৯ম - ১৩তম গ্রেড পরীক্ষার প্রস্তুতি

প্রশ্ন: (x/a) + a = (x/b) + b হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
⇒ (x/a) + a = (x/b) + b
⇒ (x/a) - (x/b) = b - a
⇒ (bx - ax)/ab = b - a
⇒ x(b - a) = ab(b - a)
⇒ x = ab(b - a)/(b - a)
∴ x = ab

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারা যেখানে প্রথম পদ ৫ এবং পরবর্তী প্রতিটি পদ আগের পদ থেকে ৩ বেশি, ধারার ৫০তম পদটি কত?

সমাধান:
১ম পদ, a = ৫
সাধারণ অন্তর, d = ৩

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d

∴ ৫০ তম পদ = ৫ + (৫০ - ১) × ৩
= ৫ + (৪৯ × ৩)
= ৫ + ১৪৭
= ১৫২

∴ ৫০ তম পদ হলো ১৫২

প্রশ্ন: 1 হতে 100 পর্যন্ত সংখ্যাসমূহের যোগফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
1 থেকে n পর্যন্ত সংখ্যার যোগফল = n(n + 1)/2

∴ 1 থেকে 100 পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল ={100 × (100 + 1)}/2
= (100 × 101)/2 = 101 × 50
= 5050

প্রশ্ন: (x/2) + 4 = (x/3) + 6 সমীকরণে x এর মান কত?

সমাধান:
(x/2) + 4 = (x/3) + 6
⇒ (x/2) - (x/3) = 6 - 4
⇒ (3x - 2x)/6 = 2
⇒ x/6 = 2
∴ x = 12

প্রশ্ন: ১ + ৩ + ৫ + ........... + ২৫ = কত?

সমাধান:
এটি একটি বিজোড় সংখ্যার সমান্তর ধারা, যেখানে
প্রথম পদ, a = ১
সাধারণ অন্তর, d = ৩ - ১ = ২
শেষ পদ, l = ২৫

আমরা জানি,
n-তমপদ = a + (n - 1)d
∴ ১ + (n - ১) × ২ = ২৫
⇒ ১ + ২n - ২ = ২৫
⇒ ২n = ২৬
⇒ n = ২৬/২
∴ n = ১৩

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার সমষ্টি, S_n ​= (n/২​) × (a + l)
১৩ তম পদের সমষ্টি, S_n ​= (১৩/২​) × (১ + ২৫)
= ১৩ × ১৩ = ১৬৯

প্রশ্ন: কোনো সংখ্যার ৪০% এর সাথে ৬০ যোগ করলে যদি ঐ সংখ্যাটিই হয়, তাহলে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
⇒ ক এর ৪০% + ৬০ = ক
⇒ ক × (৪০/১০০) + ৬০ = ক
⇒ (২ক/৫) + ৬০ = ক
⇒ ক - (২ক/৫) = ৬০
⇒ (৫ক - ২ক)/৫ = ৬০
⇒ ৩ক = ৩০০
⇒ ক = ৩০০/৩
∴ ক = ১০০

∴ সংখ্যাটি হলো ১০০।

প্রশ্ন: রহমান তার বেতন থেকে প্রথম মাসে ১৫০০ টাকা সঞ্চয় করেন এবং পরবর্তী প্রতিমাসে এর পূর্ববর্তী মাসের তুলনায় ১৫০ টাকা বেশি সঞ্চয় করেন। তিনি ১০ তম মাসে কত টাকা সঞ্চয় করবেন?

সমাধান:
এখানে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = ১৫০০
সাধারণ অন্তর, d = ১৫০

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ ১০ তম পদ = ১৫০০ + (১০ - ১)১৫০
= ১৫০০ + (৯ × ১৫০)
= ১৫০০ + ১৩৫০
= ২৮৫০

∴ রহমান ১০ তম মাসে সঞ্চয় করেন ২৮৫০ টাকা।

প্রশ্ন: 2 + 6 + 18+ ................+ 1458 ধারাটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = 6/2 = 3 (r > 1)

প্রশ্নমতে,
ar^{n - 1} = 1458
⇒ 2 × 3^{n - 1} = 1458
⇒ 3^{n - 1} = 1458/2
⇒ 3^{n - 1} = 729
⇒ 3^{n - 1} = 3⁶
⇒ n - 1 = 6
∴ n = 7

∴ ধারাটির সমষ্টি, S_n= a.(rⁿ - 1)/(r - 1)
= {2 ×(3⁷ - 1)}/(3 - 1)}
= 2 × (2187 - 1)/2
= 2186

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার যোগফল 20 এবং গুণফল 96 হলে, সংখ্যাগুলোর বর্গের যোগফল কত?

সমাধান:
ধরি সংখ্যা দুইটি x এবং y

শর্তমতে,
x + y = 20 ........ (১)
এবং xy = 96 ........... (২)

আমরা জানি,
⇒ (x + y)² = x² + y² + 2xy
⇒ (20)² = x² + y² + 2 × 96
⇒ x² + y² = 400 - 192
∴ x² + y² = 208

∴ সংখ্যাগুলোর বর্গের যোগফল = 208

প্রশ্ন: ৫ + ৮ + ১১ + ১৪ + .......... ধারাটির কোন পদ ৩০৫?

সমাধান:
প্রথম পদ, a = ৫
সাধারণ অন্তর, d = ৮ - ৫ = ৩

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
এখন,
⇒ a + (n - 1)d = ৩০৫
⇒ ৫ + (n - ১)৩ = ৩০৫
⇒ (n - ১)৩ = ৩০৫ - ৫
⇒ (n - ১)৩ = ৩০০
⇒ n - ১ = ৩০০/৩
⇒ n - ১ = ১০০
⇒ n = ১০০ + ১
∴ n = ১০১

∴ ১০১ তম​ পদটি ৩০৫।

প্রশ্ন: 2/√3, 2, 2√3, ...... ধারাটির কোন পদ 54√3 হবে?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 2/√3
সাধারণ অনুপাত, r = 2/(2/√3) = √3

ধরি, n তম পদ = 54√3

প্রশ্নমতে,
ar^{n - 1} = 54√3
⇒ (2/√3) × (√3)^{n - 1} = 54√3
⇒ (√3)^{n - 1} = (54√3 × √3)/2
⇒ (√3)^{n - 1} = 27 × 3
⇒ (√3)^{n - 1} = 81
⇒(√3)^{n - 1} = (√3)⁸
⇒ n - 1 = 8
⇒ n = 9

∴  9​-তম পদ হবে 54√3

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার m- তম পদ n এবং n- তম পদ m হলে, (m + n) তম পদ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d

শর্তমতে,
a + (m - 1)d = n ........(1)
এবং
a + (n - 1)d = m ............(2)

এখন,
(1) - (2) করে পাই,
⇒ a + md - d - a - nd + d = n - m
⇒ md - nd = n - m
⇒ d = - (m - n)/(m - n)
∴ d = - 1
(1) নং এ d এর মান বসিয়ে পাই,
⇒ a + (m - 1)(- 1) = n
⇒ a - m + 1 = n
∴ a = m + n - 1

এখন,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴  (m + n) তম পদ = m + n - 1 + (m + n - 1)(- 1)
= m + n - 1 - m - n + 1
= 0 

প্রশ্ন: 2 + x + y + 16 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, xy এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 2

ধরি,
সাধারণ অনুপাত = r

প্রশ্নমতে,
ar^4-1 = 16
⇒ ar³ = 16
⇒ 2 . r³ = 16
⇒ r³ = 8 = 2³
∴ r = 2

∴ ধারাটির দ্বিতীয় পদ,
x = ar^{2 - 1}
= 2 × 2^{2 - 1}
∴ x = 4

∴ ধারাটির তৃতীয় পদ,
y = 2 × 2^{3 - 1}
= 2 × 2²
∴ y = 8

∴ xy = 4 × 8
= 32

প্রশ্ন: নিচের কোনটি গুণোত্তর ধারা?

সমাধান:
ক) 3 + 6 + 9 + ⋯
দ্বিতীয় পদ - প্রথম পদ = 6 - 3 = 3
তৃতীয় পদ − দ্বিতীয় পদ = 9 - 6 = 3
এটি সমান্তর ধারা, কারণ পার্থক্য একই।
∴ এটি গুণোত্তর ধারা নয়।

খ) 2 + 4 + 8 + ⋯
দ্বিতীয় পদ ÷ প্রথম পদ = 4 ÷ 2 = 2
তৃতীয় পদ ÷ দ্বিতীয় পদ = 8 ÷ 4 = 2
প্রতিবার 2 গুণ হচ্ছে
এটি একটি গুণোত্তর ধারা

গ) - 4 - 7 - 10 - .......
দ্বিতীয় পদ - প্রথম পদ = - 7 - (- 4) = - 3
তৃতীয় পদ − দ্বিতীয় পদ = - 10 - (- 7) = - 3
এটি সমান্তর ধারা, কারণ পার্থক্য একই

প্রশ্ন: বর্তমানে মায়ের বয়স মেয়ের বয়সের তিন গুণ। ৬ বছর পর মা ও মেয়ের বয়সের যোগফল হবে ৭২। মেয়ের বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
মেয়ের বর্তমান বয়স = ক বছর
তাহলে মায়ের বয়স = ৩ক বছর

৬ বছর পর,
মেয়ের বয়স = ক + ৬
মায়ের বয়স = ৩ক + ৬

শর্তমতে,
ক + ৬ + ৩ক + ৬ = ৭২
⇒ ৪ক + ১২ = ৭২
⇒ ৪ক = ৭২ - ১২
⇒ ৪ক = ৬০
⇒ ক = ৬০/৪
∴ ক = ১৫

∴ মেয়ের বর্তমান বয়স = ১৫ বছর

প্রশ্ন: log3 + log9 + log27 + ...... ধারাটির প্রথম তেরোটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
log3 + log9 + log27 + ...... প্রথম তেরোটি পদের সমষ্টি
= log3¹ + log3² + log3³ + ...... প্রথম তেরোটি পদের সমষ্টি
= log(3¹)+ log(3²)+ log(3³)+ ......... + log(3¹³)
= 1 log3 + 2 log3 + 3 log3 + ...... + 13 log3
= log3 (1 + 2 + 3 + ...... + 13)
= log3 {13(13 + 1)/2} [স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n + 1)/2]
= log3 (7 × 13)
= log3 × 91
= 91 log3

প্রশ্ন: একটি শ্রেণির প্রতি বেঞ্চে 5 জন করে ছাত্র বসালে 2টি বেঞ্চ খালি থাকে। আবার, প্রতি বেঞ্চে 4 জন করে বসালে 8 জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা কত?

সমাধান:
মনেকরি,
শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা x জন
প্রতিবেঞ্চে 5 জন করে বসালে 2 টি বেঞ্চ খালি থাকে, সেহেতু ঐ শ্রেণির বেঞ্চের সংখ্যা = (x/5) + 2

আবার,
প্রতিবেঞ্চে 4 জন করে বসালে 8 জনকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়, ঐ শ্রেণির বেঞ্চের সংখ্যা = (x - 8)/4
এখন
⇒ (x/5) + 2 = (x - 8)/4
⇒ (x + 10)/5 = (x - 8)/4
⇒ 4x + 40 = 5x - 40
⇒ 5x - 4x = 40 + 40
∴ x = 80

∴ ঐ শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা 80 জন।

প্রশ্ন: x² + tx + 12 = 0 সমীকরণের একটি মূল যদি 3 হয়, তাহলে t এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
একটি মূল = 3
অর্থাৎ, x = 3

এখন,
x² + tx + 12 = 0
⇒ (3)² + 3 × t + 12 = 0
⇒ 9 + 3t + 12 = 0
⇒ 21 + 3t = 0
⇒ 3t = - 21
⇒ t = - 21/3
∴ t = - 7

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 8 তম পদ 31 হলে, তার প্রথম 15 পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
মনেকরি,
ধারাটি প্রথম পদ a
সাধারণ অন্তর d
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 8 তম পদ = a + (8 - 1)d
= a + 7d

প্রশ্নমতে,
a + 7d = 31

আমরা জানি,
n তম পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
∴ প্রথম 15টি পদের সমষ্টি = (15/2){2a + (15 - 1)d}
= (15/2)(2a + 14d)
= (15/2) × 2(a + 7d)
= 15 × (a + 7d)
= 15 × 31
= 465

প্রশ্ন: সমাধান করুন-


সমাধান:

প্রশ্ন: একটি লঞ্চের প্রথম ও দ্বিতীয় শ্রেণির আসন মিলিয়ে মোট ২৫০ টি আসন রয়েছে। প্রথম শ্রেণির একটি টিকেটের মূল্য ২০ টাকা এবং দ্বিতীয় শ্রেণির একটি টিকেটের মূল্য ১২ টাকা। সব গুলো টিকেটের বিক্রয় মূল্য ৪০০০ টাকা হলে প্রথম শ্রেণির আসন সংখ্যা কত?

সমাধান:
প্রথম শ্রেণির আসন সংখ্যা = ক টি
দ্বিতীয় শ্রেণির আসন সংখ্যা = (২৫০ - ক) টি

প্রশ্নমতে,
২০ক + ১২(২৫০ - ক) = ৪০০০
⇒ ২০ক + ৩০০০ - ১২ক = ৪০০০
⇒ ৮ক = ৪০০০ - ৩০০০
⇒ ক = ১০০০/৮
∴ ক = ১২৫

অতএব, প্রথম শ্রেণির আসন সংখ্যা ১২৫ টি।