৪৮তম বিশেষ বিসিএস [স্বাস্থ্য] ⎯ সাধারণ অংশ [Archived]

প্রশ্ন: A = {x ∈ N : x² >8, x³ < 30} হলে x এর সঠিক মান কত?

সমাধান:
সেট A এর শর্তানুযায়ী,
x এর এমন একটি মান বসাতে হবে যেটিকে বর্গ করলে 8 অপেক্ষা বড় হবে এবং ঘন করলে 30 অপেক্ষা ছোট হবে।

এখন, x এর মান 2 হলে,
2² = 4 যা 8 থেকে ছোট, অর্থাৎ শর্ত পূরণ করে না।

আবার,
x এর মান 3 হলে,
3² = 9 যা 8 থেকে বড়, অর্থাৎ শর্ত পূরণ করে।  
এবং
3³ = 27 যা 30 থেকে ছোট, অর্থাৎ শর্ত পূরণ করে।  

আবার,
x এর মান 4 হলে
4² = 16 যা 8 থেকে বড়, অর্থাৎ শর্ত পূরণ করে। 
এবং
4³ = 64 যা 30 থেকে বড়, অর্থাৎ শর্ত পূরণ করে না।

প্রশ্ন: 3, 9, 27, 81, ... ধারাটির কততম পদ 2187 ?

সমাধান:
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 9/3 = 3
ধরি,
n-তম পদ = 2187

প্রশ্নমতে,
ar^n-1 = 2187
⇒ 3 × 3^n-1= 2187
⇒ 3^n-1 = 2187/3
⇒ 3^n-1 = 729
⇒ 3^n-1 = 3⁶
⇒ n - 1 = 6
⇒ n = 6 + 1
⇒ n = 7

প্রশ্ন: 3√3 এর 3 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: যদি A = {4, 7, 9} এবং B = {9, 10, 11} হয় তাহলে A - B এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
A = {4, 7, 9}
B = {9, 10, 11}

আমরা জানি,
A/B = A - B 
= A = {4, 7, 9} - {9, 10, 11}
= {4, 7}

প্রশ্ন: 3, 7, 11, ....... ধারাটির প্রথম 15 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমান্তর ধারার প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অন্তর, d = 7 - 3 = 4

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
∴ 15 টি পদের সমষ্টি = (15/2){(2 × 3) + (15 - 1)4}
= (15/2){6 + (14 × 4)}
=(15/2)(6 + 56)
= (15/2) × 62
= 465

প্রশ্ন: log₅ 125 + log₂ 8 = ?

সমাধান:
log₅ 125 + log₂ 8
= log₅ 5³ + log₂ 2³
= 3 log₅ 5 + 3 log₂ 2
= (3 × 1) + (3 × 1)
= 3 + 3
= 6

প্রশ্ন: 3^3y = 729 হলে 3^y এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
3^3y = 729
⇒ 3^3y = 3⁶
⇒ 3y = 6
⇒ y = 6/3 
⇒ y = 2

∴ 3^y = 3² = 9

প্রশ্ন: A = {x ∈ N এবং 7 ≤ x < 11} এবং B = {x ∈ N এবং x মৌলিক সংখ্যা < 15} হলে (A ∩ B) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {x : 7 ≤ x < 11}
B = {x : x মৌলিক সংখ্যা < 15}

এখন, 
A = {x : 7 ≤ x < 11}
= {7, 8, 9, 10}
এবং
B = {x : x মৌলিক সংখ্যা < 15}
= {2, 3, 5, 7, 11, 13}

(A ∩ B) = {7, 8, 9, 10} ∩ {2, 3, 5, 7, 11, 13} 
= {7}

প্রশ্ন: একটি জটিল সার্জারির জন্য 10 জন সার্জনের মধ্য থেকে 5 জন সার্জনের একটি টীম কতভাবে তৈরি করা যাবে যেখানে 2 জন সার্জন সর্বদা বাছাই এর বাইরে থাকবেন?

সমাধান:
যেহেতু 2 জন সার্জন সর্বদা বাছাই এর বাইরে থাকবেন তাই মোট সংখ্যা হবে = (10 - 2) = 8 জন

এখন,
8 জন সার্জনের মধ্য থেকে 5 জন সার্জন কে বাছাই করে টীম গঠন করার উপায় সংখ্যা,
= ⁸C₅ 
= 8!/{5! × (8 - 5)!}
= 8!/(5! × 3!)
= (8 × 7 × 6 × 5!)/(5! × 3!)
= (8 × 7 × 6)/(3 × 2)
= 56

প্রশ্ন: (2^-1 + 5^-1)^-1 এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
(2^{- 1} + 5^{- 1})^{- 1}
= {(1/2) + (1/5)}^{- 1}
= {(5 + 2)/10}^{- 1}
= (7/10)^{- 1}
= {1/(7/10)}
= 10/7

প্রশ্ন:  9 + 7 + 5 +....................... ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের যোগফল - 144 হলে, n এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
প্রথম পদ, a = 9
সাধারণ অন্তর, d = (7 - 9) = - 2

প্রশ্নমতে,
n সংখ্যক পদের যোগফল = - 144
বা, (n/2){2a + (n - 1)d} = - 144
বা, (n/2){(2 × 9) + (n - 1)(- 2)} = - 144
বা, (n/2)(18 - 2n + 2) = - 144
বা, (n/2)(- 2n + 20)= - 144
বা, - (n/2) × 2 × (n - 10) = - 144
বা, n(n - 10) = 144
বা, n² - 10n - 144 = 0
বা, n² - 18n + 8n - 144 = 0
বা, n(n - 18) + 8(n - 18) = 0
বা, (n - 18)(n + 8) = 0

অর্থাৎ n - 18 = 0 অথবা, n + 8 = 0
বা, n = 18 অথবা, n = - 8

এখানে n -এর ঋণাত্মক মান গ্রহনযোগ্য নয়।
∴ n = 18

প্রশ্ন: একটি ছক্কা কে একবার নিক্ষেপ করা হলে 2 থেকে বড় সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হলে মোট নমুনা ক্ষেত্র হবে = 61 = 6 টি 
নমুনা ক্ষেত্র গুলো হবে = 1, 2, 3, 4, 5, 6 

এখন,
সংখ্যা গুলোর মধ্যে 2 থেকে বড় সংখ্যা গুলো হলো = 3, 4, 5, 6 অর্থাৎ 4 টি । 

∴ ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হলে 2 থেকে বড় সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা,
= অনুকূল ঘটনার সংখ্যা/মোট ঘটনা সংখ্যা
= 4/6
= 2/3