৪০ দিনে ৪৭তম বিসিএস প্রস্তুতি - Archived

• ভোটার-তালিকায় নামভুক্তির যোগ্যতা:
১২২। (১) প্রাপ্তবয়স্কের ভোটাধিকার-ভিত্তিতে সংসদের নির্বাচন অনুষ্ঠিত হইবে।
(২) কোন ব্যক্তি সংসদের নির্বাচনের জন্য নির্ধারিত কোন নির্বাচনী এলাকায় ভোটার-তালিকাভু্ক্ত হইবার অধিকারী হইবেন, যদি
(ক) তিনি বাংলাদেশের নাগরিক হন;
(খ) তাঁহার বয়স আঠার বৎসরের কম না হয়;
(গ) কোন যোগ্য আদালত কর্তৃক তাঁহার সম্পর্কে অপ্রকৃতিস্থ বলিয়া ঘোষণা বহাল না থাকিয়া থাকে;
ঘ) তিনি ঐ নির্বাচনী এলাকার অধিবাসী বা আইনের দ্বারা ঐ নির্বাচনী এলাকার অধিবাসী বিবেচিত হন; এবং
(ঙ) তিনি ১৯৭২ সালের বাংলাদেশ যোগসাজশকারী (বিশেষ ট্রাইব্যুনাল) আদেশের অধীন কোন অপরাধের জন্য দণ্ডিত না হইয়া থাকেন।

• অন্যদিকে:
- ১৪৪ নং অনুচ্ছেদ: সম্পত্তি ও কারবার প্রভৃতি-প্রসঙ্গে নির্বাহী কর্তৃত্ব। 
- ১১৮ নং অনুচ্ছেদ: নির্বাচন কমিশন প্রতিষ্ঠা। 
- ১১৭ নং অনুচ্ছেদ: প্রশাসনিক ট্রাইব্যুনালসমূহ। 

সূত্র: বাংলাদেশ সংবিধান।

• জাতীয় সঙ্গীত, পতাকা ও প্রতীক:

অনুচ্ছেদ ৪:
(১) প্রজাতন্ত্রের জাতীয় সঙ্গীত হচ্ছে "আমার সোনার বাংলা"-র প্রথম দশ চরণ।
(২) প্রজাতন্ত্রের জাতীয় পতাকা হচ্ছে সবুজ ক্ষেত্রের উপরে রক্তবর্ণের একটি গোলাকার চিহ্ন।
(৩) প্রজাতন্ত্রের জাতীয় প্রতীক হচ্ছে উভয় পাশে ধান্যশীর্ষ বিশিষ্ট, জলাভিষিক্ত জাতীয় ফুল শাপলা, যার উপরে রয়েছে তিনটি পারস্পরিক সংযুক্ত পাটের পাতা এবং দুইপাশে দুটি করে তারকা।
(৪) উপরোক্ত বিষয়াবলী সাপেক্ষে, জাতীয় সঙ্গীত, পতাকা ও প্রতীক সম্পর্কে বিধানাবলী আইন দ্বারা নির্ধারিত হবে।

সূত্র: গণপ্রজাতন্ত্রী বাংলাদেশের সংবিধান।

প্রশ্ন: বিন্দুর সঞ্চারপথকে কী বলে?

সমাধান: 
রেখা (line):
- বিন্দুর চলার পথকে রেখা বলে।
- অথবা বিন্দুর সঞ্চারপথকে রেখা বলে।
- দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদ স্থলে ১টি রেখা উৎপন্ন হয়।
- রেখার দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও বেধ নাই।
- রেখার প্রান্তবিন্দু নেই।

- রেখা প্রধানত দুই প্রকার। যথা-
ক) সরলরেখা ও
খ) বক্ররেখা।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি প্রবৃদ্ধ কোণ? 

সমাধান:
প্রবৃদ্ধ কোণ (Reflex angle ):
দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলা হয়।

∴ 195° হলো প্রবৃদ্ধ কোণ। 

প্রশ্ন: O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে x কোণের মান কত?
 
সমাধান:
আমরা জানি,
একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।

চাপ BAC এর উপর দণ্ডায়মান ∠BDC বৃত্তস্থ কোণ এবং প্রবৃদ্ধ ∠BOC কেন্দ্রস্থ কোণ।
∴ প্রবৃদ্ধ ∠BOC = 2∠BDC
⇒ ∠BDC = (1/2) প্রবৃদ্ধ ∠BOC

প্রবৃদ্ধ ∠BOC = 360° - ∠BOC
= 360° - 126°
= 234°

∠BDC = x = (1/2) × 234° = 117°

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকার পরিধি ৫ মিটার। ১.৫ কি.মি. পথ যেতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?

সমাধান: 
গাড়ীর চাকার পরিধি = ৫ মিটার

 ১.৫ কি.মি. = (১০০০ ×১.৫) মিটার = ১৫০০ মিটার 

৫ মিটার যেতে গাড়ির চাকা ঘুরে ১ বার 
১ মিটার যেতে গাড়ির চাকা ঘুরে ১/৫ বার 
১৫০০ মিটার যেতে গাড়ির চাকা ঘুরে ১৫০০/৫ বার 
= ৩০০ বার

প্রশ্ন: A(3, 5), B(- 2, 5) এবং C(5, - 4) বিন্দুত্রয় ABC ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষ বিন্দু হলে, ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্র নির্ণয় করুন।

সমাধান:
ধরি,
ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্র (x, y)
সুতরাং x = {3 + (-2) + 5}/3 
= 6/3
= 2

y = {5 + 5+ (- 4)}/3
= 2

∴ নির্ণেয় ভরকেন্দ্র (2, 2)

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার পুকুরের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে ৩০ মিটার এবং ২০ মিটার। পুকুরের চারপাশে ২ মিটার চওড়া পাড় আছে। পাড়সহ পুকুরের পরিসীমা কত?

সমাধান:
পাড়সহ পুকুরের দৈর্ঘ্য = ৩০ + (২ × ২) = ৩৪ মিটার
পাড়সহ পুকুরের প্রস্থ = ২০ + (২ × ২) = ২৪ মিটার
∴ পাড়সহ পুকুরের পরিসীমা = ২ × (৩৪ + ২৪) = ১১৬ মিটার

প্রশ্ন: একটি কোণ তার সম্পূরক কোণের দুই তৃতীয়াংশ। কোণটির সম্পূরক কোণ কত?

সমাধান:
মনে করি,
কোণটি = x
∴ কোণটির সম্পূরক কোণ = 180 - x

প্রশ্নমতে,
x = (2/3) × (180 - x) 
⇒ 3x = 360 - 2x
⇒ 5x = 360
⇒ x = 72

∴ কোণটির সম্পূরক কোণ = 180 - 72 = 108°

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়াম এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি. , ২০ সে.মি. এবং এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব ১০ সে.মি. হলে এর ক্ষেত্রফল-

সমাধান:
একটি ট্রাপিজিয়াম এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি. , ২০ সে.মি. এবং এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব ১০ সে.মি. 
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল) × উচ্চতা
= (১/২) × (১২ + ২০) × ১০
= (১/২) × ৩২ × ১০
= ১৬০ বর্গসে.মি.

প্রশ্ন: দুইটি প্রান্ত বিন্দু আছে কোনটির?

সমাধান:
রেখা (Line):
বিন্দুর চলার পথকে রেখা বলে।
একটি রেখার নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য ও প্রান্তবিন্দু নেই।

রেখাংশ (Segment of line):
রেখাংশের নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য আছে।
রেখাংশের দুইটি প্রান্ত বিন্দু থাকে।

রশ্মি (Ray):
একটি রশ্মির নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য নেই।
একটি রশ্মির মাত্র একটি প্রান্ত বিন্দু আছে।

প্রশ্ন: চিত্রে ∠PQR = 35°, ∠LRN = 90° এবং PQ || MR, PQ = PR হলে, ∠NRP এর মান নীচের কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত চিত্রে PQ = PR সুতরাং PQR সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
∠PQR = ∠PRQ = 35°
∠LRN = 90° হলে ∠NRQ = 90°
সুতরাং ∠NRP = ∠NRQ - ∠PRQ = 90° - 35° = 55°

প্রশ্ন: একটি বৃত্ত (x - 3)² + (y + 5)² - 81 = 0 হলে, বৃত্তটির কেন্দ্র কোনটি?

সমাধান: 
(x - 3)² + (y + 5)² - 81 = 0
⇒ (x - 3)² + (y + 5)² = 9²

আমরা জানি,
(x - h)² + (y - k)² = r² বৃত্তের কেন্দ্র (h, k) এবং r তার ব্যাসার্ধ।

∴ প্রদত্ত বৃত্তের কেন্দ্র হবে (3, - 5)

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সরল রেখার সমীকরণ নির্দেশ করে না?

সমাধান:
সরলরেখার সমীকরণ (মূল বিন্দুগামী) ⇒ y = mx
দুই অক্ষকে ছেদ করে এমন সরল রেখার সমীকরণ ⇒ x/a + y/b = 1


অপশন গুলোর মধ্যে (গ) অপশনটি সরল রেখা নয়।
কারণ, x = 1/y এই সমীকরণটির ঘাত হচ্ছে ২।
তাই উক্ত সমীকরণটি কোনো সরলরেখার সমীকরণ নয়।

প্রশ্ন: x এর সম্পূরক কোণের মান তার পূরক কোণের তিনগুণ হলে x এর মান কত?

সমাধান: 
x এর সম্পূরক কোণ = 180° - x
x এর পুরক কোণ = 90° - x

প্রশ্নমতে,
180° - x = 3(90° - x)
⇒ 180° - x = 270° - 3x
⇒ 2x = 90°
∴ x = 45°

প্রশ্ন: বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা হলো বৃত্তের-

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
অর্থাৎ ব্যাস = ২ × ব্যাসার্ধ

বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
- বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা এর উপর লম্ব।
- বৃত্তের যেকোনো জ্যা এর লম্ব-দ্বিখণ্ডক কেন্দ্রগামী।
- যেকোনো সরলরেখা একটি বৃত্তকে দুইয়ের অধিক বিন্দুতে ছেদ করতে পারে না।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন অন্য কোনো জ্যা এর ওপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
- দুইটি পরস্পরছেদী বৃত্তের কেন্দ্রদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশ তাদের সাধারণ জ্যা-কে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
- বৃত্তের সকল সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা পরস্পর সমান।
- কোনো বৃত্তের দুইটি ভিন্ন বিন্দুর সংযোজক রেখাংশকে বৃত্তটির একটি জ্যা বলা হয়।
- বৃত্তের কেন্দ্রগামী যেকোনো জ্যা হলো ব্যাস

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৫ মিটার ও ৮ মিটার হলে, রম্বসটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্নদ্বয়ের গুণফল 
= (১/২)  × ৮ × ৫
= ২০ বর্গমিটার 

প্রশ্ন: নিচের তথ্যের আলোকে কোনটি সঠিক?
(i) যার কেবল দৈর্ঘ্য আছে, প্রস্থ ও উচ্চতা নাই, তাই তল
(ii) যার কেবল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, উচ্চতা নাই, তাই তল
(iii) তলের প্রান্ত হলো রেখা।

সমাধান:
ইউক্লিড প্রদত্ত বর্ণনা নিম্নরূপ :
১. যার কোনো অংশ নাই, তাই বিন্দু।
২. যার কেবল দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও উচ্চতা নাই, তাই রেখা ।
৩. রেখার প্রান্ত বিন্দু নাই ।
৪. যে রেখার উপরিস্থিত বিন্দুগুলো একই বরাবরে থাকে, তাই সরলরেখা।
৫. যার কেবল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, কিন্তু উচ্চতা নাই, তাই তল ।
৬. তলের প্রান্ত হলো রেখা।
৭. যে তলের সরলরেখাগুলো তার উপর সমভাবে থাকে, তাই সমতল ।

প্রশ্ন: ৩৭° কোণের বিপ্রতীপ কোণ কত?

সমাধান:
বিপ্রতীপ কোণ :
যদি দুইটি কোণের একটির বাহুদ্বয় অপরটির বাহুদ্বয়ের বিপরীত রশ্মি হয় এবং কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু একই হয়, তবে কোণ দুইটিকে বিপ্রতীপ কোণ বলে।

আমরা জানি,
বিপ্রতীপ কোণ পরস্পর সমান।
অর্থাৎ 
৩৭°কোণের বিপ্রতীপ কোণ = ৩৭°

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল একটি বর্গের ক্ষেত্রফলের সমান। বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৫০মিটার। ত্রিভুজটির ভূমি ১০০ মিটার হলে, ত্রিভুজটির উচ্চতা কত? 

সমাধান: 
বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার  
বর্গের ক্ষেত্রফল = (৫০ × ৫০) বর্গ মিটার 
= ২৫০০ বর্গ মিটার 

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ২৫০০ বর্গ মিটার 
ত্রিভুজটির ভূমি ১০০ মিটার  

আমরা জানি,
(১/২) × ভূমি × উচ্চতা = ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 
বা, (১/২) × ১০০ × উচ্চতা = ২৫০০
বা, উচ্চতা = (২৫০০ × ২)/১০০ 
∴ উচ্চতা = ৫০ মিটার।

প্রশ্ন: PQRS একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। ∠QPS ও ∠QRS এর সমষ্টি কত হবে?


সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ। 

PQRS বৃত্তস্থ চতুর্ভুজে  ∠QPS ও ∠QRS পরস্পর বিপরীত কোণ।  
∴ ∠QPS ও ∠QRS এর সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০°

প্রশ্ন: y = - 5x + 9 সরলরেখাটির লম্বরেখার ঢাল কত?

সমাধান:
y = - 5x + 9
⇒ y + 5x = 9 .....(i)

সুতরাং (i) নং রেখাটির লম্বরেখার সমীকরণ 5y - x = k
⇒ y = 1/5x + k

∴ লম্ব রেখাটির ঢাল = 1/5
 

প্রশ্ন: 60° কে রেডিয়ানে প্রকাশ করলে হবে- 

সমাধান: 
রেডিয়ান:
কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান চাপ ঐ বৃত্তের কেন্দ্রে যে কোণ উৎপন্ন করে সেই কোণকে এক রেডিয়ান বলে।

আমরা জানি 
90° = π/2 রেডিয়ান 
1° = (π/2) × 90 রেডিয়ান 

∴ 60° = 60π/(2 × 90) রেডিয়ান  = π/3 রেডিয়ান

প্রশ্ন: ১২ মিটার ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তের একটি বৃত্তকলা কেন্দ্রে ৬০° কোণ উৎপন্ন করে, বৃত্তকলাটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাস ১২ মিটার
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = ৬ মিটার
বৃত্তকলা দ্বারা বৃত্তের কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ θ = ৬০°

আমরা জানি,
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = 

প্রদত্ত বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল =
 

প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজ আঁকার জন্য নিচের কোন উপাত্তগুলো প্রয়োজন?

সমাধান: 
চতুর্ভুজের চারটি বাহু দেওয়া থাকলেই একটি নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকা যায় না। নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকার জন্য পাঁচটি স্বতন্ত্র উপাত্ত প্রয়োজন হয়। নিম্নে বর্ণিত পাঁচটি উপাত্ত জানা থাকলে, নির্দিষ্ট চতুৰ্ভুজ আঁকা যায়।
১. চারটি বাহু ও একটি কোণ
২. চারটি বাহু ও একটি কর্ণ
৩. তিনটি বাহু ও দুইটি কর্ণ
৪. তিনটি বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত দুইটি কোণ
৫. দুইটি বাহু ও তিনটি কোণ

উৎস: গণিত, নবম-দশম শ্রেণি

প্রশ্ন: A(2, 3) এবং B(7, 8) ^দুটি বিন্দু হলে তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

সমাধান:
 P ও Q দুটি বিন্দু এবং উহাদের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (x₁ ,y₁) এবং (x₂, y₂) হলে দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব হল √{(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²} একক।

∴ A(2, 3) এবং B(7, 8) দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব
√{(7 - 2)² + (8 - 3)²}
= √{5² + 5²}
= √(25 + 25)
= √(25 × 2)
= 5√2 একক 

প্রশ্ন: যদি সমতলে দুইটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু হয় ও তাদের একটি সাধারণ রশ্মি থাকে এবং কোণদ্বয় সাধারণ রশ্মির বিপরীত পার্শ্বে অবস্থান করে, তবে ঐ কোণদ্বয়কে বলে-
 
সমাধান:
সন্নিহিত কোণ (Adjacent Angle): 
- যদি সমতলে দুইটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু হয় ও তাদের একটি সাধারণ রশ্মি থাকে এবং কোণদ্বয় সাধারণ রশ্মির বিপরীত পার্শ্বে অবস্থান করে, তবে ঐ কোণদ্বয়কে সন্নিহিত কোণ বলে। এরূপ দুইটি   কোণের একটিকে অপরটির সন্নিহিত কোণও বলা হয় ।
- কোনো রশ্মি তার প্রান্তবিন্দুতে একটি সরলরেখার সাথে মিলিত হলে, যে দুইটি কোণ উৎপন্ন হয় তারাও সন্নিহিত কোণ।

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুুজের ক্ষেত্রফল ১৬√৩ বর্গ সে.মি.। ত্রিভুজটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪)(বাহু)^২
বা, বাহু^২ = (৪ × ১৬√৩)/√৩ 
বা, বাহু = √৬৪
∴ বাহু = ৮ সে.মি.
 
সুতরাং, ত্রিভুজটির পরিসীমা = ৮ + ৮ + ৮ = ২৪ সে.মি.