৫১তম বিসিএস ফাইনাল মডেল টেস্ট ও রিভিশন

প্রশ্ন:  9 + 7 + 5 +....................... ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের যোগফল - 144 হলে, n এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
প্রথম পদ, a = 9
সাধারণ অন্তর, d = (7 - 9) = - 2

প্রশ্নমতে,
n-সংখ্যক পদের যোগফল = - 144
বা, (n/2){2a + (n - 1)d} = - 144
বা, (n/2){(2 × 9) + (n - 1)(- 2)} = - 144
বা, (n/2)(18 - 2n + 2) = - 144
বা, (n/2)(- 2n + 20)= - 144
বা, - (n/2) × 2 × (n - 10) = - 144
বা, n(n - 10) = 144
বা, n² - 10n - 144 = 0
বা, n² - 18n + 8n - 144 = 0
বা, n(n - 18) + 8(n - 18) = 0
বা, (n - 18)(n + 8) = 0

হয়, n - 18 = 0 অথবা, n + 8 = 0
হয়, n = 18 অথবা, n = - 8

এখানে n এর ঋণাত্মক মান গ্রহনযোগ্য নয়, কারন পদসংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না।
∴ n = 18

প্রশ্ন: secθ = √4 হলে tanθ = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
secθ = √4
⇒ sec²θ = (√4)² 
⇒ sec²θ = 4

আমরা জানি,
sec²θ - tan²θ = 1
⇒ 4 - tan²θ = 1
⇒ tan²θ = 4 - 1
⇒ tan²θ = 3 
⇒ tanθ = √3

প্রশ্ন: দুইটি নল দ্বারা একটি পানির ট্যাংক ৮ মিনিটে পূর্ণ হয়। নল দুইটি খুলে দেওয়ার ৬ মিনিট পর প্রথম নলটি বন্ধ করে দিলে ট্যাংকটি পূর্ণ হতে আরো ৮ মিনিট সময় লাগলে শুধু দ্বিতীয় নলটি দ্বারা সম্পূর্ণ ট্যাংকটি পূর্ণ হতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
দুইটি নল দ্বারা,
৮ মিনিটে পূর্ণ হয় = ১ অংশ
∴ ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = ১/৮ অংশ 
∴ ৬ মিনিটে পূর্ণ হয় = ৬/৮ অংশ = ৩/৪ অংশ 

৬ মিনিট পর অবশিষ্ট থাকে = ১ - (৩/৪) = (৪ - ৩)/৪ = ১/৪ অংশ

দ্বিতীয় নলটি,
১/৪ অংশ পূর্ণ করতে পারে = ৮ মিনিটে 
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ পূর্ণ করতে পারে = (৮ × ৪) মিনিটে = ৩২ মিনিটে  

প্রশ্ন: বার্ষিক শতকরা 10 টাকা মুনাফায় 5000 টাকার 3 বছরের সরল মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আসল, p = 5000 টাকা 
সময়, n = 3 বছর 
মুনাফার হার, r = 10% 

আমরা জানি,
চক্রবৃদ্ধি মুনাফা
= p(1 + r)ⁿ - p
= 5000 × {1 + (10/100)}³ - 5000
= 5000 × {1 + (1/10)}³ - 5000
= 5000 × {(10 + 1)/10}³ - 5000
= 5000 × (11/10)³ - 5000
= 5000 × {(1331/1000) - 1}
= 5000 × {(1331 - 1000)/1000}
= 5000 × (331/1000)
= 1655

এবং , সরল মুনাফা
= pnr/১০০
= (5000 × 3 × 10)/100
= 500 × 3
=1500

∴ পার্থক্য = চক্রবৃদ্ধি মুনাফা - সরল মুনাফা
= 1655 - 1500
= 155

প্রশ্ন: 2x + 3y + 4 = 0 সরলরেখার y অক্ষের ছেদাংশ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
y = mx + c  যেখানে, সরলরেখার ঢাল m এবং y অক্ষের ছেদাংশ c.

এখন,
2x + 3y + 4 = 0
বা, 3y = - 2x - 4
বা, y = (- 2/3)x + (- 4/3).................(১)

(১) নং সমীকরণটিকে y = mx + c এর সাথে তুলনা করে পাই,
প্রদত্ত সরলরেখার,
y অক্ষের ছেদাংশ, c = - 4/3

প্রশ্ন: ৬ জন মহিলা ও ৫ জন পুরুষের মধ্য থেকে একটি ৪ সদস্যের কমিটি কতভাবে গঠন করা যাবে যেখানে ২ জন মহিলা সর্বদা কমিটিতে অন্তর্ভুক্ত থাকবে?

সমাধান:
৬ জন মহিলা থেকে ২ জন ও ৫ জন পুরুষ থেকে ২ জন নিয়ে ৪ সদস্যের কমিটি গঠন করা যায়,
= ^৬C_২ × ^৫C_২ 
= {৬!/(২! × ৪! )} × {৫!/(২! × ৩!)}
= {(৬ × ৫ × ৪!)/(২! × ৪!)} × {(৫ × ৪ × ৩!)/(২! × ৩!)}
= {(৬ × ৫)/২} × {৫ × ৪)/২}
= ১৫ × ১০ 
= ১৫০ উপায়ে

প্রশ্ন: রিফাত ৪৮০০ টাকা দিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করে। ৭ মাস পর জামিল কিছু টাকা নিয়ে ঐ ব্যবসায় যোগ দেয়। এক বছর পর ২ : ৩ অনুপাতে ব্যবসার লভ্যাংশ ভাগ করা হয়। জামিলের বিনিয়োগ কত টাকা ছিলো?

সমাধান:
ধরি,
জামিলের বিনিয়োগ = ক টাকা

রিফাতের বিনিয়োগ নিয়োজিত ছিলো = ১২ মাস
এবং জামিলের বিনিয়োগ নিয়োজিত ছিলো = (১২ - ৭) মাস = ৫ মাস

প্রশ্নমতে,
(৪৮০০ × ১২) : (ক × ৫) = ২ : ৩
⇒ (৪৮০০ × ১২)/(ক × ৫) = ২/৩
⇒  (৯৬০ × ১২)/ক = ২/৩
⇒ ২ক = (৯৬০ × ১২ × ৩)
⇒ ক = (৯৬০ × ১২ × ৩)/২
⇒ ক = ৯৬০ × ৬ × ৩
⇒ ক = ১৭২৮০ টাকা 

প্রশ্ন: ২০০ মিটার দৈর্ঘ্যের একটি ট্রেনের গতিবেগ ঘণ্টায় ৭২ কি.মি.। ট্রেনটি ১৬০ মিটার দীর্ঘ অপর একটি স্থির ট্রেনকে অতিক্রম করতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
ট্রেনটি অপর একটি স্থির ট্রেনকে অতিক্রম করলে ট্রেনের নিজের দৈর্ঘ্য ও অপর ট্রেনের দৈর্ঘ্যের সমান দূরত্ব অতিক্রম করবে।

∴ ট্রেনটির অতিক্রান্ত দূরত্ব = (২০০ + ১৬০) মিটার = ৩৬০ মিটার

দেওয়া আছে,
ট্রেনের গতিবেগ = ৭২ কি.মি./ঘণ্টা 
= (৭২ × ১০০০)/(৬০ × ৬০) মিটার/সেকেন্ড
= ২০ মিটার/সেকেন্ড

এখন,
ট্রেনটি ২০ মিটার অতিক্রম করে = ১ সেকেন্ডে 
∴ ১ মিটার অতিক্রম করে = ১/২০ সেকেন্ডে
∴ ৩৬০ মিটার অতিক্রম করে = (৩৬০/২০) সেকেন্ডে = ১৮ সেকেন্ডে

অর্থাৎ ট্রেনটির সময় লাগবে = ১৮ সেকেন্ড 

প্রশ্ন: ৩০ টাকায় ১০টি দরে ও ১৫টি দরে সমান সংখ্যক কলা ক্রয় করে সবগুলো কলা ৩০ টাকায় ১০টি দরে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হবে?

সমাধান:
১০টি কলার ক্রয়মূল্য = ৩০ টাকা
∴ ১ টি কলার ক্রয়মূল্য = ৩০/১০টাকা = ৩ টাকা
আবার,
১৫টি কলার ক্রয়মূল্য = ৩০ টাকা
∴ ১ টি কলার ক্রয়মূল্য = ৩০/১৫ টাকা = ২ টাকা

∴ (১ + ১) = ২ টি কলার ক্রয়মূল্য = (৩ + ২) টাকা = ৫ টাকা

আবার,
১০ টি কলার বিক্রয়মূল্য = ৩০ টাকা
∴ ২ টি কলার বিক্রয়মূল্য =(৩০ × ২)/১০ = ৬ টাকা

∴ লাভ = (৬ - ৫) টাকা = ১ টাকা

এখন,
৫ টাকায় লাভ হয় = ১ টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় = ১০০/৫ টাকা = ২০ টাকা

অর্থাৎ লাভ = ২০% 

প্রশ্ন: একটি দুই অঙ্কের মৌলিক সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের যোগফল একটি মৌলিক সংখ্যা। সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে,
৯৭ সংখ্যাটিতে, ৯ + ৭ = ১৬ , যা মৌলিক সংখ্যা নয়।

৩৭ সংখ্যাটিতে, ৩ + ৭ = ১০ , যা মৌলিক সংখ্যা নয়।

২৯ সংখ্যাটিতে, ২ + ৯ = ১১  , যা মৌলিক সংখ্যা।

৫৩ সংখ্যাটিতে, ৫ + ৩ = ৮ , যা মৌলিক সংখ্যা নয়।

 অর্থাৎ ২৯ মৌলিক সংখ্যাটির  অঙ্কদ্বয়ের  যোগফল হলো ১১ যা নিজেও একটি মৌলিক সংখ্যা।

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে 100 জন শিক্ষার্থীর মধ্যে 55 জন উচ্চতর গনিত, 40 জন জীববিজ্ঞান নিয়েছে এবং 20 জন কোনটিই নেয় নি। কতজন শিক্ষার্থী শুধুমাত্র একটি বিষয় নিয়েছে? 

সমাধান:

ধরি,
উভয় বিষয় নিয়েছে = x জন
∴ শুধু উচ্চতর গনিত নিয়েছে = (55 - x) জন
∴ শুধু জীববিজ্ঞান নিয়েছে = (40 - x) জন

দেওয়া আছে,
কোনো বিষয় নেয় নি = 20 জন

প্রশ্নমতে,
(55 - x) + x + (40 - x) + 20 = 100
⇒ 95 - x = 100 - 20
⇒ 95 - x = 80
 ⇒ x = 95 - 80
 ⇒ x = 15

শুধু উচ্চতর গনিত নিয়েছে = (55 - 15) জন = 40 জন 
শুধু জীববিজ্ঞান নিয়েছে = (40 - 15) জন = 25 জন

∴ শুধুমাত্র একটি বিষয় নিয়েছে (উচ্চতর গনিত বা জীববিজ্ঞান) = (40 + 25) জন = 65 জন 

প্রশ্ন: একটি কোণকের বক্রতলের ব্যাসার্ধ 7 সে.মি. এবং উচ্চতা 27 সে.মি. হলে কোণকের আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কোণকের বক্রতলের ব্যাসার্ধ, r = 7 সে.মি.
উচ্চতা, h = 27 সে.মি.

আমরা জানি,
কোণকের আয়তন,
= (1/3)πr²h 
= (1/3) × (22/7) × (7)² × 27 ঘন সে.মি.
= (22/7) × 49 × 9 ঘন সে.মি.
= 22 × 63 ঘন সে.মি.
= 1386 ঘন সে.মি. 

প্রশ্ন: a - [a - {a - (a + 1)}] এর মান কত?

সমাধান:
a - [a - {a - (a + 1)}]
= a - [a - {a - a - 1}]
= a - [a - {- 1}]
= a - [a + 1]
= a - a - 1
= - 1

প্রশ্ন: একটি লোকাল বাস কোনো পথের অর্ধেক দূরত্ব ঘণ্টায় ১৫ কি.মি. বেগে এবং বাকি অর্ধেক পথ ঘণ্টায় ২০ কি.মি. বেগে চললে ঐ পথ অতিক্রম করতে বাসটির মোট ৭ ঘণ্টা সময় লাগে। পথের মোট দূরত্ব কত?

সমাধান:
ধরি,
পথের মোট দূরত্ব = ২ক কি.মি.

বাসটি প্রথম অর্ধেক পথ অতিক্রম করতে সময় লাগে = ক/১৫ ঘণ্টা 
দ্বিতীয় অর্ধেক পথ অতিক্রম করতে সময় লাগে = ক/২০ ঘণ্টা 

প্রশ্নমতে,
(ক/১৫) + (ক/২০) = ৭
⇒ (৪ক + ৩ক)/৬০ = ৭
 ⇒ ৭ক = ৪২০
 ⇒ ক = ৪২০/৭
 ⇒ ক = ৬০

∴ পথের মোট দূরত্ব = (২ × ৬০) কি.মি. = ১২০ কি.মি. 

প্রশ্ন: শতকরা বার্ষিক ২৫ টাকা সুদে ৭২০ টাকার ৪ মাসের সরল সুদ কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সময় = ৪ মাস = ৪/১২ বছর = ১/৩ বছর
আসল = ৭২০ টাকা
সুদের হার = ২৫%
সুদ = ?

আমরা জানি,
সরল সুদ,
= (আসল × সময় × সুদের হার)/১০০
= {৭২০ × (১/৩) × ২৫}/১০০
= (২৪০ × ২৫)/১০০
= ৬০ টাকা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার কাঠের বক্সের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও কর্ণের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3 সে.মি., 2 সে.মি., ও √38 সে.মি. হলে কাঠের বক্সটির উচ্চতা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তাকার কাঠের বক্সের
দৈর্ঘ্য, a = 3 সে.মি.
প্রস্থ, b = 2 সে.মি.
কর্ণ = √38 সে.মি.
উচ্চতা, c = ?

প্রশ্নমতে,
√(a² + b² + c²) = √38
বা, (a² + b² + c²) = 38 [ উভয়পক্ষে বর্গ করে]
বা, (3)² + (2)² + c² = 38
বা, 9 + 4 + c² = 38
বা, 13 + c² = 38
বা, c² = 38 - 13
বা, c² = 25
বা, c = 5 [বর্গমূল করে] 

প্রশ্ন: {x - (1/x)}² = 2 হলে x³ - (1/x)³ এর মান কত? [ x - (1/x) > 0]

সমাধান:
দেওয়া আছে,
{x - (1/x)}² = 2
⇒ x - (1/x) = √2 [ বর্গমূল করে]

এখন,
x³ - (1/x)³
= {x - (1/x)}³ + 3.x.(1/x){x - (1/x)}
= (√2)³ + 3√2
= 2√2 + 3√2
= 5√2

প্রশ্ন: চার বিষয়ের কোনো একটি পরীক্ষায় একজন পরীক্ষার্থীর বাংলা, ইংরেজি ও গণিতে প্রাপ্ত নম্বর যথাক্রমে ৭৮, ৮১ ও ৯৪। বিজ্ঞানে কত নম্বর পেলে তার গড় নম্বর ৮২ হবে?

সমাধান:
ধরি,
বিজ্ঞানে প্রাপ্ত নম্বর = ক

প্রশ্নমতে,
(৭৮ + ৮১ + ৯৪ + ক)/৪ = ৮২
বা, (২৫৩+ ক)/৪ = ৮২
বা, ২৫৩ + ক = ৮২ × ৪
বা, ২৫৩ + ক = ৩২৮
বা, ক = ৩২৮ - ২৫৩
বা, ক = ৭৫

∴ বিজ্ঞানে প্রাপ্ত নম্বর = ৭৫ 

প্রশ্ন: A : B = ৫ : ৭, B : C = ৮ : ৯ এবং C : D = ৩ : ৫ হলে A : D = কত?

সমাধান:
A : B = ৫ : ৭ = (৫ × ৮) : (৭ × ৮) = ৪০ : ৫৬

B : C = ৮ : ৯ = (৮ × ৭) : (৯ × ৭) = ৫৬ : ৬৩

C : D = (৩ × ২১) : (৫ × ২১) = ৬৩ : ১০৫

আবার, A : C = ৪০ : ৬৩

∴ A : D = ৪০ : ১০৫ = ৮ : ২১

প্রশ্ন: 1 + 3 + 3² + 3³ + ......+ 3⁵ = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = 3/1 = 3
পদসংখ্যা, n = 6 টি

গুণোত্তর ধারার n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = a × (rⁿ - 1)/(r - 1) [যেখানে, r > 1]

∴ ধারাটির 6 টি পদের সমষ্টি = 1 × {(3⁶ - 1)/(3 -1)}
= (729 - 1)/2
= 728/2
= 364

প্রশ্ন: 2y = 2x - 4 এবং 4x - 5y = 3 হলে (x, y) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2y = 2x - 4
⇒ y = (2x - 4)/2
⇒ y = x - 2 ..............(1)

এখন,
4x - 5y = 3
⇒ 4x = 3 + 5y
⇒ 4x = (3 + 5y)
⇒ 4x = 3 + 5(x - 2)
⇒ 4x = 3 + 5x - 10
⇒ 4x = 5x - 7
⇒ 5x - 4x = 7
⇒ x = 7

x এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
y = (7 - 2) = 5

∴ (x, y) = (7, 5)

প্রশ্ন: ১৫ গ্রাম ওজনের একটি পিতলের চামচে তামা ও দস্তার অনুপাত ৪ : ১ । এতে আরো কত গ্রাম তামা মেশালে তামা ও দস্তার অনুপাত ৫ : ১ হবে?

সমাধান:
পিতলের চামচে তামা ও দস্তার অনুপাত ৪ : ১
অনুপাতের যোগফল = ৪ + ১ = ৫

চামচে তামার পরিমাণ = ১৫ × (৪/৫) = ১২ গ্রাম
এবং
দস্তার পরিমাণ = ১৫ × (১/৫) = ৩ গ্রাম

ধরি,
চামচে তামা ও দস্তার অনুপাত ৫ : ১ করতে তামা মেশাতে হবে = ক গ্রাম

প্রশ্নমতে,
(১২ + ক)/৩ = ৫/১
বা, ১২ + ক = ১৫
বা, ক = ১৫ - ১২
বা, ক = ৩

∴ পিতলের চামচে আরো ৩ গ্রাম তামা মেশালে তামা ও দস্তার অনুপাত ৫ : ১ হবে।