১৪তম - ২০তম গ্রেড পরীক্ষার প্রস্তুতি

প্রশ্ন: নিচের কোন জোড়াটি সহমৌলিক নয়? 

সমাধান: 
সহমৌলিক সংখ্যা: দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক শুধু ১ হলে সংখ্যাগুলো পরস্পর সহমৌলিক।

ক) ৩১ ও ৪৩
৩১ এবং ৪৩ উভয়ই মৌলিক সংখ্যা, তাই কোন সাধারণ উৎপাদক নেই।
∴ ৩১ ও ৪৩ সহমৌলিক

খ) ২৭ ও ৩৮
২৭ = ৩ × ৩ × ৩ 
৩৮ = ২ × ১৯
সাধারণ উৎপাদক নেই। 
২৭ ও ৩৮ সহমৌলিক

গ) ১৬ ও ২৮
১৬ = ২ × ২ × ২ × ২ 
২৮ = ২ × ২ × ৭
সাধারণ উৎপাদক = ৪
১৬ ও ২৮ সহমৌলিক নয়। 

ঘ) ২১০, ১৪৩
২১০ = ২ × ৩ × ৫ × ৭
১৪৩ = ১১ × ১৩
কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই
২১০ ও ১৪৩ সহমৌলিক

সুতরাং, ১৬ ও ২৮ জোড়াটি সহমৌলিক নয়। 

প্রশ্ন: ৩ : ৭ এর সমতুল্য অনুপাত কোনটি?

সমাধান: 
সমতুল অনুপাত: কোনো অনুপাতের পূর্ব ও উত্তর রাশিকে শূন্য (০) ব্যতীত কোনো সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে অনুপাতের মানের কোনো পরিবর্তন হয় না। এরূপ অনুপাতকে সমতুল অনুপাত বলা হয়।

এখন, 
৩ : ৭ = ৩/৭ = (৩ × ৩)/(৭ × ৩) = ৯/২১ = ৯ : ২১ 

সুতরাং, ৩ : ৭ এর সমতুল্য অনুপাত ৯ : ২১

অন্য অপশনগুলো ভুল। 

প্রশ্ন: ৩৬ এবং ৩০ এর গ.সা.গু. এবং ল.সা.গু.-এর গুণফল কত?

সমাধান:
গ.সা.গু. (গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক) নির্ণয়,
৩৬ = ২ × ২ × ৩ × ৩ 
৩০ = ২ × ৩ × ৫
সাধারণ উৎপাদক ২ এবং ৩
∴ গ.সা.গু. = ২ × ৩ = ৬

এবং 
ল.সা.গু. (লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক) নির্ণয়, 
৩৬ এবং ৩০ = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫
= ৪ × ৯ × ৫
= ১৮০

∴ গ.সা.গু. × ল.সা.গু.
= ৬ × ১৮০
= ১০৮০

অতএব, ৩৬ এবং ৩০ এর গ.সা.গু. এবং ল.সা.গু.-এর গুণফল = ১০৮০

প্রশ্ন: যদি A : B = ২ : ৩ এবং B : C = ৪ : ৫ হয়, তবে A : B : C কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
A : B = ২ : ৩ = (২ × ৪) : (৩ × ৪) = ৮ : ১২ 
এবং 
B : C = ৪ : ৫ = (৪ × ৩) : (৫ × ৩) = ১২ : ১৫ 

সুতরাং, A : B : C = ৮ : ১২ : ১৫ 

প্রশ্ন: ৩, ০, ৫, ২, ৭ অঙ্কগুলো ব্যবহার করে গঠিত বৃহত্তম সংখ্যা ৪ এবং ৫ দ্বারা বিভাজ্য কী না?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
অঙ্কগুলো ৩, ০, ৫, ২, ৭
∴ বৃহত্তম সংখ্যা = ৭৫৩২০

এখন, ৪ দ্বারা বিভাজ্যতা:
একটি সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য হলে তার শেষ দুটি অঙ্ক ৪ দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।
শেষ দুটি অঙ্ক = ২০
২০ ÷ ৪ = ৫ ; যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য

এবং ৫ দ্বারা বিভাজ্যতা:
একটি সংখ্যা ৫ দ্বারা বিভাজ্য হলে তার শেষ অঙ্ক ০ বা ৫ হতে হবে।
শেষ অঙ্ক = ০ ; যা ৫ দ্বারা বিভাজ্য

সুতরাং, ৭৫৩২০ সংখ্যা ৪ এবং ৫ উভয় দ্বারা বিভাজ্য।

প্রশ্ন: A, B ও C এর মধ্যে ১২৪ টাকা (১/২) : (১/৩) : (১/৫) অনুপাতে ভাগ করলে, A কত টাকা পাবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
A : B : C = ১/২ : ১/৩ : ১/৫
= (৩০/২) : (৩০/৩) : (৩০/৫)  ; [২, ৩, ৫ এর ল.সা.গু = ৩০] 
= ১৫ : ১০ : ৬ 
∴ A : B : C = ১৫ : ১০ : ৬ 

অনুপাতের সমষ্টি = ১৫ + ১০ + ৬ = ৩১ অংশ
এবং মোট = ১২৪ টাকা

∴ A পাবে = (১২৪ এর ১৫/৩১) টাকা 
= ৬০ টাকা 

অতএব, A পাবে ৬০ টাকা। 

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু এবং গ.সা.গু যথাক্রমে ১০৮ এবং ৯। যদি একটি সংখ্যা ৩৬ হয়, তাহলে অন্য সংখ্যাটি কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ল.সা.গু. = ১০৮
গ.সা.গু. = ৯
একটি সংখ্যা = ৩৬
ধর, অপর সংখ্যা = ক 

আমরা জানি, 
দুটি সংখ্যা গুণফল = গ.সা.গু. × ল.সা.গু.
৩৬ × ক = ৯ × ১০৮
⇒ ৩৬ × ক = ৯৭২
⇒ ক = ৯৭২/৩৬
∴ ক = ২৭

সুতরাং, অপর সংখ্যাটি ২৭। 

প্রশ্ন: একটি পরীক্ষায় কৃতকার্য ও অকৃতকার্য শিক্ষার্থীর অনুপাত ৭ : ২। যদি ১৪৪ জন শিক্ষার্থী অকৃতকার্য হয়ে থাকে, তবে মোট পরীক্ষার্থীর সংখ্যা কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
কৃতকার্য : অকৃতকার্য = ৭ : ২
অকৃতকার্য শিক্ষার্থী = ১৪৪ জন

∴ অনুপাতের সমষ্টি = ৭ + ২ = ৯ অংশ

এখন, 
২ অংশের সমান = ১৪৪ জন 
∴ ১ অংশের সমান = ১৪৪/২ = ৭২ জন

∴ মোট পরীক্ষার্থী = ৯ × ৭২ = ৬৪৮ জন

প্রশ্ন: নিচের কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটিকে ৫, ৬ এবং ৭ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ৪, ৫ এবং ৬ অবশিষ্ট থাকে?

সমাধান:
এখানে,
৫ - ৪ = ১ 
৬ - ৫ = ১ 
৭ - ৬ = ১ 
∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ৫, ৬ এবং ৭ - এর ল.সা.গু অপেক্ষা ১ কম।
৫, ৬ এবং ৭ - এর ল.সা.গু = ২১০

∴ নির্ণেয় সংখ্যা = ২১০ - ১ = ২০৯ 

প্রশ্ন: একটি ঝুড়িতে আপেল ও কমলা ৪ : ৩ অনুপাতে রয়েছে। ঝুড়ি থেকে ১৬টি আপেল সরিয়ে নেওয়া হয় এবং ১২টি কমলা যোগ করা হয়। ফলে আপেল ও কমলার অনুপাত ১ : ১ হয়। ঝুড়িতে প্রথমে মোট কতগুলো ফল ছিল? 

সমাধান:
ধরি, আসল অবস্থায়,
আপেলের সংখ্যা = ৪ক টি
কমলার সংখ্যা = ৩ক টি

এখন, ১৬টি আপেল সরানোর পর এবং ১২টি কমলা যোগ করার পর,
আপেল থাকে = (৪ক - ১৬) টি
কমলা থাকে = (৩ক + ১২) টি

এখন নতুন অনুপাত ১ : ১ অর্থাৎ, আপেল = কমলা
সুতরাং,
৪ক - ১৬ = ৩ক + ১২
⇒ ৪ক - ৩ক = ১২ + ১৬
∴ ক = ২৮

অতএব, আসল সংখ্যা,
আপেল = ৪ × ২৮ = ১১২ টি
কমলা = ৩ × ২৮ = ৮৪ টি

∴ ঝুড়িতে প্রথমে মোট ফল ছিল = ১১২ + ৮৪ = ১৯৬ টি।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৬ এবং তাদের ল.সা.গু. ১২০ হলে, সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু. কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি সংখ্যার অনুপাত = ৫ : ৬
এবং ল.সা.গু. = ১২০

ধরি, দুটি সংখ্যা = ৫ক এবং ৬ক ; [যেখানে ক = গ.সা.গু.] 
এখন, দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. = ৫ক × ৬ক = ৩০ক 

সুতরাং, ৩০ক = ১২০
ক = ১২০/৩০
ক = ৪

অতএব, দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. = ৪

প্রশ্ন: যদি u : v = ৪ : ৭ এবং v : w = ৯ : ৭ হয় এবং u = ৭২ হয়, তাহলে w-এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
u : v = ৪ : ৭ এবং v : w = ৯ : ৭

এখন, ১ম অনুপাতকে ৯ দ্বারা এবং ২য় অনুপাতকে ৭ দ্বারা গুণ করে পাই,
u : v = ৯ × ৪ : ৯ x ৭ = ৩৬ : ৬৩ ...........(i)
v : w = ৯ × ৭ : ৭ × ৭ = ৬৩ : ৪৯ ...........(ii)

সুতরাং, u ∶ v ∶ w = ৩৬ : ৬৩ : ৪৯
⇒ u ∶ w = ৩৬ ∶ ৪৯ এবং u = ৭২,
∴ w = ৪৯ × (৭২/৩৬) = ৯৮

∴ w এর মান ৯৮

প্রশ্ন: চারটি ঘণ্টা একত্রে বেজে পরে যথাক্রমে ৬, ১২, ১৫ ও ২০ সেকেন্ড অন্তর বাজাতে লাগলো। কতক্ষণ পরে ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে?

সমাধান: 
৬, ১২, ১৫ ও ২০ এর ল.সা.গু = ৬০ সেকেন্ড

∴ চারটি ঘণ্টা ৬০ সেকেন্ড পরে পুনরায় একত্রে বাজবে।

প্রশ্ন: ১.৫ মিটার এবং ১০ সেমি-এর অনুপাত কত?

সমাধান:
প্রথমে দুটি মানকে একই এককে (সেন্টিমিটারে) রূপান্তর করে পাই,
১.৫ মিটার = ১.৫ × ১০০ = ১৫০ সেমি ; [১ মিটার = ১০০ সেমি] 
দ্বিতীয় মান = ১০ সেমি

এখন অনুপাত = ১৫০ সেমি : ১০ সেমি
= ১৫০ : ১০
= ১৫ : ১ ; [১০ দিয়ে ভাগ করে] 

সুতরাং, ১.৫ মিটার এবং ১০ সেমি-এর অনুপাত হলো ১৫ : ১। 

প্রশ্ন: ছয় অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা এবং পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যার অন্তর কত?

সমাধান: 
ছয় অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০০০ 
পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯৯৯৯ 

অন্তর = ১০০০০০ - ৯৯৯৯৯ = ১

প্রশ্ন: ৪, ৬ এবং ১০ এর চতুর্থ সমানুপাতী কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
১ম : ২য় = ৩য় : ৪র্থ 
⇒ ৪র্থ = (২য় × ৩য়)/১ম
⇒ ৪র্থ = (৬ × ১০)/৪ 
⇒ ৪র্থ = ৬০/৪ 
∴ ৪র্থ = ১৫ 

সুতরাং, চতুর্থ সমানুপাতী ১৫

প্রশ্ন: ১৪৩ মিটার, ৭৮ মিটার এবং ১১৭ মিটার দীর্ঘ তিনটি কাঠের টুকরোকে একই দৈর্ঘ্যের তক্তায় বিভক্ত করতে হবে। প্রতিটি তক্তার সর্বাধিক সম্ভাব্য দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
প্রত্যেক সংখ্যার মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ করে পাই, 
১৪৩ = ১১ × ১৩
৭৮  = ২ × ৩ × ১৩
১১৭ = ৩ × ৩ × ১৩

∴ ১৪৩, ৭৮ এবং ১১৭ সাধারণ উৎপাদক = ১৩ 

অতএব, প্রতিটি তক্তার সর্বাধিক সম্ভাব্য দৈর্ঘ্য হবে ১৩ মিটার।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত হলো ৩ : ৮ এবং তাদের অন্তর ১১৫। দুটি সংখ্যার মধ্যে বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি সংখ্যার অনুপাত = ৩ : ৮
তাদের অন্তর = ১১৫

ধরি, দুটি সংখ্যা = ৩ক এবং ৮ক
∴ অন্তর = বৃহত্তর সংখ্যা - ক্ষুদ্রতর সংখ্যা
⇒ ৮ক - ৩ক = ১১৫
⇒ ৫ক = ১১৫
⇒ ক = ১১৫/৫
∴ ক = ২৩

এখন সংখ্যা দুটি হলো, 
প্রথম সংখ্যা = ৩ × ২৩ = ৬৯
দ্বিতীয় সংখ্যা = ৮ × ২৩ = ১৮৪

সুতরাং, দুটি সংখ্যার মধ্যে বৃহত্তম সংখ্যাটি হলো ১৮৪। 

প্রশ্ন: ৪৩ থেকে ৬০ এর মধ্যে কয়টি মৌলিক সংখ্যা আছে?

সমাধান: 
৪৩ থেকে ৬০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলো হলো,
৪৩, ৪৪, ৪৫, ৪৬, ৪৭, ৪৮, ৪৯, ৫০, ৫১, ৫২, ৫৩, ৫৪, ৫৫, ৫৬, ৫৭, ৫৮, ৫৯, ৬০

∴ মোট মৌলিক সংখ্যা = ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯ = ৪টি 

প্রশ্ন: মামুনের বয়স ৪ বছর ও তার বোনের বয়স ৬ মাস হলে, তাদের বয়সের অনুপাত কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
মামুনের বয়স = ৪ বছর
তার বোনের বয়স = ৬ মাস

এখন, প্রথমে দুজনের বয়সকে একই এককে (মাসে) রূপান্তর করে পাই,
মামুনের বয়স = ৪ বছর = ৪ × ১২ = ৪৮ মাস ; [১ বছর = ১২ মাস] 
এবং বোনের বয়স = ৬ মাস

এখন অনুপাত = মামুন : বোন
= ৪৮ মাস : ৬ মাস
= ৪৮ : ৬
= ৮ : ১ ; [৬ দিয়ে ভাগ করে] 

সুতরাং, মামুন ও তার বোনের বয়সের অনুপাত = ৮ : ১

প্রশ্ন: ৯৬ সংখ্যাটির মোট কয়টি ভাজক আছে?

সমাধান:
প্রথমে ৯৬ কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই, 
৯৬ = ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ 
= ২^৫ × ৩^১ 

এখন, ৯৬ ভাজক আছে = (৫ + ১) × (১ + ১) 
= ৬ × ২ 
= ১২ 

সুতরাং, ৯৬ সংখ্যাটির মোট ১২টি ভাজক আছে। 

প্রশ্ন: ৫ : ৭, ৪ : ৯ এবং ৩ : ২ এর মিশ্র অনুপাত নির্ণয় করুন। 

সমাধান: 
মিশ্র অনুপাত: একাধিক সরল অনুপাতের পূর্ব রাশিগুলোর গুণফলকে পূর্ব রাশি এবং উত্তর রাশিগুলোর গুণফলকে উত্তর রাশি ধরে প্রাপ্ত অনুপাতকে মিশ্র অনুপাত বলে।
যেমন, ২ : ৩ এবং ৫ : ৭ সরল অনুপাতগুলোর মিশ্র অনুপাত হলো (২ × ৫) : (৩ × ৭) = ১০ : ২১।

এখন, 
অনুপাত তিনটির পূর্ব রাশিগুলোর গুণফল = ৫ × ৪ × ৩ = ৬০ 
এবং উত্তর রাশিগুলোর গুণফল = ৭ × ৯ × ২ = ১২৬

∴ নির্ণেয় মিশ্র অনুপাত = ৬০ : ১২৬ = ১০ : ২১ ; [৬ দ্বারা ভাগ করে] 

প্রশ্ন: ১৫৬ এর সাথে কত যোগ করলে সংখ্যাটি ৬, ৮ এবং ১০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
সংখ্যাটি এমন হবে যাতে ১৫৬ এর সাথে যোগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যা ৬, ৮ এবং ১০ দ্বারা বিভাজ্য হয়।
অর্থাৎ ৬, ৮ এবং ১০ এর ল.সা.গু বের করে ১৫৬ এর সাথে তার নিকটবর্তী গুণিতকের পার্থক্য নির্ণয় করতে হবে।
এখন, ৬, ৮ এবং ১০ এর ল.সা.গু = ১২০
১৫৬ কে ১২০ দ্বারা ভাগ করলে,
১২০ × ১ = ১২০ 

অবশিষ্ট = ১৫৬ - ১২০ = ৩৬
যেহেতু ১২০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য করতে হবে,
তাই যোগ করতে হবে = ১২০ - ৩৬ = ৮৪

∴ নির্ণেয় সংখ্যা = ৮৪

প্রশ্ন: ৫০ কেজি মিশ্রণে বালি ও সিমেন্টের পরিমাণের অনুপাত ৪ : ১। মিশ্রণটিতে বালি ও সিমেন্টের পরিমাণ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মোট মিশ্রণ = ৫০ কেজি
বালি : সিমেন্ট = ৪ : ১

∴ মোট অংশ = ৪ + ১ = ৫ অংশ
প্রতি অংশের পরিমাণ = ৫০/৫ = ১০ কেজি

এখন, বালির পরিমাণ = (৪ × ১০) কেজি = ৪০ কেজি
সিমেন্টের পরিমাণ = (১ × ১০) কেজি = ১০ কেজি

সুতরাং, মিশ্রণে বালি ৪০ কেজি এবং সিমেন্ট ১০ কেজি।

প্রশ্ন: একটি বিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীদের ড্রিল করার সময় ১২, ১৮ এবং ২৪ সারিতে সাজানো যায়। আবার বর্গাকারেও সাজানো যায়। ঐ বিদ্যালয়ে কমপক্ষে কতজন শিক্ষার্থী আছে?

সমাধান:
১২, ১৮ এবং ২৪ এর ল.সা.গু = ৭২
= (২ × ২ × ২) × ৩ × ৩

যা বর্গাকারে সাজানো সম্ভব নয়।

(২ × ২ × ২) × ৩ × ৩ কে বর্গাকার সংখ্যা করতে হলে ২ দ্বারা গুণ করতে হবে।

∴ ১২, ১৮ এবং ২৪ সারিতে এবং বর্গাকারে সাজানোর জন্য শিক্ষার্থীর সংখ্যা হবে
= (২ × ২ × ২ × ২) × (৩ × ৩) জন
= ১৬ × ৯
= ১৪৪ জন

অতএব, বিদ্যালয়ে কমপক্ষে ১৪৪ জন শিক্ষার্থী আছে।