৯ম - ১৩তম গ্রেড পরীক্ষার প্রস্তুতি

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে ৪ যোগ করলে যোগফল ৮, ১০ ও ১২ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে ৮, ১০ ও ১২ এর ল.সা.গু. থেকে ৪ কম।

এখন,
৮ = ২ × ২ × ২
১০ = ২ × ৫
১২ = ২ × ২ × ৩

∴ ৮, ১০ ও ১২ এর ল.সা.গু. = ২× ২ × ২ × ৩ × ৫
= ১২০

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১২০ - ৪ = ১১৬

প্রশ্ন: তিনটি বিজোড় ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ৯৯ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম বিজোড় সংখ্যা = ক
দ্বিতীয় সংখ্যা = ক + ২
তৃতীয় সংখ্যা = ক + ৪

∴ তিনটি সংখ্যার যোগফল 
= ক + (ক + ২) + (ক + ৪)
= ৩ক + ৬

প্রশ্নমতে,
৩ক + ৬ = ৯৯
⇒ ৩ক = ৯৯ - ৬
⇒ ৩ক = ৯৩
⇒ ক = ৯৩/৩
∴ ক = ৩১

∴ প্রথম সংখ্যা = ৩১
দ্বিতীয় সংখ্যা = ৩১ + ২ = ৩৩
তৃতীয় সংখ্যা = ৩১ + ৪ = ৩৫
অতএব, বড় সংখ্যাটি হলো ৩৫।

প্রশ্ন: ৯০০ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক আছে?

সমাধান:

৯০০ = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫ × ৫
= ২^২ × ৩^২ × ৫^২

এখানে,
২ এর সূচক = ২
৩ এর সূচক = ২
৫ এর সূচক = ২

কোনো সংখ্যার মোট ভাজকের সংখ্যা বের করার সূত্র হলো, তার মৌলিক উৎপাদকগুলোর ঘাতের সাথে ১ যোগ করে প্রাপ্ত সংখ্যাগুলো গুণ করা।

∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = (২ + ১) × (২ + ১) × (২ + ১)
= ৩ × ৩ × ৩
= ২৭

∴ ৯০০ সংখ্যাটির মোট ভাজক সংখ্যা হলো ২৭।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৬ এবং তাদের ল.সা.গু. ২৪০ হলে বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দুইটি সংখ্যার অনুপাত = ৫ : ৬

ধরি, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৫ক ও ৬ক
∴ তাদের ল.সা.গু. = ৩০ক

প্রশ্নমতে,
৩০ক = ২৪০
⇒ ক = ২৪০/৩০
∴ ক = ৮

∴ বৃহত্তম সংখ্যা = ৬ × ৮ = ৪৮

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য?

সমাধান:
• কোনো সংখ্যা ৬ দ্বারা বিভাজ্য হতে হলে তা অবশ্যই ২ এবং ৩ দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।

ক) ১২০৪৫৮: শেষ অঙ্ক ৮, তাই ২ দ্বারা বিভাজ্য।
অঙ্কগুলোর যোগফল = ১ + ২ + ০ + ৪ + ৫ + ৮ = ২০, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়। তাই ৬ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

খ) ১৩৫৭৯২: শেষ অঙ্ক ২, তাই ২ দ্বারা বিভাজ্য।
অঙ্কগুলোর যোগফল = ১ + ৩ + ৫ + ৭ + ৯ + ২ = ২৭, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং ১৩৫৭৯২ সংখ্যাটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য।

গ) ১৪৮৬১০: শেষ অঙ্ক ০, তাই ২ দ্বারা বিভাজ্য।
অঙ্কগুলোর যোগফল = ১ + ৪ + ৮ + ৬ + ১ + ০ = ২০, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়। তাই ৬ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

ঘ) ১৬২৮৪৪: শেষ অঙ্ক ৪, তাই ২ দ্বারা বিভাজ্য।
অঙ্কগুলোর যোগফল = ১ + ৬ + ২ + ৮ + ৪ + ৪ = ২৫, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়। তাই ৬ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

∴ অপশন (খ) ১৩৫৭৯২ সংখ্যাটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য।

প্রশ্ন: ৬/৫ এবং ৮/৭ এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লব এর ল.সা.গু/হর এর গ.সা.গু

লব ৬ ও ৮ এর ল.সা.গু = ২৪
হর ৫ ও ৭ এর গ.সা.গু = ১

অতএব, ৬/৫ এবং ৮/৭ এর ল.সা.গু = ২৪/১
= ২৪

প্রশ্ন: ১ ÷ (৩/৫){(১/৩) + (২/৩)} = কত?

সমাধান:
= ১ ÷ (৩/৫){(১/৩) + (২/৩)}
= ১ ÷ (৩/৫){(১ + ২)/৩}
= ১ ÷ (৩/৫)(৩/৩)
= ১ ÷ (৩/৫) × ১
= ১ ÷ (৩/৫)
= ১ × (৫/৩)
= ৫/৩

প্রশ্ন: ২১৭৮ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে গুণফলটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
২১৭৮ এর মৌলিক গুণনীয়ক বিশ্লেষণ করলে পাই, 
২১৭৮ = ২ × ৩ × ৩ × ১১ × ১১
 = ২ × ৩^২ × ১১^২

এখানে, ২ এর সূচক একক (জোড়া বিহীন)।
সুতরাং পূর্ণ বর্গ সংখ্যা পেতে, ২১৭৮ কে ২ দ্বারা গুণ করতে হবে।

∴ ২ দ্বারা গুণ করলে গুণফলটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে।

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৫১, ৭৭ ও ১১৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৫ ও ৭ ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান:
যেহেতু ৫১, ৭৭ ও ১১৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৫ ও ৭ অবশিষ্ট থাকে তাই, 
৫১ - ৩ = ৪৮
৭৭ - ৫ = ৭২
১১৫ - ৭ = ১০৮

এখন, ৪৮, ৭২ ও ১০৮ এর গ.সা.গু নির্ণয় করতে হবে।

৪৮ = ২^৪ × ৩
৭২ = ২^৩ × ৩^২
১০৮ = ২^২ × ৩^৩

গ.সা.গু = ২^২ × ৩ = ৪ × ৩ = ১২

অতএব, নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = ১২

প্রশ্ন: দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল ৩/১০। একটি ভগ্নাংশ ৩/৫ হলে অপর ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল = ৩/১০
একটি ভগ্নাংশ = ৩/৫

অপর ভগ্নাংশ = (৩/১০) ÷ (৩/৫)
= (৩/১০) × (৫/৩)
= ১৫/৩০
= ১/২

প্রশ্ন: ৩০ থেকে ৬০ এর মধ্যে কয়টি মৌলিক সংখ্যা আছে?

সমাধান:
৩০ থেকে ৬০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা হলো:
৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯

∴ মোট মৌলিক সংখ্যা = ৭ টি

নোট:
১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা (মোট ২৫টি):
২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩, ৭৯, ৮৩, ৮৯, ৯৭।

প্রশ্ন: একটি লাঠির ১/৩ অংশ মাটির নিচে, ১/২ অংশ পানির নিচে এবং অবশিষ্ট ১০ মিটার পানির উপরে আছে। লাঠিটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, লাঠিটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য = ক মিটার

মাটির নিচে অংশ = ক/৩
পানির নিচে অংশ = ক/২

মোট মাটি ও পানির নিচে অংশ = ক/৩ + ক/২ অংশ
= (২/৬ + ৩/৬)ক
= ৫ক/৬ অংশ

∴ পানির উপরে আছে = ক - (৫ক/৬)
= (৬ক - ৫ক)/৬
= ক/৬ অংশ

প্রশ্নমতে, 
ক/৬ = ১০
⇒ ক = ১০ × ৬
∴ ক = ৬০

অতএব, লাঠিটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য = ৬০ মিটার।

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি বাস্তব সংখ্যা নয়?

সমাধান:
বাস্তব সংখ্যা: শূন্য সহ সকল মূলদ এবং অমূলদ সংখ্যাকে বাস্তব সংখ্যা বলে। যেমন: ০, ১, ২, - ১, - ২, √২, √৩ ইত্যাদি।

এখানে,
ক) - ৭.৫ → এটি একটি বাস্তব দশমিক সংখ্যা।
খ) √০ = ০ → এটি একটি বাস্তব সংখ্যা।
ঘ) ১/২ → এটি একটি বাস্তব ভগ্নাংশ।
গ) ৯ + √- ১৬ → এই সংখ্যাটির √- ১৬ একটি কাল্পনিক সংখ্যা। কারণ, √- ১৬ বাস্তব সংখ্যার মধ্যে পড়ে না। এটি একটি কাল্পনিক সংখ্যা।

∴ (গ) ৯ + √- ১৬ বাস্তব সংখ্যা নয়।

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৯৯৯ থেকে যত ছোট, ৭৭৭ থেকে তত বড়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যা = ক

প্রশ্নমতে,
৯৯৯ - ক = ক - ৭৭৭
⇒ ৯৯৯ + ৭৭৭ = ক + ক
⇒ ১৭৭৬ = ২ক
⇒ ক = ১৭৭৬/২
∴ ক = ৮৮৮

অতএব, সংখ্যাটি = ৮৮৮

প্রশ্ন: x ও y দুটি বিজোড় সংখ্যা হলে নিচের কোন সংখ্যাটি বিজোড়?

সমাধান:
ধরা যাক, x = 3 এবং y = 5 (দুটি বিজোড় সংখ্যা)

ক) x + y = 3 + 5 = 8 → জোড় সংখ্যা
খ) x - y = 3 - 5 = - 2 → জোড় সংখ্যা
গ) xy = 3 × 5 = 15 → বিজোড় সংখ্যা
ঘ) x + y + 2 = 3 + 5 + 2 = 10 → জোড় সংখ্যা

প্রশ্ন: ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যাকে ২০, ৩০ এবং ৪০ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ১০, ২০ এবং ৩০ ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান:
প্রথমেই, ভাজক এবং ভাগশেষের মধ্যে পার্থক্য নির্ণয় করি,
২০ - ১০ = ১০
৩০ - ২০ = ১০
৪০ - ৩০ = ১০

এখানে, প্রতিটি ক্ষেত্রে পার্থক্য একই (১০)।
সুতরাং, নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে ২০, ৩০ এবং ৪০ এর ল.সা.গু  অপেক্ষা ১০ কম।

২০ = ২ × ২ × ৫
৩০ = ২ × ৩ × ৫
৪০ = ২ × ২ × ২ × ৫

ল.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫
= ১২০

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ১২০ - ১০ 
= ১১০

প্রশ্ন: ০, ৩, ৫, ৭ দ্বারা গঠিত চার অঙ্কের বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য কত?

সমাধান:
বৃহত্তম সংখ্যা = ৭৫৩০ (বড় থেকে ছোট ক্রমে অঙ্কগুলো সাজানো)
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৩০৫৭ (ছোট থেকে বড় ক্রমে অঙ্কগুলো সাজানো; প্রথম অঙ্ক ০ হতে পারে না)

∴ পার্থক্য = ৭৫৩০ - ৩০৫৭ = ৪৪৭৩

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যা দুটি পরস্পর সহমৌলিক?

সমাধান:
দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক কেবল ১ হলে, ঐ সংখ্যাগুলো পরস্পর সহমৌলিক। 

এখানে,
১৫ = ১ × ৩ × ৫
২২ = ১ × ২ × ১১

১৫, ২২ এর মধ্যে ১ ব্যতীত অন্য কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই।
∴ ১৫, ২২ পরস্পর সহমৌলিক সংখ্যা।

প্রশ্ন: চার অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ৯, ১২, ১৫ ও ২৪ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
চার অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০।

৯ = ৩^২
১২ = ২^২ × ৩
১৫ = ৩ × ৫
২৪ = ২^৩ × ৩

∴ ল.সা.গু = ২^৩ × ৩^২ × ৫
= ৮ × ৯ × ৫ = ৩৬০

এখন ১০০০ কে ৩৬০ দিয়ে ভাগ করি,
১০০০ ÷ ৩৬০ = ২ ভাগফল,
৩৬০ × ২ = ৭২০
∴ ভাগশেষ = ১০০০ - ৭২০ = ২৮০

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৩৬০ - ২৮০ = ৮০

অর্থাৎ, ১০০০ এর সাথে ৮০ যোগ করলে ফলাফল হবে ৩৬০ এর গুণিতক, যা ৯, ১২, ১৫ ও ২৪ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৭১। সংখ্যা দুটি কী কী?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যা দুটি = n এবং n + ১
∴ তাদের বর্গের অন্তর = (n + ১)^২ - n^২

প্রশ্নমতে,
(n + ১)^২ - n^২ = ৭১
⇒ (n^২ + ২n + ১) - n^২ = ৭১
⇒ ২n + ১ = ৭১
⇒ ২n = ৭১ - ১
⇒ ২n = ৭০
⇒ n = ৩৫

অতএব, সংখ্যা দুটি = ৩৫ এবং ৩৬

প্রশ্ন: কোনো সংখ্যার ১/৩ অংশের সাথে 4 যোগ করলে সংখ্যাটির ১/২ অংশ হবে। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
(ক/৩) + ৪ = (ক/২)
⇒ (ক/২) - (ক/৩) = ৪
⇒ (৩ক - ২ক)/৬ = ৪
⇒ ক/৬ = ৪
⇒ ক = ২৪

অতএব, সংখ্যাটি = ২৪।

প্রশ্ন: সর্বনিম্ন কত সংখ্যক ছাত্রকে ৮, ১২, ১৬ এবং ২৪ জনের দলে ভাগ করে এবং তাদেরকে বর্গাকৃতিতে সাজানো সম্ভব?

সমাধান:
৮ = ২ × ২ × ২
১২ = ২ × ২ × ৩
১৬ = ২ × ২ × ২ × ২
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩

∴ ৮, ১২, ১৬ এবং ২৪ এর ল.সা.গু = ২^৪ × ৩ = ৪৮

এখানে ২ এর ঘাত জোড় (৪), কিন্তু ৩ এর ঘাত বিজোড় (১)। এটিকে পূর্ণবর্গ করতে হলে আমাদের আরও একটি ৩ দিয়ে গুণ করতে হবে।

∴ ছাত্রসংখ্যা = ৪৮ × ৩ = ১৪৪ জন

প্রশ্ন: একটি তেলের ট্যাংকের ১/৬ অংশ পূর্ণ আছে। ট্যাংকের ৪/৬ অংশ পূর্ণ করতে আরও ৩০ লিটার তেল প্রয়োজন। ট্যাংকের মোট ধারণক্ষমতা কত লিটার?

সমাধান:
৩০ লিটার তেল দ্বারা পূর্ণ হয় ট্যাংকের (৪/৬ - ১/৬) অংশ
= ৩/৬ অংশ

ট্যাংকের ৩/৬ অংশের ধারণক্ষমতা = ৩০ লিটার
∴ সম্পূর্ণ ১ অংশের ধারণক্ষমতা = (৩০ × ৬)/৩ লিটার
= ৬০ লিটার

অতএব, ট্যাংকের মোট ধারণক্ষমতা = ৬০ লিটার।

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার বর্গমূলের সাথে ৫ যোগ করলে যোগফল ১২ হলে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
√x + ৫ = ১২
⇒ √x = ১২ − ৫
⇒ √x = ৭
⇒ x = ৭^২ [বর্গ করে]
∴ x = ৪৯

অতএব, সংখ্যাটি = ৪৯।

প্রশ্ন: একটি ভগ্নাংশের লব ও হরের সমষ্টি ১২। যদি হর থেকে ২ বিয়োগ করলে তা লব এর সমান হয়, তাহলে ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ভগ্নাংশটির লব = ক
∴  হর = ১২ - ক

প্রশ্নমতে,
(১২ - ক) - ২ = ক
⇒ ১২ - ২ = ক + ক
⇒ ১০ = ২ক
⇒ ক = ৫

∴ নির্ণেয় ভগ্নাংশ = ৫/(১২- ৫)
= ৫/৭