শিক্ষক নিবন্ধন (NTRCA) প্রস্তুতি [১৯তম]

প্রশ্ন: নিচের কোন তথ্যটি সঠিক?

সমাধান:
রেখা: বিন্দুর চলার পথকে রেখা বলে।
বৈশিষ্ট্য:
- রেখার দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও উচ্চতা নেই।
- রেখা একমাত্রিক এবং উভয়দিকে সীমাহীন।
- রেখার কোন প্রান্তবিন্দু নেই।
প্রকারভেদ: রেখা দুই প্রকার। যথা: সরলরেখা এবং বক্ররেখা।

প্রশ্ন: বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের -

সমাধান: 
- বৃত্তের দুইটি জ্যা পরস্পরকে বৃত্তের উপর কোনো বিন্দুতে ছেদ করলে এদের মধ্যবর্তী কোণকে বৃত্তস্থ কোণ বলা হয়। 
- প্রত্যেক বৃত্তস্থ কোণ বৃত্তে একটি চাপ খণ্ডিত করে।
- একটি কোণের শীর্ষবিন্দু কোনো বৃত্তের কেন্দ্রে অবস্থিত হলে, কোণটিকে ঐ বৃত্তের একটি কেন্দ্রস্থ কোণ বলা হয়।
- প্রত্যেক কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তে একটি উপচাপ খণ্ডিত করে।  
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।

প্রশ্ন: দুইটি সমান্তরাল রেখা পরস্পরকে কয়টি বিন্দুতে ছেদ করে?

সমাধান: 

 
সমান্তরাল রেখা পরস্পর থেকে একটি নির্দিষ্ট দূরত্বে অবস্থান করে। তাই তারা পরস্পর পরস্পরকে কখনো ছেদ করে না।

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের উপচাপে অন্তর্লিখিত কোণ-

সমাধান: 
- কোনো বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ সূক্ষ্মকোণ।
- কোনো বৃত্তের উপচাপে অন্তর্লিখিত কোণ স্থূলকোণ।
- বৃত্তের দুইটি ভিন্ন বিন্দুর সংযোজক রেখাংশ বৃত্তটির একটি জ্যা। 
- বৃত্তের কোন জ্যা যদি কেন্দ্র দিয়ে যায় তবে জ্যাটিকে বৃত্তের ব্যাস বলা হয়। 
- বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী যে বক্ররেখা আঁকা হয় তাকে বৃত্তচাপ বলে।
- পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্যকে বলে বৃত্তের পরিধি।

প্রশ্ন: রেখাংশের কতটি প্রান্তবিন্দু থাকে?

সমাধান:
- একটি রেখাতে দুইটি বিন্দু চিহ্নিত করে যে অংশ পাওয়া যায় তাকে রেখাংশ বলে।
- রেখাংশ উভয়দিকে সসীম বা সীমাবদ্ধ।
- রেখাংশের ২টি প্রান্তবিন্দু থাকে।

প্রশ্ন: এক সরলকোণের মান কত?

সমাধান: 

দুইটি পরস্পর বিপরীত রশ্মি এদের সাধারণ প্রান্তবিন্দুতে যে কোণ উৎপন্ন করে, তাকে সরলকোণ বলে। চিত্রে ∠BAC হচ্ছে এক সরলকোণ। সরলকোণের পরিমাপ দুই সমকোণ বা ১৮০°।

প্রশ্ন:

AB || CD হলে, ∠BCA = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
∠BAC = 40^° এবং ∠ABC = 90°

এখন,
∠BCA = 180° - ∠BAC - ∠ABC
= 180° - 40° - 90°
= 180° - 130°
= 50°

প্রশ্ন: দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে বলে –

সমাধান: 

দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলা হয়। চিত্রে চিহ্নিত ∠AOC প্রবৃদ্ধ কোণ।

প্রশ্ন: কোন বৃত্তের ব্যাসার্ধ 4 গুণ বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

ব্যাসার্ধ 4 গুণ বৃদ্ধি পেলে বৃত্তের নতুন ব্যাসার্ধ = (4r + r) = 5r

∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে = π(5r)² =25πr²
ক্ষেত্রফল বেড়ে যাবে = 25πr² - πr² = 24πr²

∴ 24 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

প্রশ্ন: একটি কোণ তার সম্পূরক কোণের ৭ গুণ হলে, কোণটির মান কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি কোণ = ক
তাহলে, সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ক

শর্তমতে,
ক = ৭(১৮০° - ক)
বা, ক = ১২৬০° - ৭ক
বা, ক + ৭ক = ১২৬০°
বা, ৮ক = ১২৬০°
বা, ক = ১৫৭.৫°

প্রশ্ন: বৃত্তের দুইটি ভিন্ন বিন্দুর সংযোজক রেখাংশকে কী বলে?

সমাধান: 
- বৃত্তের দুইটি ভিন্ন বিন্দুর সংযোজক রেখাংশ বৃত্তটির একটি জ্যা। 
- বৃত্তের কোন জ্যা যদি কেন্দ্র দিয়ে যায় তবে জ্যাটিকে বৃত্তের ব্যাস বলা হয়। 
- বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী যে বক্ররেখা আঁকা হয় তাকে বৃত্তচাপ বলে।
- পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্যকে বলে বৃত্তের পরিধি।

প্রশ্ন: 

চিত্রে, ∠BEF + ∠EFD = ?

সমাধান:
চিত্রে, AB || CD এবং PQ ছেদক এদের যথাক্রমে E ও F বিন্দুুতে ছেদ করেছে।
সুতরাং,
ক) ∠PEB = অনুরূপ ∠EFD [সংজ্ঞানুসারে]
খ) ∠AEF = একান্তর ∠EFD
গ) ∠BEF + ∠EFD = দুই সমকোণ বা 180°

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য 12^° হলে, ছোট কোণের মান কত?

সমাধান:
সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি = 90°
সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য = 12^°

সুতরাং ছোট কোণ = (90^° - 12^°)/2 = 39^°

প্রশ্ন: ৫৬° এর সম্পূরক ও পূরক কোণের পার্থক্য কত?

সমাধান: 
৫৬° এর সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ৫৬° = ১২৪°
৫৬° এর পূরক কোণ = ৯০° - ৫৬° = ৩৪°

∴ কোণের পার্থক্য = ১২৪° - ৩৪° = ৯০°

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজ ও একটি বৃত্ত ন্যূনতম কতটি বিন্দুতে ছেদ করে?

সমাধান: 

- একটি ত্রিভুজ ও একটি বৃত্ত ন্যূনতম দুইটি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে।
কারণ, ত্রিভুজের বাহু অবশ্যই বৃত্তের দুটি বিন্দুতে ছেদ করলে উহা ছেদক হবে।

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ না করে পাশাপাশি অবস্থান করলে কয়টি সাধারণ স্পর্শক অঙ্কন করা যায়?

সমাধান: 

দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ না করে পাশাপাশি অবস্থান করলে ৪টি সাধারণ স্পর্শক অঙ্কন করা যাবে।
চিত্রে AB, CD, EF ও GH চারটি স্পর্শক।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 7 গজ 2 ফুট 9 ইঞ্চি। বৃত্তটির পরিধি কত?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 7 গজ 2 ফুট 9 ইঞ্চি
= (7 × 3 × 12) ইঞ্চি + (2 × 12) ইঞ্চি + 9 ইঞ্চি
= 252 ইঞ্চি + 24 ইঞ্চি + 9 ইঞ্চি
= (252 + 24 + 9) ইঞ্চি
= 285 ইঞ্চি

∴ বৃত্তের পরিধি = 2πr
= 2π × 285
= 570π ইঞ্চি

প্রশ্ন: ৭২° কোণের বিপ্রতীপ কোণের মান কত?

সমাধান: 
বিপ্রতীপ কোণ: যদি দুইটি কোণের একটির বাহুদ্বয় অপরটির বিপরীত রশ্মি হয় এবং কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু একই হয়, তবে কোণ দুইটিকে বিপ্রতীপ কোণ বলে।

আমরা জানি,
বিপ্রতীপ কোণগুলো পরস্পর সমান।
∴ ৭২° কোণের বিপ্রতীপ কোণ = ৭২°

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত ৪ : ৬ হলে, পরিধির অনুপাত কত?

সমাধান:
মনে করি,
ব্যাসার্ধ যথাক্রমে ৪ক এবং ৬ক

∴ পরিধির অনুপাত = ২π(৪ক) : ২π(৬ক)
= ৪(২πক) : ৬(২πক)
= ৪ : ৬
= ২ : ৩ 

প্রশ্ন: একটি সরলরেখার সাথে অপর একটি রেখাংশ মিলিত হলে যে দুইটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয়, তাদের সমষ্টি হবে-

সমাধান: 
একটি সরলরেখার সাথে অপর একটি রেখাংশ মিলিত হলে যে দুইটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয়, তাদের সমষ্টি ১৮০°

প্রশ্ন: যদি একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 4 সে.মি. হয়, তবে বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
দেওয়া আছে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 4 সে.মি.

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
= π × 4²
= 16π sq. cm.

প্রশ্ন: যদি একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 1 সে.মি. বাড়ানো হয়, তবে এটির ক্ষেত্রফল 22 বর্গ সেমি. বাড়ে। বৃত্তটির প্রকৃত ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান: 
ধরি, বৃত্তটির প্রকৃত ব্যাসার্ধ = r সে.মি.

শর্তমতে,
π[(r + 1)² - r²] = 22
⇒ r² + 2r + 1 - r² = 22/ π
⇒ (2r + 1) = 22 × (7/22)
⇒ 2r + 1 = 7
⇒ 2r = 6
∴ r = 3 cm.

প্রশ্ন: (5,6) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত y-অক্ষকে স্পর্শ করলে, বৃত্তটির ব্যাস কত একক?

সমাধান: 
কেন্দ্র (5,6) বিশিষ্ট একটি বৃত্ত যদি y-অক্ষকে স্পর্শ করে (অর্থাৎ x = 0), তাহলে কেন্দ্র থেকে y-অক্ষ পর্যন্ত অনুভূমিক দূরত্বই বৃত্তের ব্যাসার্ধ।

কেন্দ্রের X-সমন্বয় = 5 = দূরত্ব = |5| = 5 একক

তাহলে ব্যাসার্ধ = 5 একক
⇒ ব্যাস = 2 × 5 একক
⇒ ব্যাস = 10 একক

∴ বৃত্তটির ব্যাস = 10 একক

প্রশ্ন: (1, 13) এবং (- 3, 6) বিন্দুগামী রেখার ঢাল কত?

সমাধান: 
(1, 13) এবং (- 3, 6) এ
x₁ = 1, x₂ = - 3, y₁ = 13, y₂ = 6

∴ রেখার ঢাল = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)
= (6 - 13)/(- 3 - 1)
= (- 7)/ (- 4)
= 7/4