√2, the value of x is:

Solution:
Here,
sin (x + 18°) = 1/√2
⇒ sin (x + 18°) = sin 45°
⇒ x + 18° = 45°
⇒ x = 45° - 18°
∴ P = 27°

Question: Calculate the volume of a cylinder that is 12 cm tall with a base diameter of 7 cm.
(12 সে.মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাস 7 সে.মি.। সিলিন্ডারটির আয়তন কত?)

Solution: 
সিলিন্ডারের উচ্চতা h = 12 সে.মি. 
সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাস 7 সে.মি.
সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ r = 7/2 সে.মি.

সিলিন্ডারটির আয়তন = πr²h
= π × (7/2)² ×12
= π × (49/4) × 12
= 147π ঘন সে.মি.

Question: Find the area of a triangle with side lengths of 7 meters, 8 meters, and 9 meters.
(একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৭, ৮ ,৯ মি. হলে এর ক্ষেত্রফল কত?)

Solution:

আমরা জানি,
ত্রিভুজের অর্ধপরিসীমা,
S = (a + b + c)/২
S = (৭ + ৮ + ৯)/২
= ২৪/২
∴ S = ১২

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 
= √{s(s - a)(s - b)(s - c)}
= √{১২(১২ - ৭)(১২ - ৮) (১২ - ৯)}
= √(১২ × ৫ × ৪ × ৩)
= √(৭২০)
= ১২√৫
∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ১২√৫ বর্গ মি.

যেহেতু, ক্ষেত্রফলের একক m² বা, বর্গ মিটার; কিন্তু এখানে, অপশনগুলোয় কেবল m দেয়া। তাই "None of the above" - উত্তর হবে।

Question: A rhombus has one diagonal of 10 meters and an area of 280 square meters. What is the length of the second diagonal?
(কোনো রম্বসের একটি কর্ণ ১০ মিটার এবং ক্ষেত্রফল ২৮০ বর্গমিটার হলে, অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?)

Solution:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
⇒ ২৮০ = (১/২) × ১০ × অপর কর্ণ
⇒ ১০ × অপর কর্ণ = ২৮০ × ২
⇒ ১০ × অপর কর্ণ = ৫৬০
⇒ অপর কর্ণ = ৫৬০/১০
∴ অপর কর্ণ = ৫৬ মিটার

Question: A tree casts a shadow 15√3 meters long when the sun's angle of elevation is 60°. Find the height of the tree.
(সূর্যের উন্নতি কোণ 60° হলে একটি গাছের ছায়ার দৈর্ঘ্য 15√3 মিটার হয়। গাছটির উচ্চতা কত?)

Solution:

ধরি,
উচ্চতা = h
tan60° = h/15√3
⇒ √3 = h/15√3
⇒ h = 3 × 15
∴ h = 45

Question: A sphere has a diameter of 6 cm. What is its volume?
(একটি গোলকের ব্যাস ৬ সে.মি. হলে, গোলকের আয়তন কত?)

Solution: 
দেওয়া আছে,
গোলকের ব্যাস = ৬ সে.মি.
∴ ব্যসার্ধ, ক = ৩ সে.মি.

∴ গোলকের আয়তন =(৪/৩)πr^৩ ঘন সে.মি. 
= ৩৬π ঘন সে.মি.

Question: In a right-angled triangle, if the two angles other than the right angle differ by 4 degrees, what is the value of the smaller angle?
(একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ব্যতীত অপর দুইটি কোণের পার্থক্য ৪ ডিগ্রি হলে ক্ষুদ্রতম কোণটি কত ডিগ্রি হবে?)

Solution:
ধরি,
ক্ষুদ্রতম কোণ = ক
বৃহত্তম কোণ = ক + ৪°

প্রশ্নমতে,
ক + ক + ৪° = ৯০°
⇒ ২ক = ৯০° - ৪°
⇒ ক = ৮৬°/২
∴ ক = ৪৩°

প্রশ্ন: How far apart are the centers of two circles with diameters of 20 cm and radii of 8 cm, when they touch each other externally?
(20 সে.মি. ব্যাস ও 8 সে. মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে বৃত্ত দুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?)

সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব বৃত্ত দুইটির ব্যাসার্ধের যোগফলের সমান।
এখানে,
১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 20/2 = 10 সে.মি.
২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 8 সে. মি. 

∴ কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = (10 + 8) সে.মি.
= 18 সে.মি.

Question: The height of a cone is 12 cm and the radius of its base is 5 cm. What is the approximate volume of the cone in cubic centimeters?
(একটি সমবৃত্তভূমিক কোণকের উচ্চতা ১২ সে.মি. এবং ভূমির ব্যাসার্ধ ৫ সে.মি. হলে, কোণকটির আয়তন প্রায় কত ঘন সে.মি.?)

Solution:
ধরি,
কোণকের ব্যাসার্ধ, r = ৫ সে.মি.
কোণকের উচ্চতা, h = ১২ সে.মি. 

আমরা জানি,
কোণকের আয়তন = (1/3)πr²h.
= (১/৩) × π × ৫^২ × ১২
= ১০০π ঘন সে.মি.