প্রাইমারি শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি [লং কোর্স]

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ৪৮ মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪৮ মিটার
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × বাহুর দৈর্ঘ্য
∴ ৪ × বাহুর দৈর্ঘ্য = ৪৮
⇒ বাহুর দৈর্ঘ্য = ৪৮/৪
⇒ বাহুর দৈর্ঘ্য = ১২ মিটার

এখন,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহুর দৈর্ঘ্য)^২
= (১২)^২
= ১২ × ১২
= ১৪৪ বর্গ মিটার
∴ নির্ণেয় ক্ষেত্রফল ১৪৪ বর্গ মিটার।

প্রশ্ন: নিচের কোন ত্রিকোণমিতিক অনুপাতটির মান অসংজ্ঞায়িত?

সমাধান:
আমরা জানি,
sin90° = 1
cos90° = 0
∴ tan90° = sin90°/cos90°
 = 1/0, যা অসংজ্ঞায়িত।

অন্যান্য বিকল্পগুলো হলো:
sin0° = 0
cos0° = 1
cos90° = 0

∴ tan90° এর মান অসংজ্ঞায়িত।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ৯ মিটার এবং দৈর্ঘ্য ৪০ মিটার হলে, এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
দেয়া আছে,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ৯ মিটার
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৪০ মিটার
আমরা জানি,
একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √{(দৈর্ঘ্য)^২ + (প্রস্থ)^২}
সুতরাং, কর্ণের দৈর্ঘ্য = √{(৪০)^২ + (৯)^২}
= √(১৬০০ + ৮১)
= √১৬৮১
= ৪১ মিটার
সুতরাং, কর্ণের দৈর্ঘ্য হবে ৪১ মিটার।

প্রশ্ন: cosθ এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:
cosθ এর সর্বনিম্ন মান হল -1।

• cosine ফাংশনের রেঞ্জ হলো [-1, 1]
অর্থাৎ, cosθ এর মান -1 থেকে 1 এর মধ্যে থাকে।
সর্বোচ্চ মান = 1 (যখন θ = 0°, 360°, 720°... )
সর্বনিম্ন মান = -1 (যখন θ = 180°, 540°... )

উদাহরণ:
cos(0°) = 1
cos(90°) = 0
cos(180°) = -1
cos(270°) = 0
cos(360°) = 1

তাই cosθ এর সর্বনিম্ন মান -1।

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের ব্যাস ১৬ সে. মি. এবং উচ্চতা ৭ সে. মি. হলে, এর আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারের ব্যাস = ১৬ সেমি
∴ ব্যাসার্ধ, r = ১৬/২ = ৮ সেমি
উচ্চতা, h = ৭ সেমি

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের আয়তন = πr^২h
= π × (৮)^২ × ৭
= π × ৬৪ × ৭
= ৪৪৮π ঘন সেমি

∴ নির্ণেয় আয়তন ৪৪৮π ঘন সেমি।

প্রশ্ন: cosecA - cotA = 3/4 হলে, cosecA + cotA = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cosecA - cotA = 3/4

আমরা জানি,
cosec²A - cot²A = 1
⇒ (cosecA + cotA)(cosecA - cotA) = 1
⇒ (cosecA + cotA)(3/4) = 1
⇒ cosecA + cotA = 1 × (4/3)
∴ cosecA + cotA = 4/3

প্রশ্ন: একটি খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য তার উচ্চতার 1/√3 গুণ হলে, সূর্যের উন্নতি কোণ কত?

সমাধান:

ধরি,
খুঁটির উচ্চতা = h
খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য = h × (1/√3)
আমরা জানি, সূর্যের উন্নতি কোণ θ হলে,
tanθ = লম্ব/ভূমি
⇒ tanθ = AB/BC 
⇒ tanθ = h/(h/√3)
⇒ tanθ = √3
⇒ tanθ = tan60°
∴ θ = 60°
সুতরাং, সূর্যের উন্নতি কোণ 60°।

প্রশ্ন: 4 tanA = 3 হলে cosA এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
4 tanA = 3
⇒ tanA = 3/4

আমরা জানি,
tanA = লম্ব/ভূমি
এখানে, লম্ব = 3 এবং ভূমি = 4 

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²
⇒ অতিভুজ² = 3² + 4²
⇒ অতিভুজ² = 9 + 16
⇒ অতিভুজ² = 25
⇒ অতিভুজ = √25
⇒ অতিভুজ = 5 

এখন,
cosA = ভূমি/অতিভুজ
∴ cosA = 4/5

প্রশ্ন: একটি কোণকের ব্যাস 10 সেমি এবং আয়তন 100π ঘন সেমি হলে, উহার হেলানো তলের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কোণকের ব্যাস = 10 সেমি
∴ ব্যাসার্ধ, r = 10/2 = 5 সেমি
আয়তন = 100π ঘন সেমি

আমরা জানি, কোণকের আয়তন = (1/3)πr²h

প্রশ্নমতে,
(1/3)π(5)²h = 100π
⇒ (1/3) × 25h = 100
⇒ 25h = 300
⇒ h = 300/25
∴ h = 12 সেমি

এখন, হেলানো তলের দৈর্ঘ্য (l) = √( r² + h²)
= √(5² + 12²)
= √(25 + 144)
= √169
= 13 সেমি

∴ নির্ণেয় হেলানো তলের দৈর্ঘ্য = 13 সেমি।

প্রশ্ন: 12 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট বর্গাকার ভূমির উপর অবস্থিত একটি পিরামিডের উচ্চতা 20 সে.মি.। ইহার আয়তন কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
পিরামিডের আয়তন = (1/3) × (ভূমির ক্ষেত্রফল) × উচ্চতা
এখানে,
ভূমির ক্ষেত্রফল = 12 × 12 = 144 বর্গ সেমি
উচ্চতা = 20 সেমি

সুতরাং, পিরামিডের আয়তন = (1/3) × 144 × 20
= 48 × 20
= 960 ঘন সেমি

∴ পিরামিডটির আয়তন 960 ঘন সেমি।

প্রশ্ন: 12 সে.মি. ব্যাস এবং 4 সে.মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি বেলন গলিয়ে 4 টি গোলক তৈরি করা হলে প্রতিটি গোলকের ব্যাস কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বেলনের ব্যাস = 12 সেমি
∴ বেলনের ব্যাসার্ধ, R = 12/2 = 6 সেমি
উচ্চতা, h = 4 সেমি

∴ বেলনের আয়তন = πR²h
= π × (6)² × 4
= π × 36 × 4
= 144π ঘন সেমি

মনে করি, প্রতিটি গোলকের ব্যাসার্ধ = r
আমরা জানি,
 গোলকের আয়তন = (4/3)πr³

প্রশ্নমতে,
4 টি গোলকের আয়তন = বেলনের আয়তন
⇒ 4 × (4/3)πr³ = 144π
⇒ 16/3πr³ = 144π
⇒ r³ = (144 × 3)/16
⇒ r³ = 9 × 3
⇒ r³ = 27
⇒ r = 3 সেমি

সুতরাং, প্রতিটি গোলকের ব্যাস = 2r = 2 × 3 = 6 সেমি।

প্রশ্ন: একটি খাড়া খুঁটি মাটি থেকে 5 মিটার উপরে ভেঙে বিচ্ছিন্ন না হয়ে অন্যপ্রান্ত ভূমিতে 12 মিটার দূরত্বে স্পর্শ করলে খুঁটির উচ্চতা কত?

সমাধান:

মনেকরি,
খুঁটির মোট উচ্চতা, AE = x মিটার
যেহেতু খুঁটিটি মাটি থেকে 5 মিটার উপরে ভেঙে গেছে,
তাই ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য = (x - 5) মিটার

এখন, 
ΔABD- এ
(x - 5)² = 5² + 12²
⇒ x² - 10x + 25 = 25 + 144
⇒ x² - 10x + 25 = 169
⇒ x² - 10x - 144 = 0
⇒ x² - 18x + 8x - 144 = 0
⇒ x(x - 18) + 8(x - 18) = 0
⇒ (x - 18)(x + 8) = 0
সুতরাং, x - 18 = 0 অথবা x + 8 = 0
⇒ x = 18 অথবা x = - 8
যেহেতু খুঁটির উচ্চতা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x = 18 মিটার।
∴ খুঁটিটির মোট উচ্চতা 18 মিটার।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের পার্থক্য 20 মি. এবং পরিসীমা 160 মি. হলে ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, আয়তক্ষেত্রের,
 দৈর্ঘ্য - প্রস্থ = 20 মিটার ......(১)
এবং আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 160 মিটার

আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2 × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
∴ 160 = 2 × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
⇒ দৈর্ঘ্য + প্রস্থ = 160/2 মিটার
∴ দৈর্ঘ্য + প্রস্থ = 80 মিটার ...........(২)

এখন, দুটি সমীকরণ যোগ করে পাই,
(দৈর্ঘ্য - প্রস্থ) + (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = 20 + 80
⇒ 2 × দৈর্ঘ্য = 100
⇒ দৈর্ঘ্য = 100/2 = 50 মিটার

এখন,
দৈর্ঘ্য + প্রস্থ = 80
⇒ 50 + প্রস্থ = 80
⇒ প্রস্থ = 80 - 50 = 30 মিটার

সুতরাং, আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= 50 × 30
= 1500 বর্গ মিটার।
∴ নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 1500 বর্গ মিটার।

প্রশ্ন: rsinθ = 5/2 এবং rcosθ = 5√3/2 হলে, r এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
rsinθ = 5/2 .......... (1)
rcosθ = 5√3/2 .......... (2)
এখন, (1) ও (2) নং সমীকরণকে বর্গ করে যোগ করে পাই,
(rsinθ)² + (rcosθ)² = (5/2)² + (5√3/2)²
⇒ r²sin²θ + r²cos²θ = 25/4 + (25 × 3)/4
⇒ r²(sin²θ + cos²θ) = (25 + 75)/4
⇒ r²(1) = 100/4 [যেহেতু, sin²θ + cos²θ = 1]
⇒ r² = 25
⇒ r = √25
⇒ r = 5
∴ r এর মান 5

প্রশ্ন: একটি বৈদ্যুতিক পাখার ব্লেড মিনিটে ১৮০ বার ঘুরে। এক সেকেন্ডে পাখাটি কত ডিগ্রি ঘুরে?

সমাধান:
আমরা জানি,
1 মিনিট = 60 সেকেন্ড
সুতরাং, 60 সেকেন্ডে পাখাটি ঘুরে 180 বার
∴ 1 সেকেন্ডে পাখাটি ঘুরে = 180/60 = 3 বার

আবার, আমরা জানি,
পাখাটি 1 বার ঘুরলে 360° অতিক্রম করে।
∴ 3 বার ঘুরলে পাখাটি অতিক্রম করে = (3 × 360)°
= 1080°
সুতরাং, এক সেকেন্ডে পাখাটি 1080° ঘুরে।

প্রশ্ন: A = 30° হলে, 2tanA/(1 + tan²A) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, A = 30°
আমরা জানি, tan30° = 1/√3

∴ 2tanA/(1 + tan²A)
 = 2 × (1/√3)/{1 + (1/√3)²}
= (2/√3)/(1 + 1/3)
= (2/√3)/(4/3)
= (2/√3) × (3/4)
= 6/(4√3)
= 3/(2√3)
= 3√3/(2 × 3) [হর ও লবকে √3 দ্বারা গুণ করে] 
= (√3)/2

বিকল্প সমাধান:
আমরা জানি, 2tanA/(1 + tan²A) = sin2A
∴ A = 30° হলে, 2tanA/(1 + tan²A)
= sin(2 × 30°) = sin60° = (√3)/2

প্রশ্ন: একটি ঘনকের আয়তন 1331 ঘনসেমি হলে এর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ঘনকের আয়তন = 1331 ঘনসেমি

ধরি,ঘনকটির বাহুর দৈর্ঘ্য = a সেমি
আমরা জানি,
ঘনকের আয়তন = a³
সুতরাং, a³ = 1331
⇒ a = 11 সেমি [ঘনমূল করে]

এখন, ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 6a²
= 6 × (11)²
= 6 × 121
= 726 বর্গ সেমি

∴ ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 726 বর্গ সেমি।

প্রশ্ন: cos{(7π/2) - θ} = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cos{(7π/2) - θ}
= cos{7 × (π/2) - θ}
= cos{7 × 90° - θ}

যেহেতু, 90° করে 7 বার ঘুরে তৃতীয় চতুর্ভাগে আসে এবং এই চতুর্ভাগে cosine এর মান ঋণাত্মক। তাই এর চিহ্ন হবে ঋণাত্মক।

আবার, যেহেতু π/2 বা 90° এর বিজোড় গুণিতক (odd multiple) রয়েছে, তাই cosine অনুপাতটি sine অনুপাত-এ পরিবর্তিত হবে।

অর্থাৎ, cos{7 × 90° - θ} = - sinθ
∴ cos{(7π/2) - θ} = - sinθ.

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার। মাঠটি ঢাকতে ২ মিটার বাহু বিশিষ্ট কতগুলো বর্গাকার টাইলস প্রয়োজন?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গাকার মাঠের দৈর্ঘ্য = ৫০ মিটার
∴ মাঠের ক্ষেত্রফল = (৫০ × ৫০) বর্গমিটার = ২৫০০ বর্গমিটার

আবার,
টাইলসের বাহুর দৈর্ঘ্য = ২ মিটার
∴ প্রতিটি টাইলসের ক্ষেত্রফল = (২ × ২) বর্গমিটার = ৪ বর্গমিটার

সুতরাং, প্রয়োজনীয় টাইলসের সংখ্যা = ২৫০০/৪ টি
= ৬২৫ টি
∴ ৬২৫ টি টাইলস প্রয়োজন।

প্রশ্ন: 1230° কোন চতুর্ভাগে বিদ্যমান?

সমাধান:

1230° = (3 × 360°) + 150°
এখানে, (3 × 360°) তিনটি পূর্ণ ঘূর্ণন যা কোণটিকে আবার শুরুর অবস্থানে (ধনাত্মক X-অক্ষের ওপর) ফিরিয়ে নিয়ে আসে।
অবশিষ্ট কোণটি হলো 150°, যা ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে 150°।
যেহেতু 90° থেকে 180° পর্যন্ত কোণ দ্বিতীয় চতুর্ভাগে থাকে, তাই 150° কোণটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থান করবে।

∴ 1230° কোণটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থান করে।

প্রশ্ন: একটি ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থের ৪ গুণ। প্রতি বর্গমিটারে ৬ টাকা দরে ঘরের মেঝে কার্পেট দিয়ে ঢাকতে মোট ৬০০ টাকা ব্যয় হয়। ঘরটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
মনেকরি,
ঘরের প্রস্থ = ক মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = ৪ক মিটার
∴ ঘরের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= (৪ক × ক)
= ৪ক^২ বর্গমিটার

প্রতি বর্গমিটারে খরচ = ৬ টাকা
সুতরাং, মোট খরচ = ৪ক^২ × ৬ = ২৪ক^২ টাকা

প্রশ্নমতে,
২৪ক^২ = ৬০০
⇒ ক^২ = ৬০০/২৪
⇒ ক^২ = ২৫
⇒ ক = √২৫
⇒ ক = ৫

সুতরাং, প্রস্থ = ৫ মিটার
এবং দৈর্ঘ্য = ৪ × ৫ = ২০ মিটার

এখন, ঘরের পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ × (২০ + ৫)
= ২ × ২৫
= ৫০ মিটার
∴ ঘরটির পরিসীমা ৫০ মিটার।