ইউনিয়ন সমাজকর্মী প্রস্তুতি [Archived]

প্রশ্ন: (7/9)⁴ · (7/9)^{- 8} = (7/9)^{2x - 2} হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
(7/9)⁴ · (7/9)^{- 8} = (7/9)^{2x - 2}
⇒ (7/9)^{4 - 8} = (7/9)^{2x - 2}
⇒ (7/9)^{- 4} = (7/9)^{2x - 2}
⇒ - 4 = 2x - 2
⇒ 2x = - 4 + 2
⇒ 2x = - 2
∴ x = - 1

প্রশ্ন: যদি 2x + y = 16 এবং 3x - y = 9 হয়, তবে x এবং y এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2x + y = 16
⇒ y = 16 - 2x ...............(1)
3x - y = 9 ......... (2)

y এর মান (2) নং এ বসাই,
⇒ 3x - (16 - 2x) = 9
⇒ 3x - 16 + 2x = 9
⇒ 5x = 9 + 16
⇒ 5x = 25
∴ x = 5

x এর মান (1) নং এ বসাই,
y = 16 - (2 × 5)
⇒ y = 16 - 10
∴ y = 6

নির্ণেয় সমাধান: (x, y) = (5, 6)

প্রশ্ন: ∣x - 6∣ > 7 এর সমাধান হলো-

সমাধান:
∣x - 6∣ > 7

এখন,
(x - 6) ধনাত্মক হলে,
x - 6 > 7
⇒ x > 7 + 6
⇒ x > 13

আবার,
(x - 6) ঋণাত্মক হলে,
- (x - 6) > 7
⇒ x - 6 < - 7
⇒ x < - 7 + 6
∴ x < - 1

∴ নির্ণেয় সমাধান: x > 13 অথবা x < - 1.

প্রশ্ন: log_a√243 = 5/2 হয়, তবে a এর মান কত?

সমাধান:
log_a√243 = 5/2
⇒ a^(5/2) = √243
⇒ (a^5/2)² = (√243)²
⇒ a⁵ = 243
⇒ a⁵ = 3⁵
∴ a = 3

প্রশ্ন: x² - 8x + 16 = 0 এর সমাধান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x² - 8x + 16 = 0
ax² + bx + c = 0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে এক্ষেত্রে পাওয়া যায়, a = 1 , b = - 8 এবং c = 16

∴ সমীকরণটির সমাধান, x = {- b ± √(b² - 4ac)}/2a
= [- 8 ± √{(- 8)² - 4 · 1 · 16]/(2 × 1)
= {- 8 ± √(64 - 64)}/2
= (- 8 ± o)/( - 2)

অতএব, x₁ = (- 8 + 0)/( - 2) = 4
এবং, x₂ = (- 8 - 0)/( - 2) = 4

প্রশ্ন: 8 < x < 16 হলে, পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ হবে?

সমাধান:
অসমতাটির উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমার গড় = (8 + 16)/2
= 24/2
= 12

এখন,
8 < x < 16
⇒ 8 - 12 < x - 12 < 16 - 12 [উভয়পক্ষ থেকে 12 বিয়োগ করে]
⇒ - 4 < x - 12 < 4
⇒ |x - 12| < 4

∴ পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ: |x - 12| < 4

প্রশ্ন: যদি (81)^{2x + 3} = (27)^{2x + 4} হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
(81)^{2x + 3} = (27)^{2x + 4}
⇒ (3⁴)^{(2x + 3)} = (3³)^{(2x + 4)}
⇒ 3^{(8x + 12)} = 3^{(6x + 12)}
⇒ 8x + 12 = 6x + 12
⇒ 8x - 6x = 12 - 12
⇒ 2x = 0
⇒ x = 0

প্রশ্ন: (3x + 4y, 11) = (13, 4x - y) হলে, (x, y) এর মান কত?

সমাধান:
3x + 4y = 13 ..........(i)
4x - y = 11 ........(ii)

(ii) নং সমীকরণকে 4 দ্বারা গুণ করে (i) নং এর সাথে যোগ করে পাই,
3x + 4y + 16x - 4y = 13 + 44
19x = 57
x = 3

x এর মান (ii) এ বসিয়ে পাই,
(4 × 3) - y = 11
⇒ 12 - y = 11
⇒ - y = 11 - 12
⇒ - y = - 1
∴ y = 1
সুতরাং, নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (3, 1)

প্রশ্ন: log₁₀9 = a হলে, log₁₀(1/90) এর মান কত?

সমাধান:
log₁₀(1/90)
= log₁₀1 - log₁₀90
= - log₁₀(9 × 10)
= - (log₁₀9 + log₁₀10)
= - (log₁₀9 + 1)
= - (a + 1)

প্রশ্ন: x² + 4x - 5 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কেমন?

সমাধান:
x² + 4x - 5 = 0
এখন,
b² - 4ac = (4)² - 4. 1 . (- 5)
= 16 + 20
= 36
যেহেতু,
b² - 4ac > 0 সেহেতু, মূলদ্বয়ের প্রকৃতি বাস্তব ও অসমান।

• দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
1. যদি b² - 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
2. যদি b² - 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
3. যদি b² - 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
4. যদি b² - 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।

প্রশ্ন: − 10 < 3x + 2 ≤ 11 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
− 10 < 3x + 2 ≤ 11
= - 10 - 2 < 3x + 2 - 2 ≤ 11 - 2
= - 12 < 3x ≤ 9
= (- 12/3) < (3x/3) ≤ (9/3)
= - 4 < x ≤ 3

∴ অসমতাটির সমাধান (- 4, 3]

প্রশ্ন: 49^{n - (1/2)} = 343 হলে, n এর মান কত?

সমাধান:
49^{n - (1/3)} = 343
⇒ (7²)^{n - (1/2)} = 7³
⇒ 7^{2n - 1} = 7³
⇒ 2n - 1 = 3
⇒ 2n = 3 + 1
⇒ 2n = 4
⇒ n = 4/2
∴ n = 2

প্রশ্ন: 5x + 3y - 21 = 0 এবং 2x - y - 4 = 0 হলে, y এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
5x + 3y - 21 = 0 ......... (1)
2x - y - 4 = 0
⇒ y = (2x - 4) .............. (2)

(1) নং এ y এর মান বসিয়ে পাই,
5x + 3(2x - 4) - 21 = 0
⇒ 5x + 6x - 12 - 21 = 0
⇒ 11 - 33 = 0
⇒ 11x = 33
⇒ x = 3

x এর মান (2) নং এ বসাই,
y =(2 × 3) - 4
⇒ y = 6 - 4 
⇒ y = 2

সুতরাং, নির্ণেয় সমাধান: (x, y) = (3, 2)

প্রশ্ন: |x + 5| ≤ 6 হলে, x এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:
|x + 5| ≤ 6
⇒ - 6 ≤ x + 5 ≤ 6
⇒ - 6 - 5 ≤ x + 5 - 5 ≤ 6 - 5
⇒ - 11 ≤ x ≤ 1

∴ x এর সর্বনিম্ন মান = - 11

প্রশ্ন: log_a√6 + log_a√(2/3) = কত?

সমাধান:
log_a√6 + log_a√(2/3)
= log_a6^(1/2) + log_a(2/3)^(1/2)
= (1/2) log_a6 + (1/2) log_a(2/3)
= (1/2) {log_a6 + log_a(2/3)}
= (1/2) log_a{6 × (2/3)}
= (1/2) log_a4
= (1/2) log_a2²
= (1/2) . 2 log_a2
= log_a2

প্রশ্ন: (x/3) + {4/(x + 1)} = 2 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
(x/3) + {4/(x + 1)} = 2
⇒ {x(x + 1) + 12}/3(x + 1) = 2
⇒ x² + x + 12 = 6x + 6
⇒ x² + x + 12 - 6x - 6 = 0
⇒ x² - 5x + 6 = 0
⇒ x² - 2x - 3x + 6 = 0
⇒ x(x - 2) - 3 (x - 2) = 0
⇒ (x - 2) (x - 3) = 0

হয়, x = 2
অথবা, x = 3

∴ x = 2 অথবা, x = 3

প্রশ্ন: 6a - 5 ≥ 3a + 10 হলে, a এর সমাধান কত?

সমাধান:
6a - 5 ≥ 3a + 10
⇒ 6a - 3a - 5 ≥  10
⇒ 3a - 5 ≥  10
⇒ 3a ≥ 10 + 5
⇒ 3a ≥ 15
⇒ a ≥ (15/3)
∴ a ≥ 5

প্রশ্ন: √(4ⁿ) = 256 হলে n এর মান কত?

সমাধান:
√(4ⁿ) = 256
⇒ (4n)^1/2 = 256
⇒ 4^n/2 = 4⁴
⇒ n/2 = 4
∴ n = 8

প্রশ্ন: দুই অঙ্ক বিশিষ্ট কোনো সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি 11। সংখ্যাটি থেকে 45 বিয়োগ করলে অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
একক স্থানীয় অঙ্ক = x
এবং দশক স্থানীয় অঙ্ক = 11 - x
∴ সংখ্যাটি = x + 10(11 - x) = 110 - 9x
স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি হয় = (11 - x) + 10x = 11 + 9x

শর্তমতে,
110 - 9x - 45 = 11 + 9x
⇒ 65 - 9x = 11 + 9x
⇒ 9x + 9x = 65 - 11
⇒ 18x = 54
∴ x = 3
∴ নির্ণেয় সংখ্যা = 110 - 9(3) = 83