Math Master

প্রশ্ন: ঘণ্টায় ৯০ কিমি বেগে চলমান একটি ট্রেন রাস্তার পাশের একটি বৈদ্যুতিক খুঁটিকে ৬ সেকেন্ডে অতিক্রম করে। ট্রেনটির দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান:
এখানে, বেগ = ৯০ কিমি/ঘণ্টা
= ৯০ × (৫/১৮) মি/সেকেন্ড
= ২৫ মি/সেকেন্ড

∴ ট্রেনটির দৈর্ঘ্য = বেগ × সময় = ২৫ × ৬ = ১৫০ মিটার 

প্রশ্ন: দৈনিক ৮ ঘণ্টা পরিশ্রম করে ৪০ জন লোক একটি কাজ ১০ দিনে করতে পারে। দৈনিক কত ঘণ্টা পরিশ্রম করে ৫০ জন লোক ১৬ দিনে ঐ কাজটি করতে পারে?

সমাধান:
৪০ জন লোক ১০ দিনে কাজটি করে দৈনিক ৮ ঘণ্টা পরিশ্রম করে
∴ ১ জন লোক ১০ দিনে কাজটি করে দৈনিক (৮ × ৪০) ঘণ্টা পরিশ্রম করে
∴ ১ জন লোক ১ দিনে কাজটি করে দৈনিক (৮ × ৪০ × ১০) ঘণ্টা পরিশ্রম করে
∴ ৫০ জন লোক ১ দিনে কাজটি করে দৈনিক {(৮ × ৪০ × ১০)/৫০} ঘণ্টা পরিশ্রম করে
∴ ৫০ জন লোক ১৬ দিনে কাজটি করে দৈনিক {(৮ × ৪০ × ১০)/(৫০ × ১৬)} = ৪ ঘণ্টা পরিশ্রম করে

∴ নির্ণেয় সময় ৪ ঘণ্টা।

প্রশ্ন: মিনার সাইকেলে করে ৬ কিলোমিটার/ঘণ্টা বেগে মতিঝিল থেকে ২ ঘণ্টায় মিরপুর যায়। মতিঝিল থেকে মিরপুরের দূরত্ব নির্ণয় করুন।

সমাধান:
এখানে, গতিবেগ = ৬ কিলোমিটার/ঘণ্টা
এবং অতিবাহিত সময় = ২ ঘণ্টা

আমরা জানি, 
দূরত্ব = বেগ × সময়
= ৬ × ২ 
= ১২ কিলোমিটার

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চা তিনটি নল দিয়ে যথাক্রমে ৪, ৬ ও ১২ ঘণ্টায় পূর্ণ হতে পারে। তিনটি নল একসাথে খুলে দিলে চৌবাচ্চাটির এক-চতুর্থাংশ পূর্ণ হতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
তিনটি নল ১ ঘণ্টায় পূর্ণ করে = {(১/৪) + (১/৬) + (১/১২)} অংশ
= (৩ + ২ + ১)/১২ অংশ
= ৬/১২ অংশ
= ১/২ অংশ

এখন, ১/২ অংশ পূর্ণ হয় ১ ঘণ্টায়
∴ ১ অংশ পূর্ণ হয় {১/(১/২)} ঘণ্টায়
= ২ ঘণ্টায়

১ অংশ পূর্ণ করে ২ ঘণ্টায়
∴ ১/৪ অংশ পূর্ণ করে {২ × (১/৪)} ঘণ্টায়
= ১/২ ঘণ্টায় = ৩০ মিনিটে 

প্রশ্ন: ২২০ মিটার দীর্ঘ একটি ট্রেন ৫৪ কিলােমিটার/ঘণ্টা বেগে ৬৮০ মিটার দীর্ঘ একটি টানেলে প্রবেশ করলে, টানেলটি অতিক্রম করতে ট্রেনটির কত সময় লাগবে?

সমাধান: 
এখানে, ট্রেনের বেগ = ৫৪ কিলােমিটার/ঘণ্টা = ৫৪ × (৫/১৮) মি/সেকেন্ড = ১৫ মি/সেকেন্ড

মোট দূরত্ব = ট্রেনের দৈর্ঘ্য + টানেলের দৈর্ঘ্য
= ২২০ + ৬৮০ মিটার
= ৯০০ মিটার 

∴ সময় = দূরত্ব/বেগ = ৯০০/১৫ = ৬০ সেকেন্ড = ১ মিনিট  

প্রশ্ন: একটি নৌকা ঘণ্টায় স্রোতের অনুকূলে ১১ কি.মি. এবং স্রোতের প্রতিকূলে ৭ কি.মি. বেগে চললে, স্রোতের বেগ কত?

সমাধান:
ধরি,
নৌকার বেগ = x কি.মি./ঘণ্টা
স্রোতের বেগ = y কি.মি./ঘণ্টা

স্রোতের অনুকূলে বেগ = x + y = ১১ কি.মি./ঘণ্টা ...................(i)
স্রোতের প্রতিকূলে বেগ = x − y = ৭ কি.মি./ঘণ্টা  ...................(ii)

এখন, (i) + (ii) 
(x + y) + (x − y) = ১১ + ৭
⇒ ২x = ১৮ 
⇒ x = ৯

(i) থেকে পাই,
৯ + y = ১১
⇒ y = ১১ - ৯
⇒ y = ২

∴ স্রোতের বেগ = ২ কি.মি./ঘণ্টা 

প্রশ্ন: সিলেট ষ্টেশন থেকে একটি ট্রেন সকাল ৯টায় ঘণ্টায় ৪০ কি.মি. গতিতে চট্টগ্রামের উদ্দেশ্যে রওনা দিল। সকাল ১১ টায় আরেকটি ট্রেন ঘণ্টায় ৫০ কি.মি. গতিতে চট্টগ্রামের উদ্দেশ্যে রওনা দিল। ট্রেন দুটি সিলেট থেকে কত দূরে মিলিত হবে?

সমাধান: 
ধরি, মোট দূরত্ব x কি.মি.

এখন, ৪০ কি.মি. যায় ১ ঘণ্টায়
∴ x কি.মি. যায় (x/৪০) ঘণ্টায়

আবার, ৫০ কি.মি যায় ১ ঘণ্টায়
∴ x কি.মি যায় (x/৫০) ঘণ্টায়

সকাল ১১ টা ও সকাল ৯ টার মধ্যে সময়ের পার্থক্য = ২ ঘণ্টা 

প্রশ্নমতে, (x/৪০) - (x/৫০) = ২
⇒ (৫x - ৪x)/২০০ = ২
⇒ x = ৪০০

∴ ট্রেন দুটি সিলেট থেকে ৪০০ কি.মি. দূরে মিলিত হবে

প্রশ্ন: লাবিব ও সাকিব একটি কাজ একত্রে ১৬ দিনে করতে পারে। লাবিব ও সাকিব একত্রে ৬ দিন কাজ করার পর লাবিব চলে গেল। সাকিব বাকি কাজ ২০ দিনে শেষ করল। সম্পূর্ণ কাজটি সাকিব একা কত দিনে করতে পারত?

সমাধান:
লাবিব ও সাকিব একত্রে ১৬ দিনে করে ১ টি কাজ
∴ লাবিব ও সাকিব একত্রে ১ দিনে করে ১/১৬ অংশ কাজ
∴ লাবিব ও সাকিব একত্রে ৬ দিনে করে (১ × ৬)/১৬ অংশ কাজ
= ৩/৮ অংশ কাজ 

মনে করি, সম্পূর্ণ কাজটি = ১
∴ কাজ বাকি থাকে = {১ - (৩/৮)} অংশ
= (৮ - ৩)/৮ অংশ 
= ৫/৮ অংশ

সাকিব ৫/৮ অংশ কাজ শেষ করে ২০ দিনে
∴ সাকিব ১(সম্পূর্ণ) অংশ কাজ শেষ করে {(৮ × ২০)/৫} দিনে
= ৩২ দিনে

প্রশ্ন: ঢাকা থেকে খুলনার দূরত্ব প্রায় ২২০ কিলোমিটার। একটি বাস ৪ ঘণ্টায় ঢাকা থেকে খুলনা চলে আসলে বাসটির গড় গতিবেগ কত কিলোমিটার/ঘণ্টা।

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
দূরত্ব = ২২০ কিলোমিটার
সময় = ৪ ঘণ্টা

বাসটির গড় গতিবেগ = (মোট দূরত্ব)/(মোট সময়)
= ২২০/৪ 
= ৫৫ কিলোমিটার/ঘণ্টা 

প্রশ্ন: একটি ৯৮ মিটার দীর্ঘ ট্রেন ৫০ কিমি/ঘণ্টা বেগে চলতে চলতে বিপরীত দিক থেকে আসা ১২২ মিটার দীর্ঘ আরেকটি ট্রেনকে ৬ সেকেন্ডে অতিক্রম করে। দ্বিতীয় ট্রেনটির গতিবেগ কত?

সমাধান:
ধরি, দ্বিতীয় ট্রেনটির গতিবেগ = x কিমি/ঘণ্টা
∴ আপেক্ষিক বেগ = (x + ৫০) কিমি/ঘণ্টা
= (x + ৫০) × (৫/১৮) মি/সেকেন্ড

এবং, মোট দৈর্ঘ্য = ৯৮ + ১২২ মিটার
= ২২০ মিটার

প্রশ্নমতে, {(৫ × ৬)(x + ৫০)}/১৮ = ২২০
⇒ ৩০(x + ৫০)/১৮ = ২২০
⇒ x + ৫০ = ২২ × ৬
⇒ x = ১৩২ - ৫০
⇒ x = ৮২

∴ দ্বিতীয় ট্রেনটির গতিবেগ = ৮২ কিমি/ঘণ্টা   

প্রশ্ন: রাজশাহী থেকে ঢাকার দূরত্ব ২৬০ কিলোমিটার। একটি ট্রেন ৬ ঘণ্টায় ঢাকা থেকে রাজশাহী চলে আসল। যাত্রা পথে ট্রেনটি ২ ঘণ্টা বিরতি নেয়। ট্রেনটির গড় গতিবেগ কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
মোট দূরত্ব = ২৬০ কিলোমিটার
∴ ট্রেনটি মোট (৬ - ২) ঘণ্টা = ৪ ঘণ্টা যাত্রা করে

আমরা জানি, 
গড় গতিবেগ = মোট দূরত্ব/মোট সময় 
= ২৬০/৪
= ৬৫ কিলোমিটার/ঘণ্টা     

প্রশ্ন: স্থির পানিতে একটি নৌকার বেগ ৮ কি.মি./ঘণ্টা এবং স্রোতের বেগ ২.৫ কি.মি./ঘণ্টা। একজন ব্যক্তি ১০৫ কি.মি. দূরত্বের একটি স্থানে নৌকা বেয়ে যায় এবং আবার শুরুর স্থানে ফিরে আসে। তার মোট সময় কত লাগবে?

সমাধান: 

স্থির পানিতে নৌকার বেগ = ৮ কি.মি./ঘণ্টা
স্রোতের বেগ = ২.৫ কি.মি./ঘণ্টা
দূরত্ব = ১০৫ কি.মি.

স্রোতের অনুকূলে বেগ = ৮ + ২.৫ = ১০.৫ কি.মি./ঘণ্টা
স্রোতের প্রতিকূলে বেগ = ৮ − ২.৫ = ৫.৫ কি.মি./ঘণ্টা

যাওয়ার সময় = (১০৫/১০.৫) ঘণ্টা
= ১০ ঘণ্টা
আসার সময় = (১০৫/৫.৫) ঘণ্টা
= ১৯.০৯ ঘণ্টা

মোট সময় = (১০ + ১৯.০৯) ঘণ্টা
= ২৯.০৯ ঘণ্টা (প্রায়)   

প্রশ্ন: একটি নল ১২ মিনিটে একটি খালি চৌবাচ্চা পূর্ণ করতে পারে। অপর একটি নল প্রতি মিনিটে ১৪ লিটার পানি বের করে দেয়। চৌবাচ্চাটি খালি থাকা অবস্থায় দুইটি নল একসাথে খুলে দেওয়া হলে চৌবাচ্চাটি ৯৬ মিনিটে পূর্ণ হয়। চৌবাচ্চাটিতে কত লিটার পানি ধরে?

সমাধান:
মনে করি, ১ম নল দ্বারা প্রতি মিনিটে ক লিটার পানি প্রবেশ করে এবং চৌবাচ্চাটিতে মোট খ লিটার পানি ধরে।
প্রশ্ন অনুসারে, ১ম নল দ্বারা ১২ মিনিটে খালি চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হয়।
∴ খ = ১২ক ....................... (i)

আবার, দুইটি নল দ্বারা ৯৬ মিনিটে খালি চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হয়।
 খ = (৯৬ক - ৯৬) × ১৪ ....................... (ii)

সমীকরণ (i) থেকে পাই, ক = খ/১২

ক এর মান সমীকরণ (ii) বসিয়ে পাই,
⇒ খ = {৯৬ × (খ/১২)}  - (৯৬ × ১৪)
⇒ খ = ৮খ  - (৯৬ × ১৪)
⇒ ৭খ = ৯৬ × ১৪
⇒ খ = (৯৬ × ১৪)/৭
⇒ খ = ৯৬ × ২
∴ খ = ১৯২ 

প্রশ্ন: ৩ জন শ্রমিক একটি কাজ ১২ দিনে করতে পারে। শ্রমিকদের মধ্যে ২ জন প্রত্যেক তৃতীয় শ্রমিকের চেয়ে দ্বিগুণ দ্রুততায় কাজ করতে পারে। একজন দ্রুততর শ্রমিক একাকী কাজটি কতদিনে শেষ করতে পারবে?

সমাধান:
মনে করি, 
৩য় শ্রমিক কাজটি করে ২x দিনে
১ম শ্রমিক কাজটি করে x দিনে
২য় শ্রমিক কাজটি করে x দিনে

৩য় শ্রমিক ২x দিনে করে ১ অংশ
∴ ৩য় শ্রমিক ১ দিনে করে ১/২x অংশ

১ম শ্রমিক x দিনে করে ১ অংশ
∴ ১ম শ্রমিক ১ দিনে করে ১/x অংশ

২য় শ্রমিক x দিনে করে ১ অংশ
∴ ২য় শ্রমিক ১ দিনে করে ১/x অংশ

অতএব, তারা একত্রে ১ দিনে করে {(১/২x) + (১/x) +(১/x)} অংশ
= (১ + ২ + ২)/২x অংশ
= ৫/২x অংশ
 
আবার, তারা একত্রে ১২ দিনে করে ১ (সম্পূর্ণ) কাজ
∴ তারা একত্রে ১ দিনে করে ১/১২ অংশ কাজ

প্রশ্নমতে, ৫/২x = ১/১২
⇒ ২x = ১২ × ৫
⇒ x = ৬০/২
∴ x = ৩০

∴ একজন দ্রুততর শ্রমিক একাকী কাজটি ৩০ দিনে শেষ করতে পারবে।

প্রশ্ন: দুইজন ব্যক্তি একই বিন্দু থেকে একই সময়ে পরস্পর বিপরীত দিকে দৌড় শুরু করল। এদের মধ্যে একজনের বেগ অন্যজনের তুলনায় ঘণ্টায় ৪ মাইল বেশি হলে এবং ২ ঘণ্টা পর দুইজনের মধ্যবর্তী দূরত্ব ২০ মাইল হলে, দ্রুততর ব্যক্তির বেগ কত? 

সমাধান:

ধরি,
ধীরগতির ব্যক্তির বেগ = x মাইল/ঘণ্টা
তাহলে, দ্রুততর ব্যক্তির বেগ = x + ৪ মাইল/ঘণ্টা

যেহেতু, তারা পরস্পর বিপরীত দিকে দৌড়াচ্ছে,
∴ আপেক্ষিক বেগ = x + (x + ৪)
= ২x + ৪ মাইল/ঘণ্টা

দেওয়া আছে,
২ ঘণ্টা পর তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব = ২০ মাইল

প্রশ্নমতে,
(২x + ৪) × ২ = ২০
⇒ ২x + ৪ = ১0
⇒ ২x = ৬
⇒ x = ৩
অর্থাৎ, ধীরগতির ব্যক্তির বেগ = ৩ মাইল/ঘণ্টা

∴ দ্রুততর ব্যক্তির বেগ = ৩ + ৪ = ৭​ মাইল/ঘণ্টা  

প্রশ্ন: স্থির পানিতে নৌকার বেগ ৬ কি.মি./ঘণ্টা। স্রোতের অনুকূলে নৌকাটির যেতে যত সময় লাগে, স্রোতের প্রতিকূলে যেতে তার দ্বিগুণ সময় লাগে। স্রোতের বেগ কত?

সমাধান: 

ধরি,
নৌকার বেগ = x = ৬ কি.মি./ঘণ্টা
স্রোতের বেগ = y কি.মি./ঘণ্টা

স্রোতের অনুকূলে বেগ = x + y 
স্রোতের প্রতিকূলে বেগ = x − y

প্রশ্নমতে, x + y = ২(x − y)
⇒ ৬ + y = ২(৬ − y)
⇒ ৬ + y = ১২ − ২y
⇒ ৩y = ১২ - ৬
⇒ ৩y = ৬
∴ y = ২

স্রোতের বেগ = ২ কি.মি./ঘণ্টা

প্রশ্ন: ৮ জন পুরুষ বা ১৮ জন বালক একটি কাজ ২৪ দিনে করতে পারে। ১৬ জন পুরুষ ও ১৮ জন বালক সেই কাজের ৩ গুণ একটি কাজ কত দিনে করতে পারবে?  

সমাধান: 
এখানে, ৮ জন পুরুষের কাজ ≡ ১৮ জন বালকের কাজ
∴ ১৬ জন পুরুষের কাজ + ১৮ জন বালকের কাজ ≡ ১৬ জন পুরুষের কাজ + ৮ জন পুরুষের কাজ
≡ ২৪ জন পুরুষের কাজ 

৮ জন পুরুষের ঐ কাজের ৩ গুণ কাজ করতে সময় লাগে (২৪ × ৩) দিন
১ জন পুরুষের ঐ কাজের ৩ গুণ কাজ করতে সময় লাগে (২৪ × ৩ × ৮)  দিন
২৪ জন পুরুষের ঐ কাজের ৩ গুণ কাজ করতে সময় লাগে {(২৪ × ৩ × ৮)/২৪}  দিন
= ২৪ দিন