ডেইলি কুইজ [২০০ দিন]

প্রশ্ন: n সংখ্যক উপাদান রয়েছে এমন একটি সেটের মোট কতগুলো উপসেট থাকতে পারে?

সমাধান:
আমরা জানি,
n উপাদানবিশিষ্ট একটি প্রদত্ত সেটের উপসেটের সংখ্যা = 2ⁿ
উদাহরণ, যদি কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা, n = 4  হয়,
তাহলে, প্রদত্ত সেটের উপসেটের সংখ্যা = 2ⁿ
= 2⁴
= 16

প্রশ্ন: যদি P = {x ∈ N : x মৌলিক সংখ্যা এবং x < 18} এবং Q = {x ∈ N : x বিজোড় সংখ্যা এবং x ≤ 15} হয়, তবে P ∩ Q এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
P = {x ∈ N : x হল মৌলিক সংখ্যা এবং x < 18}
∴ P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17}

Q = {x ∈ N : x হল বিজোড় এবং x ≤ 15}
∴ Q = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}

∴ P ∩ Q = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17} ∩ {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}
= {3, 5, 7, 11, 13}

প্রশ্ন: একজন লোকের সিলেট হতে ঢাকায় বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা ৫/৯ এবং ঢাকা থেকে বরিশালে ট্রেনে যাওয়ার সম্ভবনা ৩/৮। লোকটি ঢাকায় বাসে না যাওয়ার এবং বরিশালে ট্রেনে যাওয়ার সম্ভাবনা কত?

 সমাধান:
সিলেট হতে ঢাকায় বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা = ৫/৯
সিলেট হতে ঢাকায় বাসে না যাওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (৫/৯)
= ৪/৯

 ঢাকা থেকে বরিশাল ট্রেনে যাওয়ার সম্ভবনা = ৩/৮

 ∴ ঢাকায় বাসে না যাওয়ার এবং বরিশাল ট্রেনে যাওয়ার সম্ভাবনা = (৪/৯) × (৩/৮)
= ১২/৭২
= ১/৬

প্রশ্ন: ২২, ৩৫, ৪৮, ১৮, ৫০, ২৫, ৪০ উপাত্ত গুলোর পরিসর নির্ণয় করুন।

 সমাধান:
প্রদত্ত তথ্যের সর্বনিম্ন সংখ্যা = ১৮
প্রদত্ত তথ্যের সর্বোচ্চ সংখ্যা = ৫০

 ∴ পরিসর = (সর্বোচ্চ সংখ্যা - সর্বনিম্ন সংখ্যা) + ১
= (৫০ - ১৮) + ১
= ৩২ + ১
 = ৩৩

প্রশ্ন: দুইটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হলে তাদের যোগফল 9 এর চেয়ে বড় হওয়ার সম্ভাবনা কত?

 সমাধান:
আমরা জানি, দুইটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করলে,
মোট সম্ভাব্য ঘটনা = 6 × 6 = 36

9 এর চেয়ে বড় হওয়ার অনুকূল ঘটনা = {(4,6), (5,5), (6,4), (5,6), (6,5), (6,6)}
= 6 টি

∴ যোগফল 9 এর চেয়ে বড় হওয়ার সম্ভাবনা = অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা/সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা
= 6/36
= 1/6

প্রশ্ন: 540 এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর মধ্যে প্রচুরক কত?

সমাধান:
540 এর মৌলিক উৎপাদকগুলো = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5
এখানে,
2 আছে 2 বার।
3 আছে 3 বার।
5 আছে 1 বার।

যেহেতু মৌলিক উৎপাদকদের মধ্যে 3 সবচেয়ে বেশি বার রয়েছে (3 বার),
∴ 540 এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর মধ্যে প্রচুরক = 3

প্রশ্ন: নিচের চিত্রানুসারে (A ∩ B)^c = কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ভেনচিত্র হতে,
U = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9}
A = {2, 5, 8, 9}
B = {3, 5, 7, 9}

এখন,
(A ∩ B) = {2, 5, 8, 9} ∩ {3, 5, 7, 9}
= {5, 9}

∴ (A ∩ B)^c = U - (A ∩ B)
= {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9} - {5, 9}
= {1, 2, 3, 4, 7, 8}

প্রশ্ন: একটি বাক্সে 5 টি লাল বল, 8 টি সাদা বল এবং 7 টি হলুদ বল আছে। বাক্স থেকে দৈবভাবে একটি বল নেওয়া হলে বলটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
এখানে, মোট বল আছে = (5 + 8 + 7) টি = 20 টি
সাদা বল আছে = 8 টি

বলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা, P(সাদা) = সাদা বলের সংখ্যা/মোট বলের সংখ্যা
P(সাদা)
= 8/20
= 2/5

∴ বলটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা = 1 - P(সাদা)
= 1 - (2/5)
= (5 - 2)/5
= 3/5

প্রশ্ন: ১১, ২৫, ১৮, ৯, ২১, ৩৩, ৬, ২৪ উপাত্তগুলোর মধ্যক কত?

সমাধান:
উপাত্তগুলোকে মানের উর্ধ্বক্রম অনুসারে সাজিয়ে পাই: ৬, ৯, ১১, ১৮, ২১, ২৪, ২৫, ৩৩

যেহেতু মোট উপাত্ত আছে ৮টি যা একটি জোড় সংখ্যা

∴ মধ্যক = [(৮/২) তম পদ + {(৮/২) + ১} তম পদ]/২
= (৪র্থ পদ + ৫ম পদ)/২
= (১৮ + ২১)/২
= ৩৯/২
= ১৯.৫

∴ উপাত্তগুলোর মধ্যক হলো = ১৯.৫

প্রশ্ন: B = {x : x, 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 18} হলে, B এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
B = {x : x, 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 18}
∴ B = {3, 6, 9, 12, 15, 18}

এখানে,
B সেটের উপাদান সংখ্যা, n(B) = 6
কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে, তার প্রকৃত উপসেট সংখ্যা হলো 2ⁿ - 1.
∴ B এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2⁶ - 1
= 64 - 1
= 63

প্রশ্ন: 52টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে দৈবভাবে একটি তাস টানা হলে তাসটি রাণী (Queen) হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
এখানে,
মোট ঘটনার সংখ্যা (মোট তাস) = 52 টি
মোট রাণী (Queen) এর অনুকূল ঘটনা = 4 টি (প্রতিটি রঙের 1টি করে)

∴ তাসটি রাণী হওয়ার সম্ভাবনা = অনুকূল ঘটনার সংখ্যা/মোট ঘটনার সংখ্যা
= 4/52
= 1/13 

প্রশ্ন: 200 জন শিক্ষার্থীর পরিসংখ্যানে গড় নম্বর 65। এদের মধ্যে 120 জন ছাত্রীর গড় নম্বর 70 হলে, ছাত্রদের গড় নম্বর কত?

সমাধান:
200 জন শিক্ষার্থীর পরিসংখ্যানে গড় নম্বর = 65
∴ 200 জন শিক্ষার্থীর পরিসংখ্যানে মোট নম্বর = (65 × 200)
= 13000

আবার, 120 জন ছাত্রীর গড় নম্বর = 70
∴ 120 জন ছাত্রীর মোট নম্বর = (70 × 120) = 8400

এখন, ছাত্রের সংখ্যা = (200 - 120) = 80 জন।
∴ ছাত্রের মোট নম্বর = (13000 - 8400)
= 4600
∴ ছাত্রদের গড় নম্বর = 4600/80
= 57.5

প্রশ্ন: একটি অনুষ্ঠানে 300 জন অতিথি ছিল। এর মধ্যে 180 জন চা পছন্দ করেন এবং 140 জন কফি পছন্দ করেন। যদি 50 জন উভয় পানীয় পছন্দ করেন, তবে কতজন অতিথি কোনো পানীয়ই পছন্দ করেন না?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মোট অতিথি = 300 জন
চা পছন্দ করে = 180 জন
কফি পছন্দ করে = 140 জন
উভয় পানীয় পছন্দ করে = 50 জন

∴ শুধু চা পছন্দ করে = 180 - 50 = 130 জন
∴ শুধু কফি পছন্দ করে = 140 - 50 = 90 জন

∴ অন্তত একটি পানীয় পছন্দ করে = 130 + 90 + 50 = 270 জন 

∴ কোনো পানীয়ই পছন্দ করে না = 300 - 270 = 30 জন

প্রশ্ন: তিনটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একত্রে নিক্ষেপ করা হলে সর্বোচ্চ একটি হেড (H) পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
তিনটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করলে মোট সম্ভাব্য ঘটনা (নমুনা বিন্দু) হবে: 2³ = 8 টি।
মোট নমুনা বিন্দুগুলো হলো: {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}

সর্বোচ্চ একটি হেড (H) পাওয়ার অনুকূল ঘটনা বলতে বোঝায় যেখানে কোনো হেড নেই (0 Head) অথবা একটি হেড আছে (1 Head)।

অনুকূল ঘটনাগুলো হলো:
0 Head: {TTT}
1 Head: {HTT, THT, TTH}
মোট অনুকূল ঘটনার সংখ্যা = 1 + 3 = 4 টি।

∴ সর্বোচ্চ একটি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা = অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা/সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা
= 4/8
= 1/2

∴ সর্বোচ্চ একটি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা = 1/2

প্রশ্ন: 1, 4, 9, 16, ........., n পদ পর্যন্ত গাণিতিক গড় কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি হলো প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের ধারা:
1², 2², 3², 4², …, n²

এখানে, পদসংখ্যা = n

আমরা জানি, প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি:
S_n = 1² + 2² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6

∴ গাণিতিক গড় = পদগুলোর সমষ্টি/পদসংখ্যা
= S_n/n
= {n(n + 1)(2n + 1)/6}/ n
= n(n + 1)(2n + 1)/6n
= (n + 1)(2n + 1)/6

প্রশ্ন: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A = {1, 3, 5, 7} এবং B = {3, 4, 5, 6} হলে, (A\B) ∪ (B\A) সেটের উপসেট কতটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {1, 3, 5, 7}
B = {3, 4, 5, 6}

A\B = {1, 3, 5, 7}\{3, 4, 5, 6}
∴ A\B = {1, 7}
B\A) = {3, 4, 5, 6}\{1, 3, 5, 7}
∴ B\A = {4, 6}

এখন,
(A\B) ∪ (B\A) = {1, 7} ∪ {4, 6}
∴ D = {1, 4, 6, 7}

এই সেটের উপাদান সংখ্যা, n(D) = 4
কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে, তার উপসেট সংখ্যা হলো 2ⁿ
∴ D সেটের উপসেট সংখ্যা = 2⁴
= 16
∴ নির্ণেয় উপসেট সংখ্যা = 16 টি

প্রশ্ন: 10 থেকে 20 পর্যন্ত সংখ্যা থেকে যে কোন একটিকে ইচ্ছেমত নিলে সে সংখ্যাটি মৌলিক অথবা 5 এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
10 থেকে 20 পর্যন্ত মোট সংখ্যা = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
= 11 টি।
10 থেকে 20 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = 11, 13, 17, 19
আবার, 10 থেকে 20 পর্যন্ত 5 এর গুণিতক সংখ্যা = 10, 15, 20

মৌলিক সংখ্যা অথবা 5 এর গুণিতক মোট সংখ্যা = (4 + 3) টি
= 7টি

∴ নির্ণেয় সম্ভাবনা = 7/11 

প্রশ্ন: 10, 25, 30, 45, 50, 65, 72, 18, 40, 58 উপাত্তগুলোর শ্রেণিব্যাপ্তি 9 হলে, শ্রেণি সংখ্যা কত?

সমাধান:
উপাত্তসমূহ: 10, 25, 30, 45, 50, 65, 72, 18, 40, 58

সর্বোচ্চ উপাত্ত = 72
সর্বনিম্ন উপাত্ত = 10
শ্রেণিব্যাপ্তি = 9

পরিসর = (সর্বোচ্চ উপাত্ত - সর্বনিম্ন উপাত্ত) + 1
= (72 - 10) + 1
= 62 + 1
= 63

∴ শ্রেণি সংখ্যা = পরিসর/শ্রেণিব্যাপ্তি
= 63/9
= 7

প্রশ্ন: X = {a, b, c}, Y = {c, d} এবং Z = X ∩ Y হলে, Z × Y = কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
X = {a, b, c}
Y = {c, d}

Z = X ∩ Y = {a, b, c} ∩ {c, d}
∴ Z = {c}

এখন,
Z × Y = {c} × {c, d}
∴ Z × Y = {(c, c), (c, d)}

প্রশ্ন: যদি P = {1, 2, 3}, Q = {4, 6, 8, 9} হয় এবং P ও Q এর উপাদানগুলোর মধ্যে y = x + 5 সম্পর্ক বিবেচনায় থাকে, তবে সংশ্লিষ্ট অন্বয় কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P = {1, 2, 3}
Q = {4, 6, 8, 9}

প্রশ্নানুসারে, সংশ্লিষ্ট অন্বয়, R হবে:
R = {(x, y) : x ∈ P, y ∈ Q এবং y = x + 5}

এখন, x ∈ P এর প্রতিটি মানের জন্য y = x + 5 শর্তটি পরীক্ষা করি:
যখন x = 1, তখন y = 1 + 5 = 6। যেহেতু 6 ∈ Q, তাই (1, 6) অন্বয়ে থাকবে।
যখন x = 2, তখন y = 2 + 5 = 7। যেহেতু 7 ∉ Q, তাই (2, 7) অন্বয়ে থাকবে না।
যখন x = 3, তখন y = 3 + 5 = 8। যেহেতু 8 ∈ Q, তাই (3, 8) অন্বয়ে থাকবে।

∴ নির্ণেয় অন্বয়, R = {(1, 6), (3, 8)}

প্রশ্ন: 3, 8 এবং 9 এর গুণোত্তর গড় কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
তিনটি সংখ্যা X₁, X₂ এবং X₃ এর গুণোত্তর গড় (GM) হলো:
GM = (X₁ × X₂ × X₃)^1/3

সুতরাং, 3, 8 এবং 9 এর গুণোত্তর গড় = (3 × 8 × 9)^1/3
= (24 × 9)^1/3
= (216)^1/3
=
= 6

∴ গুণোত্তর গড় = 6

প্রশ্ন: যদি n(A ∪ B) = 85, n(A) = 37 এবং n(B) = 63 হয়, তাহলে n(A ∩ B) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
n(A ∪ B) = 85
n(A) = 37
n(B) = 63

আমরা জানি, সংযোগ সেটের সূত্র হলো:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
বা, 85 = 37 + 63 - n(A ∩ B)
বা, 85 = 100 - n(A ∩ B)
বা, n(A ∩ B) = 100 - 85
∴ n(A ∩ B) = 15

প্রশ্ন: যদি P(A) = 2/5, P(B) = 3/8 এবং A ও B স্বাধীন হয়, তাহলে P(B|A) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P(A) = 2/5
P(B) = 3/8
A ও B স্বাধীন ঘটনা।

P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
= (2/5) × (3/8)
= 3/20

P(B|A) = P(A ∩ B)/P(A)
= (3/20)/(2/5)
= (3/20) × (5/2)
= 3/8
∴ P(B|A) এর মান = 3/8

Shortcut:
যেহেতু A ও B স্বাধীন ঘটনা, তাই একটি ঘটনার সম্ভাবনা অন্যটি ঘটার উপর নির্ভরশীল নয়।
তাই, A ঘটনা ঘটার সাপেক্ষে B ঘটনার সম্ভাবনা P(B|A) হলো শুধুমাত্র P(B) এর সমান।
∴ P(B|A) = P(B) = 3/8