১০০ দিনে বিসিএস প্রস্তুতি [বিষয়ভিত্তিক]

প্রশ্ন: ৩টি ক্রমিক জোড় সংখ্যার গড় ১৮, সংখ্যাগুলোর মধ্যে বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
৩টি ক্রমিক জোড় সংখ্যা x, x + ২, এবং x + ৪

প্রশ্নমতে,
x + x + ২ + x + ৪ = ১৮ × ৩
বা, ৩x + ৬ = ৫৪
বা, ৩x = ৪৮
বা, x = ৪৮/৩
∴ x = ১৬

∴ বৃহত্তম সংখ্যা ১৬ + ৪ = ২০

প্রশ্ন: একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের হর ও লবের অন্তর ৩, হর ও লব থেকে ২ বিয়োগ করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যায় তার সাথে ৩/৫ যোগ করলে যোগফল ১ হয়, ভগ্নাংশটির লব কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
ভগ্নাংশটির লব = ক 
এবং হর = ক + ৩
∴ ভগ্নাংশটি = ক/(ক + ৩)

প্রশ্নমতে,
(ক - ২)/(ক + ৩ - ২) + (৩/৫) = ১
⇒ (ক - ২)/(ক + ১) = ১ - (৩/৫)
⇒ (ক - ২)/(ক + ১) = ২/৫
⇒ ৫ক - ১০ = ২ক + ২
⇒ ৫ক - ২ক = ১০ + ২
⇒ ৩ক = ১২
⇒ ক = ১২/৩
∴ ক = ৪

∴ ভগ্নাংশটির লব = ৪

প্রশ্ন: ৫১৩, ১১৩৪ এবং ১২১৫ এর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
৫১৩, ১১৩৪ এবং ১২১৫ এর গ.সা.গু = ২৭

প্রশ্ন: একজন ফল বিক্রেতার কিছু কমলা আছে। সে ৩০% কমলা বিক্রয় করার পর তার কাছে আরও ১৪০টি কমলা রইল। শুরুতে তার কাছে কতটি কমলা ছিল?

সমাধান:
৩০% কমলা বিক্রয় করার পর অবশিষ্ট কমলা থাকে (১০০ - ৩০)% = ৭০%

৭০% কমলা = ১৪০টি
∴ ১% কমলা = ১৪০/৭০ টি
∴ ১০০% কমলা = (১৪০ × ১০০)/৭০ টি
= ২০০টি

প্রশ্ন: একটি দ্রব্য ২৪০০ টাকায় বিক্রয় করায় ২৫% লাভ হয়। দ্রব্যটি ১৮০০ টাকায় বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হবে?

সমাধান:
২৫% লাভে,
বিক্রয়মূল্য ১২৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ২৪০০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (১০০ × ২৪০০)/১২৫ টাকা
= ১৯২০ টাকা

∴ ১৮০০ টাকায় বিক্রয় করলে ক্ষতি হবে।
ক্ষতি = ১৯২০ - ১৮০০ টাকা = ১২০ টাকা

∴ শতকরা ক্ষতি =  (১২০ × ১০০)/১৯২০%
= ৬.২৫%

প্রশ্ন: কোনো নির্দিষ্ট সময়ের মুনাফা-আসল ৫৬০০ টাকা এবং মুনাফা আসলের ৪০ শতাংশ। মুনাফার বার্ষিক হার ৮% হলে, সময় কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মুনাফা আসলের ৪০ শতাংশ
আসল ১০০ টাকা হলে মুনাফা ৪০ টাকা
∴ মুনাফা আসল = ১০০ + ৪০ = ১৪০ টাকা

মুনাফা আসল ১৪০ টাকা হলে মুনাফা ৪০ টাকা
∴ মুনাফা আসল ৫৬০০ টাকা হলে মুনাফা (৪০ × ৫৬০০)/১৪০ টাকা
= ১৬০০ টাকা

∴ মুনাফা, I = ১৬০০ টাকা
∴ আসল, P = ৫৬০০ - ১৬০০ = ৪০০০ টাকা
মুনাফার হার, r = ৮% = ৮/১০০

আমরা জানি,
I = Pnr
বা, n = I/Pr
বা, n = (১৬০০ × ১০০)/(৪০০০ × ৮)
∴ n = ৫ 

∴ সময় ৫ বছর।

সঠিক উত্তর: ৩৮৮২.৩৫ টাকা
অপশনে সঠিক উত্তর না থাকায় প্রশ্নটি বাতিল করা হলো। 
================= 

প্রশ্ন: A, B, C তিনজন একটি অংশীদারী ব্যবসায় শুরু করে। A এর মূলধন B এর মূলধনের ৩ গুণ এবং B এর মূলধন C এর মূলধনের ৪ গুণ। যদি ব্যবসায় ১৬৫০০ টাকা লাভ হয়, তাহলে B এর লভ্যাংশের পরিমাণ কত?

সমাধান:
ধরি,
 C এর মূলধন = x
∴ B এর মূলধন = ৪x
A এর মূলধন = ১২x

∴ A :  B : C = ১২x : ৪x : x
= ১২ : ৪ : ১

∴ B এর লভ্যাংশের পরিমাণ = ১৬৫০০ × (৪/১৭)
= ৩৮৮২.৩৫ টাকা

প্রশ্ন: ৫, ১৫ ও ২০ এর চতুর্থ সমানুপাতিক কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমানুপাতিকের ক্ষেত্রে,
১ম সংখ্যা × ৪র্থ সংখ্যা = ২য় সংখ্যা × ৩য় সংখ্যা
⇒ ৫ × ৪র্থ সংখ্যা = ১৫ × ২০
⇒ ৪র্থ সংখ্যা = (১৫ × ২০)/৫
 = ৩০০/৫
= ৬০

অতএব, ৫, ১৫ ও ২০ এর চতুর্থ সমানুপাতিক হলো ৬০

প্রশ্ন: ১২ জন কৃষক একটি জমি ২০ ঘণ্টায় চাষ করতে পারে। ১৫ ঘণ্টায় চাষ করতে পারবে কতজন কৃষক?

সমাধান:
২০ ঘণ্টায় চাষ করে ১২ জন
∴ ১ ঘণ্টায় চাষ করে (১২ × ২০) জন
∴ ১৫ ঘণ্টায় চাষ করে (১২ × ২০)/১৫ জন
= ১৬ জন

প্রশ্ন: ২০ বছর পর আমানের বয়স হবে, তার ১০ বছর পূর্বের বয়সের ১০গুণ। আমানের বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
ধরি,
আমানের বর্তমান বয়স ক বছর।

১০ বছর পূর্বে আমানের বয়স ছিল ক - ১০ বছর
২০ বছর পর আমানের বয়স হবে ক + ২০ বছর

প্রশ্নমতে,
ক + ২০ = ১০(ক - ১০)
বা, ক + ২০ = ১০ক - ১০০
বা, ১২০ = ৯ক 
বা, ক = ১২০/৯
∴ ক = ১৩.৩৩

∴ আমানের বর্তমান বয়স ১৩.৩ বছর।

প্রশ্ন: এক মাইলে কত ফুট?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ মাইল = ১৭৬০ গজ
১ গজ = ৩ ফুট
∴১ মাইল = ১৭৬০ × ৩ = ৫২৮০ ফুট

প্রশ্ন: একটি ট্রেন, ১০০০ মিটার এবং ৬০০ মিটার দীর্ঘ দুটি সেতু পাড় হয় যথাক্রমে ১২০ সেকেন্ড ও ৮০ সেকেন্ডে। ট্রেনটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
১২০ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = ১০০০ + ট্রেনের দৈর্ঘ্য
৮০ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = ৬০০ + ট্রেনের দৈর্ঘ্য
∴ ৪০ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = (১০০০ + ট্রেনের দৈর্ঘ্য) - (৬০০ + ট্রেনের দৈর্ঘ্য) 
= ৪০০ মিটার

বেগ = ৪০০/৪০ = ১০ মিটার/সেকেন্ড

∴ ৮০ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = ৮০ × ১০ = ৮০০ মিটার 

প্রশ্নমতে,
৬০০ + ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ৮০০ 
⇒ ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ২০০

প্রশ্ন: A ও B দুটি নল একটি ট্যাঙ্ক পূর্ণ করে যথাক্রমে ২০ মিনিট ও ৩০ মিনিটে। নল দুটি একত্রে চালু করলে ট্যাঙ্কটি পূর্ণ হতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
A ১ মিনিটে পূর্ণ করে ১/২০ অংশ 
B ১ মিনিটে পূর্ণ করে ১/৩০ অংশ

A ও B একত্রে ১ মিনিটে পূর্ণ করে (১/২০ + ১/৩০) অংশ
= (৩ + ২)/৬০ অংশ
= ৫/৬০ অংশ
= ১/১২ অংশ

A ও B একত্রে,
১/১২ অংশ পূর্ণ করে ১ মিনিটে
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ পূর্ণ করে ১২ মিনিটে

প্রশ্ন: একটি গাড়ি ঘণ্টায় ৪৫ কি.মি. বেগে ২০ মিনিট চলার পর ঘণ্টায় ৬০ কি.মি. বেগে ৪০ মিনিট চলে। সম্পূর্ণ পথের জন্য গাড়িটির গড় গতিবেগ কত?

সমাধান: 
৪৫ কি.মি. বেগে যায় = ৪৫ × (২০/৬০) কি.মি. = ১৫ কি.মি.
৬০ কি.মি. বেগে যায় = ৬০ × (৪০/৬০) কি.মি. = ৪০ কি.মি.

গড় গতিবেগ = (১৫ + ৪০)/(৬০/৬০) কি.মি./ঘণ্টা 
= ৫৫ কি.মি./ঘণ্টা   

প্রশ্ন: a - b = 3 এবং 2ab = 20 হলে, (a + b)² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a - b = 3
2ab = 20

আমরা জানি,
(a + b)² = (a - b)² + 4ab
= (3)² + 2 × 2ab
= 9 + 2 × 20
= 9 + 40
= 49

প্রশ্ন: x⁴ - x² + 1 = 0 হলে, x³ + 1/x³ =?

সমাধান:
x⁴ - x² + 1 = 0 
বা, x⁴ + 1 = x²
বা, x⁴/x² + 1/x² = 1
বা, x² + 1/x² = 1
বা, (x + 1/x)² - 2 . x . (1/x) = 1
বা, (x + 1/x)² - 2 = 1
বা, (x + 1/x)² = 3
∴ x + 1/x = √3

এখন,
x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ - 3. x.(1/x). (x + 1/x)
= (√3)³ - 3√3
= 3√3 - 3√3
= 0

প্রশ্ন: 2pq - p² - q² + r² এর উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান: 
2pq - p² - q² + r² 
= r² - (p² - 2pq + q²)
= r² - (p - q)²
= (r + p - q) (r - p + q)

প্রশ্ন: 2x + 3y = 12, 3x - 2y = 5 হলে, x ও y এর মান কত?

সমাধান:
2x + 3y = 12 .............(1)
3x - 2y = 5 .............(2)

(1) × 2 + (2) × 3 ⇒
4x + 6y + 9x - 6y = 24 + 15
⇒ 13x = 39
⇒ x = 3

x এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
2x + 3y = 12
⇒ (2 × 3) + 3y = 12
⇒ 6 + 3y = 12
⇒ 3y = 12 - 6
⇒ 3y = 6
⇒ y = 2

নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (3, 2)

প্রশ্ন: ।x - 5। > 4 অসমতাটির সমাধান কত?  

সমাধান: 
(x - 5) অঋণাত্মক হলে আমরা পাই,
⇒ x - 5 > 4
⇒ x - 5 + 5 > 4 + 5
⇒ x > 9 

আবার 
(x - 5) ঋণাত্মক হলে আমরা পাই,
⇒ - (x - 5) > 4
⇒ - x + 5 > 4
⇒ - x + 5 - 5 > 4 - 5
⇒ - x > - 1
⇒ (- x)(- 1) < (- 1)(- 1)
⇒ x < 1

∴ নির্ণেয় সমাধান: x > 9 অথবা x < 1

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার পঞ্চম পদ 13 এবং সপ্তম পদ 19 হলে, ধারাটির প্রথম 12টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
মনে করি, 
সমান্তর ধারার ১ম পদ = a 
সাধারণ অন্তর = d 

আমরা জানি, 
৫ম পদ = a + (5 - 1)d = a + 4d = 13 ................ (1)
৭ম পদ = a + (7 - 1)d = a + 6d = 19 .................. (2)

(2) - (1) হতে পাই,
2d = 6
সাধারণ অন্তর, d = 3 

(1) নং হতে পাই,
13 = a + 4d
বা, 13 = a + (4 × 3)
বা, a = 13 - 12
∴ a = 1

12টি পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (12/2) × {2a + (12 - 1)d}
= 6 × {(2 × 1) + (11× 3)}
= 6 × (2 + 33)
= 210

প্রশ্ন: A = {a, b}, B = {a, b, c} এবং C = A ∪ B হলে, C এর প্রকৃত উপসেট কয়টি হবে?

সমাধান: 
C = A ∪ B 
= {a, b} ∪ {a, b, c}
= {a, b, c}

এখানে C এর উপাদান সংখ্যা n = 3 
C এর প্রকৃত উপসেট 2³ - 1টি
= 8 - 1টি
= 7টি 

প্রশ্ন: যদি f(x) = x³ - 6x + 5 হলে, f(2) এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
f(x) = x³ - 6x + 5

এখন, f(2) = (2)³ - (6 . 2) + 5
= 8 - 12 + 5
= 13 - 12
= 1

প্রশ্ন: 'DIGITAL' শব্দটির বর্ণগুলিকে কত প্রকারে সাজানো যায় যাতে স্বরবর্ণগুলি একত্রে থাকে?

সমাধান: 
প্রদত্ত শব্দটিতে মোট 7 টি বর্ণ আছে। স্বরবর্ণ আছে 3টি।
স্বরবর্ণ 3টিকে এক অক্ষর মনে করলে মোট বর্ণ সংখ্যা হয় 5 টি। বাকিগুলো ভিন্ন ভিন্ন। 
এক্ষেত্রে, সাজানো সংখ্যা = 5!

স্বরবর্ণ 3 টির মধ্যে 2 টি I আছে। এক্ষেত্রে বিন্যাস সংখ্যা = 3!/2!

∴ নির্ণেয় সাজানো সংখ্যা = 5! × (3! / 2!)
= 120 × 3
= 360 

প্রশ্ন: ১ থেকে ৪৪ পর্যন্ত ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?

সমাধান: 
১ থেকে ৪২ পর্যন্ত ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো : ৪, ৮, ১২, ১৬, ২০, ২৪, ২৮, ৩২, ৩৬, ৪০, ৪৪

এখানে
n  = ১১

∴ মধ্যক =  (n + ১)/২ তম পদ
= (১১ + ১)/২ তম পদ
= ৬ তম পদ 
= ২৪

প্রশ্ন: ১ থেকে ১৫ পর্যন্ত একটি সংখ্যা নির্বাচন করলে তা মৌলিক না হবার সম্ভাবনা কত?

সমাধান: 
১ থেকে ১৫ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা : ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩ মোট ৬টি

১ থেকে ১৫ পর্যন্ত মৌলিক নয় = ১৫ - ৬ = ৯টি

১ থেকে ১৫ পর্যন্ত একটি সংখ্যা নির্বাচন করলে তা মৌলিক না হবার সম্ভাবনা ৯/১৫ = ৩/৫

প্রশ্ন: x² + (y - 2)² = 7, বৃত্তের কেন্দ্র কোনটি?

সমাধান:
(a, b) কেন্দ্র ও r ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ, (x - a)² + (y - b)² = r²

x² + (y - 2)² = 7 সমীকরণটি বৃত্তের সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

x² + (y - 2)² = 7 
⇒ (x - 0)² + (y - 2)² = (√7)²

অতএব, বৃত্তটির কেন্দ্র = (0, 2) ও ব্যাসার্ধ = √7

প্রশ্ন: একটি কোণ তার সম্পূরক কোণের দুই তৃতীয়াংশ। কোণটির সম্পূরক কোণ কত?

সমাধান:
মনে করি,
কোণটি = x
∴ কোণটির সম্পূরক কোণ = 180 - x

প্রশ্নমতে,
x = (2/3) × (180 - x) 
⇒ 3x = 360 - 2x
⇒ 5x = 360
⇒ x = 72

∴ কোণটির সম্পূরক কোণ = 180 - 72 = 108°

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ১৮ মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ১৮ মিটার
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ১৮/৩ মিটার = ৬ মিটার

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =(√৩/৪) × ৬২  বর্গমিটার
= (√৩/৪) × ৩৬ বর্গমিটার
= ৯√৩ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্র ও একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল সমান। রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৮ মিটার ও ৯ মিটার হলে, বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল 
=  (১/২) × ৮ × ৯ 
= ৩৬ বর্গমিটার 

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৩৬ বর্গমিটার 
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √৩৬ মিটার 
= ৬ মিটার 

∴ বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা = ৬ × ৪ মিটার 
= ২৪ মিটার

প্রশ্ন: যদি কোন সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ তার প্রতিটি বহিঃকোণের তিনগুণ হয়, তবে বহুভুজের বাহু সংখ্যা নির্ণয় করুন?

সমাধান:
ধরি,
বহিঃকোণের পরিমাণ = ক
অন্তঃকোণের পরিমাণ = ৩ক

∴ ক + ৩ক = ১৮০°
বা, ৪ক = ১৮০°
∴ ক = ৪৫°

∴ বাহুর সংখ্যা = ৩৬০°/৪৫° = ৮

প্রশ্ন: বেলনের ভূমির ব্যাস ৪ মিটার, উচ্চতা ২১ মিটার হলে, বেলনের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
বেলনের ভূমির ব্যাস ৪ মিটার
∴ ভূমির ব্যাসার্ধ r = ২ মিটার
বেলনের উচ্চতা h = ২১ মিটার 

আমরা জানি,
বেলনের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = ২πrh 
= ২ × (২২/৭) × ২ × ২১ বর্গ মিটার
= ২৬৪ বর্গমিটার

প্রশ্ন: ৬টি সংখ্যার গড় ৬.৮। যদি এদের মধ্যে একটি সংখ্যাকে ৪ দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাগুলির গড় বৃদ্ধি পেয়ে ৯.৮ হয়, তবে সংখ্যা ছয়টির মধ্যে কোন সংখ্যাকে ৪ দিয়ে গুণ করা হয়েছে?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি x

৬টি সংখ্যার গড় ৬.৮
∴ ৬টি সংখ্যার সমষ্টি ৬.৮ × ৬ = ৪০.৮

x বাদে বাকি সংখ্যাগুলোর সমষ্টি ৪০.৮ - x

x কে ৪ দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাগুলির গড় বৃদ্ধি পেয়ে ৯.৮ হয়
∴ সংখ্যাগুলোর সমষ্টি ৯.৮ × ৬ = ৫৮.৮

∴ ৪x বাদে বাকি সংখ্যাগুলোর সমষ্টি ৫৮.৮ - ৪x

শর্তমতে,
৪০.৮ - x = ৫৮.৮ - ৪x
বা, ৩x = ৫৮.৮ - ৪০.৮
বা, ৩x = ১৮
∴ x = ৬

প্রশ্ন: x একটি পূর্ণসংখ্যা যেখানে ।x - ৩.৫। < ২ । x এর কতগুলো মানের জন্য অসমতাটি প্রযোজ্য হবে?

সমাধান:
।x - ৩.৫। < ২
বা, - ২ < x - ৩.৫ < ২
বা, - ২ + ৩.৫ < x < ২ + ৩.৫
বা, ১.৫ < x < ৫.৫

যেহেতু x একটি পূর্ণসংখ্যা
∴ x এর মান হতে পারবে ২, ৩, ৪, ৫ মোট ৪টি

প্রশ্ন: একজন রাজনৈতিক প্রার্থী একটি তহবিল সংগ্রহের অনুষ্ঠান থেকে ১,৭৪৯ টাকা সংগ্রহ করেছেন। যদি প্রতিটি সমর্থক কমপক্ষে ৫০ টাকা প্রদান করে, তাহলে অনুষ্ঠানে উপস্থিত সমর্থকের সর্বাধিক সম্ভাব্য সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
সমর্থক সংখ্যা ক জন
১ জন প্রদান করে কমপক্ষে ৫০ টাকা

∴ উপস্থিত সমর্থক সংখ্যা ১৭৪৯/৫০ = ৩৪.৯৮ ≈ ৩৫ জন।
৩৫ জন হলে ৫০ টাকার কম দেয়া সমর্থক পাওয়া যায় যা অসম্ভব, তাই সর্বাধিক উপস্থিত সমর্থক সংখ্যা ৩৪ জন

প্রশ্ন: কামাল ঢাকা থেকে কুমিল্লার অর্ধেক পথ ঘন্টা প্রতি ৩০ মাইল বেগে এবং বাকি অর্ধেক ঘন্টা প্রতি ৫০ মাইল বেগে যায়। সব মিলিয়ে তার ৪ ঘন্টা সময় লাগলে ঢাকা থেকে কুমিল্লার দূরত্ব কত মাইল?

সমাধান:
ধরি,
ঢাকা থেকে কুমিল্লার দূরত্ব d মাইল।

অর্ধেক পথ ঘণ্টা প্রতি ৩০ মাইল বেগে যেতে সময় = (d/২)/৩০ ঘণ্টা
= d/(২ × ৩০) ঘণ্টা 
= d/৬০ ঘণ্টা

বাকি অর্ধেক ঘণ্টা প্রতি ৫০ মাইল বেগে যাতে সময় = (d/২)/৫০ ঘণ্টা
= d/(২ × ৫০) ঘণ্টা 
= d/১০০ ঘণ্টা

প্রশ্নমতে,
d/৬০ + d/১০০ = ৪
বা, ৫d + ৩d = ১২০০ [৩০০ দ্বারা গুণ করে]
বা, ৮d = ১২০০
বা, d = ১২০০/৮
∴ d = ১৫০

প্রশ্ন: ক্রয়মূল্যের উপর ৮০% লাভ ধরার পর একটি পণ্যের বিক্রয়মূল্য নির্ধারণ করা হল ৪৫ টাকায়। বিক্রয়মূল্য আরো কত টাকা বৃদ্ধি করলে ক্রয়মূল্যের উপর ১০০% লাভ থাকবে?

সমাধান:
৮০% লাভে,
বিক্রয়মূল্য ১৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০/১৮০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৪৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (১০০ × ৪৫)/১৮০ টাকা
= ২৫ টাকা

১০০% লাভে,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ২০০ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ২০০/১০০ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ২৫ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য (২০০ × ২৫)/১০০ টাকা
= ৫০ টাকা

∴ বিক্রয়মূল্য বৃদ্ধি করতে হবে = (৫০ - ৪৫) টাকা = ৫ টাকা

প্রশ্ন: আয়তক্ষেত্র A এর পরিধি ২০০ মিটার। আয়তক্ষেত্র B এর দৈর্ঘ্য আয়তক্ষেত্র A এর দৈর্ঘ্যের চেয়ে ১০ মিটার কম এবং আয়তক্ষেত্র B এর প্রস্থ আয়তক্ষেত্র A এর প্রস্থের চেয়ে ১০ মিটার বেশি। আয়তক্ষেত্র B একটি বর্গক্ষেত্র হলে, আয়তক্ষেত্র A এর প্রস্থ মিটারে কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্র A এর দৈর্ঘ্য x মিটার
আয়তক্ষেত্র A এর প্রস্থ y মিটার
∴ আয়তক্ষেত্র A এর পরিধি = ২(x + y) = ২০০ মিটার ......... (১)

∴ আয়তক্ষেত্র B এর দৈর্ঘ্য = x - ১০ মিটার
∴ আয়তক্ষেত্র B এর প্রস্থ = y + ১০ মিটার

আয়তক্ষেত্র B একটি বর্গক্ষেত্র,
∴ x - ১০ = y + ১০
⇒ x = y + ১০ + ১০
∴ x = y + ২০

(১) নং এ x  এর মান বসিয়ে পাই,
২(x + y) = ২০০
বা, ২x + ২y = ২০০
বা, x + y = ১০০
বা, y + ২০ + y = ১০০
বা, ২y = ৮০
∴ y = ৪০

প্রশ্ন: 10 জন ও 9 জন খেলোয়াড়ের দুইটি দল থেকে 11 জন খেলোয়াড়ের একটি ক্রিকেট টিম গঠন করতে হবে যাতে 10 জনের দল থেকে কমপক্ষে 8 জন খেলোয়াড় ঐ টিমে থাকবে। ক্রিকেট টিমটি কত উপায়ে গঠন করা যাবে?

সমাধান:
১ম দল (10 জন)    -   ২য় দল (9 জন)
________________         _________________
1) 10                         1
2) 9                           2
3) 8                           3


1) নং ক্ষেত্রে টিম গঠনের উপায় = ¹⁰C₁₀ × ⁹C₁ = (1 × 9) = 9
2) নং ক্ষেত্রে টিম গঠনের উপায় = ¹⁰C₉ × ⁹C₂ = (10 × 36) = 360
3) নং ক্ষেত্রে টিম গঠনের উপায় = ¹⁰C₈ × ⁹C₃ = (45 × 84) = 3780


টিম গঠনের উপায় = 9 + 360 + 3780
= 4149

প্রশ্ন: m এর মান কত হলে x² + x - m একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

সমাধান:
x² + x - m কে ax² + bx + c এর সাথে তুলনা করে পাই, a = 1, b = 1, c = - m

আমরা জানি, পূর্ণবর্গ রাশির মূলদ্বয় সমান হয়।
যদি b² - 4ac = 0 হয়, তবে সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হবে।
এখানে, b = 1, a = 1 এবং c = - m
 
b² - 4ac = 0 
⇒ (1)² - 4.1.(- m) = 0
⇒ 1 + 4m = 0
⇒ 4m = - 1
⇒ m = - 1/4

প্রশ্ন: 2sin²θ + 3cosθ - 3 = 0 এবং θ সূক্ষ্মকোণ হলে, θ এর মান কত?

সমাধান: 
2sin²θ + 3cos θ = 0
বা, 2(1 - cos²θ) + 3cosθ - 3= 0
বা, 2 - 2cos²θ + 3cosθ - 3= 0
বা, - 2cos²θ + 3cosθ - 1 = 0
বা, - 1(2cos²θ - 3cosθ + 1) = 0
বা, 2cos²θ - 3cosθ + 1 = 0
বা, 2cos²θ - 2cosθ - cosθ + 1 = 0
বা, 2cosθ(cosθ - 1)- (cosθ - 1) = 0
বা,(cosθ - 1)(2cosθ - 1) = 0
হয় 
2cosθ - 1 = 0
⇒ cosθ = 1/2
⇒ cosθ =cos60°
θ =60°

অথবা
cosθ - 1 = 0
⇒ cosθ = 1 
⇒ cosθ = Cos0°
θ = 0° [গ্রহণযোগ্য নয়]